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Über dieses Buch

Das Buch ist eine gut lesbare und verständliche Einführung in die Algebra, die die künftigen Lehrerinnen und Lehrer ernst nimmt. Das bezieht sich sowohl auf die Auswahl der Themen als auch auf die Methode. An vielen Stellen wird auf historische Wurzeln und didaktische Fragen hingewiesen; moderne Anwendungen werden ausführlich behandelt. Durch die zahlreichen in den Text integrierten Übungsaufgaben erarbeitet man den Inhalt der Definitionen, Sätze und Beweise schon exemplarisch vorab.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Die natürlichen und die ganzen Zahlen

In diesem Kapitel werden die natürlichen und ganzen Zahlen eingeführt. Der historischen Entwicklung folgend werden Eigenschaften über figurierte Zahlen dargestellt und bewiesen; die Aussagen und Beweise werden aber auch in moderner mathematischer Sprache formuliert. In diesem Zusammenhang werden die Dreieckszahlen eingehend dargestellt.Der zweite Schwerpunkt dieses Kapitels ist die elementare Teilbarkeitslehre. Dort werden insbesondere der größte gemeinsame Teiler, der euklidische Algorithmus und Primzahlen ausführlich behandelt.Schließlich werden die formalen Grundlagen der natürlichen und der ganzen Zahlen gelegt, das heißt aus den Peano-Axiomen die Eigenschaften der natürlichen Zahlen abgeleitet und die ganzen Zahlen als Äquivalenzklassen eingeführt.

Albrecht Beutelspacher

2. Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln

Das Thema dieses Kapitels ist die Darstellung von natürlichen Zahlen. Zunächst werden historische Systeme der Ägypter, Griechen, Römer angesprochen, sowie das Rechnen mit dem Abakus und mit dem Rechentisch dargestellt. Das zentrale Thema sind die Stellenwertsysteme. Diese werden definiert und ihre Eigenschaften behandelt. Insbesondere wird auf das Rechnen und die Effizienz von Addition und Multiplikation eingegangen.In der zweiten Hälfte dieses Kapitels werden Teilbarkeitsregeln behandelt, also der Frage nachgegangen, ob und wie man an den Ziffern einer Zahl erkennen kann, welche Teiler diese Zahl hat. Die Teilbarkeitsregeln (Endstellenregeln und Quersummenregeln) werden zunächst für Dezimalzahlen eingeführt und dann auf beliebige Stellenwertsysteme verallgemeinert.

Albrecht Beutelspacher

3. Rechnen mit Resten

Die Reste, die bei der Division einer ganzen Zahl durch eine andere ganze Zahl entstehen, sind ein zentrales Thema der klassischen Algebra und stellen gleichzeitig einen wichtigen Übergang zur modernen Algebra dar. Zunächst werden Reste und das Rechnen mit Resten eingeführt und insbesondere die Multiplikation ausführlich behandelt. Danach werden die Reste von einem „höheren Standpunkt“ aus betrachtet, indem Restklassen und die algebraische Struktur der Restklassen studiert werden. Wichtige Sätze wie der kleine Satz von Fermat, der Satz von Euler und der chinesische Restsatz werden behandelt.Als eine spektakuläre Anwendung des Rechnens mit Resten wird die Public-Key-Verschlüsselung eingeführt und der RSA-Algorithmus ausführlich dargestellt.

Albrecht Beutelspacher

4. Rationale Zahlen

Nach einem historischen Blick auf die ägyptische Bruchrechnung beginnt das Kapitel mit einer sorgfältigen Unterscheidung zwischen Brüchen und Bruchzahlen. Das entscheidende Hilfsmittel dazu ist die Äquivalenz von Brüchen. Darauf aufbauend werden dann Addition, Multiplikation von Brüchen, sowie die Kleiner-gleich-Beziehung eingeführt und jeweils ihre Eigenschaften bewiesen. Besonderer Wert wird darauf gelegt, einerseits inhaltliche Vorstellungen zu entwickeln, andererseits die Phänomene mathematisch sauber zu erfassen, und den gegenseitigen Nutzen dieser beiden Aspekte zu erfahren.Schließlich werden als eine Anwendung Gleichungen, insbesondere lineare Gleichungen und Gleichungssysteme behandelt. Dabei wird die Geschichte der mathematischen Symbole kurz dargestellt.

