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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch richtet sich an alle, die Wirtschaftsmathematik im Grundstudium belegen müssen (aber vielleicht nicht immer möchten). Konzepte der Analysis und linearen Algebra im Rahmen einer einsemestrigen Vorlesung werden auf einer anwendungsorientierten Ebene erläutert. Im Vordergrund steht die Anwendung von Formeln und Konzepten, auf langwierige Herleitungen und Beweise wird verzichtet. Die Methoden werden schrittweise erklärt und mit detaillierten Beispielen und vielen Zwischenergebnissen vorgeführt. Daher sind sie gerade auch für diejenigen Studierenden besonders lesenswert und hilfreich, deren Kontakt mit Mathematik bereits einige Jahre zurückliegt.


Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Grundlagen

Zusammenfassung
Wenn man sich lange nicht mehr mit Mathematik beschäftigt hat, dann können auch einfache Rechenregeln in Vergessenheit geraten. Nur durch häufiges und daher wiederholtes Anwenden verinnerlicht man Regeln. In diesem Kapitel werden die wichtigsten Regeln wieder in Erinnerung gerufen und mit Aufgaben eingeübt. Dabei stehen im ersten Abschn. 1.1 algebraische Umformungen im Mittelpunkt, d. h. wie kann man mathematische Terme und Ausdrücke vereinfachen und zusammenfassen. Das Rechnen mit Potenzen wird im nächsten Abschn. 1.2 wiederholt, während im Fokus des dritten Abschn. 1.3 die Bruchrechnung steht. Anschließend wird in Abschn. 1.4 in das Lösen von Gleichungen eingeführt. Abschn. 1.5 zeigt, worauf man beim Lösen von Ungleichungen achten sollte.
Stefanie Flotho

2. Lineare Funktionen

Zusammenfassung
Die einfachsten Funktionen, die uns in der Mathematik begegnen, sind lineare Funktionen. In Abschn. 2.1 sehen wir, dass diese durch zwei Konstanten, der Steigung und dem y-Achsenabschnitt vollständig beschrieben werden. Wie man lineare Funktionen mit Hilfe zweier Punkte bestimmen kann, werden wir in Abschn. 2.2 analysieren. Die Schaubilder sind Geraden und leicht in einem (x, y)-Koordinatensystem einzuzeichnen (Abschn. 2.3). Anwendungsbeispiele zur Nachfrage- und Angebotsfunktion aus der Mikroökonomie werden abschließend in Abschn. 2.4 betrachtet.
Stefanie Flotho

3. Lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung
Lineare Gleichungssysteme bestehen aus mindestens zwei linearen Gleichungen in mehreren Unbekannten x, y, z, …, die zusammen, d. h. als System gelöst werden sollen. Die verschiedenen Lösungsmethoden für solche Systeme werden wir in den Abschn. 3.1 bis 3.4 anhand eines konkreten Beispiels kennenlernen. Dazu gehören das Gleichsetzungs-, das Einsetzungs- und das Additionsverfahren. Als Verallgemeinerung des Additionsverfahrens werden wir das Gaußverfahren betrachten. Kein Verfahren bietet Vor- oder Nachteile gegenüber einem anderen. Sie sind in der Handhabung äquivalent. Für welches Verfahren man sich entscheidet, ist von der Gewohnheit abhängig. Je häufiger man eine Lösungsmethode anwendet, umso geläufiger erscheint sie einem. Das Ziel ist es, eine Lösung zu finden. Wenn es diese gibt, können wir sie mit den besprochenen Methoden berechnen. Doch es kann auch sein, dass es keine Lösung oder unendlich viele Lösungen gibt. Dies betrachten wir in Abschn. 3.5. Abschließend wenden wir in Abschn. 3.6 die Methoden auf die Mikroökonomik an, um ein Marktgleichgewicht auszurechnen.
Stefanie Flotho

