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Über dieses Buch

Dieser Band stellt unterschiedliche Aspekte von und Überlegungen zum Lehren und Lernen von Mathematik aus der Position der Peirce´schen Semiotik vor. Dabei zeigen die hier vorliegenden Beiträge die Flexibilität dieses Werkzeuges sowohl aus praktischer als auch aus theoretischer Sicht.

Das Themenspektrum ist vielfältig: Es finden sich Texte zu Fragen der Visualisierung von Mathematik in unterschiedlichen Schulstufen, Gedanken zur Gebärdensprache, zur Gestenforschung oder zum mehrsprachigen Mathematikunterricht. Ein Beitrag beschreibt das Sichtbare als Mittel der Kreativität zur Konstruktion von neuem Wissen, während ein weiterer der Rekonstruktion diagrammatischen Schließens nachspürt. Darüber hinaus wird eine Perspektive auf das Lernen von Mathematik vorgestellt, welche ohne einengende ontologische Annahmen auskommt.

Der vorliegende Band ist bereits der dritte, der vom GDM Arbeitskreis „Semiotik, Zeichen und Sprache in der Mathematikdidaktik“ gestaltet wird. Alle drei Werke eignen sich sowohl für MathematikdidaktikerInnen wie auch für Lehrkräfte, die einen Einblick in die vielfältige Verwendung von Zeichen und Sprache im Mathematikunterricht gewinnen möchten.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung

Zusammenfassung
In sehr unterschiedlicher Weise haben Mathematikdidaktikerinnen und Mathematikdidaktiker die Bedeutung des Sichtbaren und des schillernden Wortes „Visualisierung“ betrachtet. Exemplarisch sei auf Arbeiten von N. Presmeg (1986, 1994) oder Texte, die in den Sammelbänden der Klagenfurter Visualisierungstagungen (Kautschitsch 1982, 1994) erschienen sind, verwiesen. Gerne verwendete Bezugsdisziplinen waren dabei z. B. die lernpsychologischen Theorien von Jean Piaget (1955) oder Jerome Bruner (1966).
Gert Kadunz

Theoretische Überlegungen

Frontmatter

Kapitel 2. Zeichen statt Metaphysik

Zusammenfassung
Der Mathematik werden Besonderheiten zugeschrieben, die sie von anderen Wissenschaften wesentlich unterscheiden. Wenn manche Autoren hier nur graduelle Unterschiede sehen, so bleiben doch unbestritten die absolute Wahrheit und Exaktheit mathematischer Sätze oder deren Zeitlosigkeit und Universalität. In großen Teilen der Philosophie der Mathematik werden diese Phänomene durch den Hinweis auf die Qualität mathematischer Objekte zu erklären versucht, was aber zu Widersprüchen führt. Erst durch den Verzicht auf ontologische Erklärungen bei Wittgenstein wird eine nüchterne Klärung ohne metaphysische Hilfen möglich. Zentral dafür ist die Sichtweise mathematischer Sätze und Formeln als Regeln.
Willi Dörfler

Kapitel 3. Theorematische Deduktion als kreative Verwendung von Inskriptionen

Theorematische Deduktion – Kreativität – Zeichen – Verwendung – Regeln – Bedeutung
Zusammenfassung
Peirce versucht die kreative Seite der Mathematik vor allem durch den Begriff „theorematische Deduktion“ zu fassen. Im vorliegenden Aufsatz wird diesem Begriff mithilfe eines konstruktiven Schemas in drei Schritten eine instrumentelle Form gegeben. Ausgehend von konkreten Beispielen werden Möglichkeiten besprochen, wie Lernen von Mathematik so gestaltet werden kann, dass das Schema im Schulkontext zu einem Instrumentarium der kreativen Kenntnisgewinnung, Wissensbegründung und Problemlösung entwickelt werden kann.
Martin Brunner

Semiotik in der Praxis, das Sichtbare ordnen

Frontmatter

Kapitel 4. Diagrammatisches Schließen lehren und lernen

Zusammenfassung
In der von Regeln geprägten Mathematik hat das diagrammatische Schließen beim Aufbau der und Anwenden von Mathematik einen wichtigen Stellenwert. Dieses Schließen soll daher von der Grundschule an bis hin zur Universität zentraler Bestandteil des Unterrichtens sein. Nachdem Diagramme im Gegensatz zu „abstrakten Objekten“ sinnlich wahrnehmbar sind, kann das diagrammatische Schließen vorgeführt und wie ein Handwerk gelernt werden. Im Text wird dargelegt, wie dazu Lernumgebungen gestaltet werden könnten. Besonderer Wert wird auf das Finden von neuen Diagrammen und Diagrammumformungen gelegt. In diesem Zusammenhang erweist es sich als zweckmäßig, drei Arten von Diagrammen zu verwenden: Klassische informale und computerunterstützte Diagramme. Diese Diagramme können bei mathematischen Anwendungen erfolgreich verwendet werden. Als hilfreich für Erklärungsversuche der dargelegten Vorgehensweise erweisen sich Wittgensteins Regelsicht auf die Mathematik, eine diagrammatische Realitätssicht und Teile der Semiotik nach.
Hermann Kautschitsch

Kapitel 5. Rekonstruktion diagrammatischen Schließens beim Erlernen der Subtraktion negativer Zahlen