Albrecht Beutelspacher

5. Irrationale Zahlen

Die Entdeckung irrationaler Zahlen ist ein entscheidender Schritt in der Entwicklung der Mathematik. Zunächst wird das historisch erste Auftauchen der Irrationalität am regulären Fünfeck dargestellt, dann wird bewiesen, dass Wurzeln im Allgemeinen irrationale Zahlen sind. In diesem Zusammenhang wird auch nachgewiesen, dass die Eullersche Zahl e irrational ist.In einem zweiten größeren Teil werden Dezimalbrüche eingeführt und geklärt, welche Dezimalbrüche rationale Zahlen darstellen. Hier spielen insbesondere die periodischen Dezimalbrüche eine wichtige Rolle.Schließlich werden quadratische Gleichungen und die entsprechenden Lösungsmethoden behandelt. Dabei werden sowohl die geometrische Methode nach Al-Chwarizmi als auch die algebraischen Methoden erläutert.

Albrecht Beutelspacher

6. Polynome

Zunächst werden Polynome definiert und ihre wichtigsten Eigenschaften hergeleitet. Insbesondere wird die Menge K[x] aller Polynome mit Koeffizienten aus K betrachtet. Dazu gehören die Addition und die Multiplikation von Polynomen und die verschiedenen Gradformeln. Anschließend werden ausführlich der Einsetzungshomomorphismus und Nullstellen von Polynomen studiert.Ein zweiter größerer Teil widmet sich den irreduziblen Polynomen. Dort stehen das Eisensteinkriterium und das Lemma von Gauß im Mittelpunkt. Das Kapitel endet mit der Konstruktion von Körpern als Mengen von Polynomen. Diese Methode wird insbesondere angewandt auf endliche Körper. Ausgehend von Zp werden Körper der Mächtigkeit pn erarbeitet.

Albrecht Beutelspacher

7. Algebraische Zahlen

Algebraische Zahlen sind ein zentrales Thema der Algebra mit zahlreichen Anwendungen. Zunächst werden algebraische Zahlen eingeführt und mit Hilfe des Minimalpolynoms beschrieben. Anschließend werden algebraische Körpererweiterungen studiert. Mit diesem Werkzeug können dann die klassischen Konstruktionsprobleme (Verdoppelung des Würfels, Quadratur des Kreises, Dreiteilung des Winkels) entschieden werden: Keines dieser Probleme ist mit Zirkel und Lineal lösbar! Daran anschließend wird die Frage nach der Konstruierbarkeit von regulären n-Ecken diskutiert.Der letzte Teil dieses Kapitels beschäftigt sich mit transzendenten Zahlen, also Zahlen, die nicht algebraisch sind. Es wird die Transzendenz der Liouvilleschen Konstanten gezeigt und die Sätze von Georg Cantor zur Abzählbarkeit von Q und der Überabzählbarbkeit von R präsentiert.

Albrecht Beutelspacher

8. Gruppen

Gruppen bilden die grundlegendsten algebraischen Strukturen. Im ersten Abschnitt wird eine Fülle von Beispielen von Gruppen vorgestellt. Danach werden systematisch Gruppen, Untergruppen und Nebenklassen behandelt. Im Rahmen der endlichen Gruppen spielt der Satz von Lagrange eine zentrale Rolle. Bei den Ordnungen von Elementen wird insbesondere der Satz von Cauchy über Elemente der Ordnung p dargestellt. Nach der Behandlung zyklischer Gruppen werden Faktorgruppen studiert und insbesondere die Bedeutung des Begriffs Normalteiler herausgearbeitet.Als Anwendung werden fehlererkennende Codes behandelt. Neben theoretischen Erkenntnissen werden konkrete Codes vorgestellt, wie etwa der IBAN-Code oder der Code der Banknoten.

Albrecht Beutelspacher

9. Gleichungen

Zunächst wird die Geschichte der komplexen Zahlen erzählt und diese eingeführt. Ein erster großer Abschnitt behandelt Nullstellen von Gleichungen. Dabei werden ausführlich die Vorzeichenregeln von Descartes beschrieben und der Fundamentalsatz der Algebra erläutert. Anschließend werden die Lösungsgeschichte und die Lösungsmethode der Gleichung dritten Grades dargestellt. Die elementarsymmetrischen Polynome dienen als Grundlage für die Auflösbarkeit von Gleichungen „durch Radikale“, das heißt durch Wurzelausdrücke. Dieser Problemkreis wird im letzten Teil erörtert. Insbesondere wird der Satz von Abel-Ruffini über Gleichungen 5 und höheren Grades dargestellt.

Albrecht Beutelspacher

10. Hinweise zur Lösung der Aufgaben

Hinweise zur Lösungen der Aufgaben

Albrecht Beutelspacher

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