4. Funktionen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden einige wichtige Funktionstypen vorgestellt. Nach einer kurzen Einführung in Definitions- und Wertebereiche von Funktionen (Abschn. 4.1) liegt ein Schwerpunkt des Kapitels auf quadratischen Funktionen (Abschn. 4.2). Polynomfunktionen und die Polynomdivision werden in Abschn. 4.3 behandelt. Potenzfunktionen werden kurz in Abschn. 4.4 vorgestellt. Sie dienen als Abgrenzung zur Exponential- und Logarithmusfunktion (Abschn. 4.5 und 4.6), auf denen ein weiterer Schwerpunkt des Kapitels liegt.
Stefanie Flotho

5. Ableitungen von Funktionen

Zusammenfassung
Funktionen können mit Hilfe von Graphen dargestellt werden. Diese Kurven im (xy)-Koordinatensystem ändern sich in Richtung der y-Achse, wenn wir die Variable x variieren, d. h. die Kurven haben eine Steigung. Im einfachen Fall von linearen Funktionen ist wie in Kap. 2 gesehen die Steigung immer konstant und einfach zu bestimmen. Doch je nach Wahl von x kann eine Funktion unterschiedliche Steigungen haben. Wie kann man diese berechnen? Im ersten Teil des Kapitels werden wir einfache Regeln zur Berechnung der Steigung kennenlernen. Dabei werden Potenzfunktionen (Abschn. 5.1), Produkte und Quotienten von Funktionen (Abschn. 5.2 und 5.3) differenziert. Die Kettenregel wird eingeübt (Abschn. 5.4). Des weiteren werden Ableitungsregeln für die Exponentialfunktion (Abschn. 5.5) und die Logarithmusfunktion (Abschn. 5.6) für die einfachen, aber auch für verkettete Funktionen analysiert. Was Ableitungen höherer Ordnung sind, wird in Abschn. 5.7 erklärt. Im letzten Abschn. 5.8 werden wir darauf eingehen, wie die Steigung konkret definiert ist und analysieren, wie man die zughörigen Regeln herleiten kann. Wer nur an den Regeln interessiert ist, wählt den ersten Teil als Schwerpunkt. Wer sich dafür interessiert, wieso die Regeln so sind wie sie sind, kann auch den letzten Abschnitt durcharbeiten.
Stefanie Flotho

6. Anwendung der Differentialrechnung

Zusammenfassung
Die Analyse von Funktionen mit Hilfe von Ableitungen hat innerhalb der Wirtschaftswissenschaften vielfache Anwendungsmöglichkeiten. Dabei ist die Differentialrechnung immer Mittel zum Zweck und hilft beispielsweise dabei, maximalen Gewinn oder minimale Kosten zu bestimmen oder Elastizitäten zu berechnen. Auch können Produktionsbereiche steigender oder fallender Kosten eingegrenzt werden.
In diesem Kapitel werden wir diese Fragestellungen aufgreifen und mit Hilfe der Differentialrechnung lösen. Im ersten Abschn. 6.1 wird allgemein untersucht, wie wir Hoch- und Tiefpunkte von Funktionen bestimmen können. Dieses Konzept werden wir anschließend in Abschn. 6.3 auf Gewinnmaximierungsprobleme anwenden. Danach folgen die Vorstellung von Elastizitäten (Abschn. 6.4) und Untersuchung auf Monotonie (Abschn. 6.6) und Konvexität von Funktionen (Abschn. 6.7).
Stefanie Flotho

