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2022 | OriginalPaper | Buchkapitel

17. Weiterentwicklungen des VAR-Modells

verfasst von: Klaus Neusser, Martin Wagner

Erschienen in: Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissenschaften

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Auszug

Die bisherigen Ausführungen waren von einem frequentistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff geprägt. Dabei ging es darum, die „wahren“ Parameter θ eines Modells aus den Beobachtungen (Stichprobe) zu schätzen. Während die Daten als stochastisch betrachtet werden, gelten die Parameter als feste, nicht-stochastische Größen. Wahrscheinlichkeitsaussagen beziehen sich auf den Schätzer von θ bei wiederholten Stichproben. In der Bayesianischen Analyse wird die Unsicherheit über den oder die unbeobachteten Parameter explizit mit Hilfe einer sogennanten A-priori-Verteilung modelliert. Dies ermöglicht in der Bayesianischen Analyse, die Auffassung bzw. die Informationen eines Forschers über θ zu modellieren. Dabei beruht der Bayesianische Wahrscheinlichkeitsbegriff auf einem subjektiven Wahrscheinlichkeitskonzept, das nicht auf der Vorstellung einer wiederholten Stichprobe fußt. Die Analyse besteht vielmehr darin, zu sehen, wie die subjektive A-priori-Vorstellung des Forschers durch die eine gegebene Stichprobe modifiziert wird. Berger [ 25], Cox [ 67], Gorroochurn [ 121, Kapitel 14] und Diaconis und Skyrms [ 82, Kapitel 6] bieten gut verständliche Einführungen in beide Sichtweisen, die auch über die rein statistische Bedeutung hinausgehen. …
Fußnoten
1
Z. B. müssen bei VAR-Modellen mit n = 5 und p = 6, inklusive Konstanten und Varianz-Kovarianzmatrix, bereits 170 Parameter geschätzt werden, wobei die Größe der Stichprobe selten über 200 Perioden liegt.
 
2
Die Dichtefunktionen der hier relevanten Exponentialfamilie haben die Form: \(m(y)\exp \{s(y)'\psi (\phi ) - k(\psi (\phi ))\}\), wobei m(y) eine nichtnegative Funktion der Daten y und s(y) eine (suffiziente) Statistik bezeichnen. Beide Funktionen hängen ausschließlich von den Daten und nicht von den Parametern ab. Die Funktion ψ(ϕ) bezeichnet eine eineindeutige Transformation (Parametrisierung) von ϕ. Die Funktion k(ψ) ist geeignet definiert, um die Funktion zu einer Dichtefunktion zu normieren, also um das Integral auf eins zu normieren. Die Normalverteilung, aber auch viele andere häufig verwendete Verteilungen, wie z. B. die Binomial-, Poisson- oder die Gamma-Verteilungen, fallen in diese Kategorie.
 
3
In der Literatur kursieren verschiedene mehr oder minder ausgefeilte Varianten der Minnesota- A-priori-Verteilung.
 
4
Streng genommen verlässt man hier den Bayesianischen Rahmen, da die A-priori-Verteilung in Bezug auf Daten gebildet wird. Sofern diese Daten aber nicht mit jenen der Likelihood-Funktion übereinstimmen, erscheint diese Vorgangsweise durchaus legitim.
 
5
Die vorgestellte Methode kann ohne konzeptuelle Änderungen auf Modelle höherer Ordnung übertragen werden, lediglich die Darstellung verkompliziert sich.
 
6
Es können auch Strukturbrüche der Varianz-Kovarianzmatrix Σ betrachtet werden (siehe Bai [14]) und Burren und Neusser [46, 47]).
 
7
Da die asymptotische Theorie verlangt, dass tbT nicht gegen null gehen darf, muss man annehmen, dass sowohl die Anzahl der Perioden nach dem Strukturbruch als auch jene davor gegen unendlich gehen.
 
8
Eine einfache Darstellung inklusive Tabellen mit kritischen Werten kann man in Stock und Watson [261] finden.
 
9
Die Daten stammen vom Economic Statistic Centre of Excellence (https://​www.​escoe.​ac.​uk/​) und wurden von der Datanbank FRED heruntergeladen.
 
10
Die Verwendung logarithmierter Daten im Niveau oder erster Differenzen ergibt ähnliche Resultate.
 
11
Potter [230] behandelt das grundlegende Problem, Impulsantwortfunktionen in einem nichtlinearen Kontext zu definieren.
 
12
Neben der Cholesky-Zerlegung können auch andere Formen der kurzfristigen Identifikation verwendet werden (siehe Abschn. 14.​4.​1).
 
13
Das Matrixexponential einer Matrix A ist definiert als https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-662-64650-2_17/299054_4_De_17_IEq46_HTML.gif . Während das Matrixexponential für beliebige Matrizen definiert ist, ist die Inverse \(\ln (A)\) nur für ∥A∥ < 1 definiert und es gilt https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-662-64650-2_17/299054_4_De_17_IEq48_HTML.gif .
 
14
Eine nilpotente untere Dreiecksmatrix ist eine untere Dreiecksmatrix, deren Diagonalelemente gleich null sind.
 
15
Eine Markov-Kette heißt ergodisch oder irreduzibel, wenn es für jeden Zustand i eine streng positive Wahrscheinlichkeit gibt, in endlich vielen Schritten in jeden Zustand j zu kommen. Die Markov-Kette heißt aperiodisch, wenn für jeden Zustand i [Ph]ii > 0 für alle genügend große h ist. Siehe etwa Norris [213] oder Berman und Plemmons [26] für eine Einführung in die Theorie der Markov-Ketten.
 
16
Der Spektralradius einer Matrix M ist definiert als \(\rho (M) = \max \{|\lambda _i|| \lambda _i\in \sigma (M)\}\), wobei σ(M) die Menge aller Eigenwerte von M bezeichnet.
 
17
Die folgende Darstellung beruht auf der Präsentation von Hamilton [135, Kapitel 22], wo weitere Details zu finden sind.
 
18
Diese Daten finden Sie auch auf https://​www.​aau.​at/​neusser-wagner.
 
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Metadaten
Titel
Weiterentwicklungen des VAR-Modells
verfasst von
Klaus Neusser
Martin Wagner
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-64650-2_17

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