7. Funktionen mit mehreren Variablen

Zusammenfassung
Bisher haben wir lediglich Funktionen mit einer Unbekannten behandelt. Es gibt allerdings auch sehr viele Beispiele in den Wirtschaftswissenschaften, die man mit Hilfe von Funktionen von zwei oder mehr Variablen beschreibt. So stellen Unternehmen mehr als ein Produkt her, so dass die Kosten von der hergestellten Menge zweier Produkte abhängen. Konsumenten kaufen mehr als ein Produkt. Welchen Nutzen sie aus dem Kauf ziehen und welche Mengen von den Produkten gekauft wird, kann man mit Hilfe von Funktionen mit mehreren Variablen beschreiben. Diese Art von Funktionen werden wir in diesem Kapitel untersuchen. Dabei beschränken wir uns auf zwei Variablen, da viele Konzepte in ganz ähnlicher Weise auf Funktionen mit mehr als zwei Variablen übertragen werden können. Im ersten Abschn. 7.1 werden allgemeine Begriffe vorgestellt. In Abschn. 7.2 wird kurz erklärt, wie die Funktionen mit Hilfe von Höhenlinien dargestellt werden können. Viele Begriffe und Konzepte, die wir aus Kap. 5 über Ableitungen und Kap. 6 zur Anwendung von Ableitungen kennen, können wir auf Funktionen mit zwei Variablen übertragen. So sehen wir in Abschn. 7.3 wie man die Funktionen differenziert. Mit Hilfe von partiellen Ableitungen wird die Steigung einer Höhenlinie in Abschn. 7.4 berechnet, bevor wir partielle Elastizitäten in Abschn. 7.5 definieren. Durch Tangentialebenen können Funktionen mit zwei Variablen approximiert werden (Abschn. 7.6). Optimierungsprobleme sind Inhalt des nächsten Kap. 8.
Stefanie Flotho

8. Optimierung ohne und mit Nebenbedingungen

Zusammenfassung
Bivariate Funktionen können auch Hoch- und Tiefpunkte haben. Wie können die Bedingungen aus Abschn. 6.​1 zum Auffinden dieser Punkte verallgemeinert werden? Wie sehen Gewinnmaximierungsprobleme aus, wenn ein Unternehmen mehr als ein Produkt herstellt? Diesen Fragen werden wir in Abschn. 8.1 nachgehen. Bivariate Funktionen können Maxima oder Minima annehmen, unter der Vorraussetzung, dass die zwei Variablen in einem Zusammenhang zueinander stehen, d. h. eine Funktion wird unter einer Nebenbedingung optimiert. Dieses Problem werden wir in in Abschn. 8.2 analysieren und als Anwendungsbeispiel das Nutzenmaximierungsproblem mit einer Budgetbeschränkung betrachten, bei dem ein Konsument zwischen zwei Produkten auswählen möchte, so dass eine Nutzenfunktion maximiert wird. Allerdings muss der Konsument bei der Auswahl die Kosten der Produkte und sein Einkommen beachten.
Stefanie Flotho

9. Integralrechnung

Zusammenfassung
Integralrechnung ist kurz gesagt die Umkehrung der Differentialrechnung. Mit Integralen kann man u. a. Flächeninhalte berechnen. In den Wirtschaftswissenschaften spielen Flächen in der Mikroökonomie bei der Produzenten- und Konsumentenrente eine Rolle. Deshalb kann dort die Integralrechnung eingesetzt werden. In diesem Kapitel werden wir im ersten Abschn. 9.1 einfache Integrationsregeln kennen lernen und auf übliche Funktionen anwenden. Anschließend werden wir in Abschn. 9.2 sehen, wie mit Hilfe eines Integrals einer Funktion ein Flächeninhalt berechnet werden kann. Im letzten Abschn. 9.3 werden wir das Beispiel der Konsumenten- und Produzentenrenten behandeln.
Stefanie Flotho

10. Matrizenrechnung

Zusammenfassung
In diesem Kapitel betrachten wir die Grundlagen der Matrizenrechnung. Dazu müssen wir zunächst wie bei jedem neuen Thema übliche Begriffe und Definitionen einführen (Abschn. 10.1). Anschließend werden einfache Rechenoperationen vorgestellt (Abschn. 10.2). Matrizen können miteinander addiert oder mit einer Zahl multipliziert werden. Die etwas gewöhnungsbedürftige Matrizenmultiplikation wird in Abschn. 10.3 besprochen. Die Umkehrung der Multiplikation, die Division, gibt es in der Matrizenrechnung in Form von Inversen einer Matrix. Was das genau ist und welche Matrizen überhaupt eine Inverse besitzen, diskutieren wir in Abschn. 10.4. Die Determinante wird in Abschn. 10.5 eingeführt. Am Ende des Kapitels werden wir sehen, wie die Matrizenrechnung eine Lösungsmethode für lineare Gleichungssysteme (Abschn. 10.6) bietet.
Stefanie Flotho

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