Vergleich zweier methodischer Zugänge
Zusammenfassung
Diagrammatisches Schließen wird im Zusammenhang mit dem Lernen von Mathematik und ihrer Symbolsprache als wesentliche Theorie der Wissenskonstruktion diskutiert. Dabei wird häufig davon ausgegangen, dass die Wissenskonstruktion im Sinne diagrammatischen Schließens erfolgt. Deskriptive Rekonstruktionen diagrammatischen Schließens bei Lernenden stellen jedoch ein Desiderat der mathematikdidaktischen Forschung dar. Der vorliegende Beitrag befasst sich mit der Fragestellung, wie sich diagrammatisches Schließen bei Lernenden rekonstruieren lässt. Als mögliche Werkzeuge für eine solche Rekonstruktion werden Toulmins Argumentationsschema und Vergnauds Schema-Begriff exemplarisch auf das diagrammatische Schließen eines Schülerpaars beim Einstieg in die Subtraktion negativer Zahlen angewandt. Abschließend wird die tatsächliche Eignung der beiden Ansätze zur Rekonstruktion diagrammatischen Schließens diskutiert.
Jan Schumacher, Sebastian Rezat

Kapitel 6. Über Darstellungen reflektieren

Darstellungswechsel in der Primarschule fördern
Zusammenfassung
Darstellungen sind für das mathematische Verständnis unerlässlich. Im Mathematikunterricht allgemein und auch im Sachrechnen sind die Kinder mit verschiedenen Darstellungen konfrontiert. Beispielsweise wird ihnen als Bearbeitungshilfe empfohlen, zu Textaufgaben eine grafische Darstellung anzufertigen. Dies wird jedoch von den Kindern kaum genutzt und bereitet ihnen oft Schwierigkeiten. Im Beitrag werden die Unterschiede zwischen Textaufgaben und grafischen Darstellungen sowie die Herausforderungen beim Wechsel zwischen diesen beiden Darstellungsformen herausgearbeitet. Anhand typischer Fallbeispiele wird rekonstruiert, wie Kinder in einem Unterricht, der grafische Darstellungen in Reflexionsgesprächen ins Zentrum rückt, in ihren selbst generierten grafischen Darstellungen und Erklärungen zunehmend auf mathematische Strukturen achten.
Barbara Ott

Zeichen hören und Zeichen sehen

Frontmatter

Kapitel 7. Translanguaging im Mathematikunterricht

Unterschiedliche Funktionen der Erst- und Zweitsprache beim mehrsprachigen Lehren und Lernen von mathematischen Inhalten
Zusammenfassung
In diesem Beitrag wird eine Studie zur Erforschung von Lehrpraktiken des Translanguaging durch bilinguale Grundschullehrkräfte im Mathematikunterricht auf Malta vorgestellt. Zunächst werden theoretische Grundlagen zu Translanguaging und zur Mehrsprachigkeit im Mathematikunterricht dargestellt und theoretische Erkenntnisse in der kognitiven Mathematik in Zusammenhang mit dem Konstrukt Mehrsprachigkeit gebracht. Nach der Beschreibung der Methodologie und des Designs dieser Studie, die als Fallstudie charakterisiert werden kann, werden konkrete Beispiele vorgestellt, an denen sich die unterschiedlichen Funktionen zweier Sprachen beim Lehren und Lernen von mathematischen Inhalten in einem translingualen Kontext explizit herausarbeiten lassen. Während die Erstsprache im translingualen Mathematikunterricht in den analysierten Fällen auf Malta eher mündlich für die Darstellung konkreter Situationen und dynamischer Handlungen eingesetzt wird, tritt die Zweitsprache eher schriftlich auf, um abstraktere und statische mathematische Phänomene darzustellen.
Angel Mizzi

Kapitel 8. Semiotische Perspektiven auf das Erklären von Mathematik in Laut- und Gebärdensprache

Zusammenfassung
Mit Blick auf den Einfluss der Wahl der Mittel auf mathematische Erklärungen werden drei mediale Umsetzungen von Erklärungen unter einer semiotischen Perspektive untersucht. Die mathematischen Erklärungen wurden als Video und Audio in Lautsprache sowie als Video in Österreichischer Gebärdensprache realisiert. Zur Analyse wird das Konzept der „semiotic mediation“ nach Hasan (2002, 2005) verwendet und für die drei medial unterschiedlichen Erklärungen zum Vergleich herangezogen. Im Beitrag wird zunächst die Erstellung der drei Produkte beschrieben und diese in Ausschnitten dargestellt. Das Konzept der „semiotic mediation“ nach Hasan wird erläutert und auf die Erklärungen bezogen. So können Gemeinsamkeiten und Unterschiede der medial unterschiedlichen Erklärungen dargestellt werden.
Christof K. Schreiber, Annika M. Wille

Kapitel 9. Mathematische Gebärden der Österreichischen Gebärdensprache aus semiotischer Sicht

Zusammenfassung
Was sind Merkmale gebärdensprachlicher mathematischer Begriffe? Dieser Frage wird am Beispiel der Österreichischen Gebärdensprache nachgegangen. Dabei werden Gebärden aus einer semiotischen Sicht betrachtet, die sich auf den Peirceschen Zeichenbegriff bezieht. Insbesondere werden die Ikonizität und die Indexikalität mathematischer Fachgebärden ausdifferenziert und in Beispielen veranschaulicht. Die Untersuchung wird als Grundlagenforschung verstanden, um auf lange Sicht den Zusammenhang zwischen Gebärdensprache und Mathematiklernen sowie einen möglichen Einfluss von Lernen in Gebärdensprache auf mathematische Begriffsbildungsprozesse zu erkunden.
Annika M. Wille

Kapitel 10. Modusschnittstellen in mathematischen Lernprozessen

Handlungen am Material und Gesten als diagrammatische Tätigkeit
Zusammenfassung
In mathematischen Interaktionen wird von jungen Lernenden weit mehr als der lautsprachliche Modus genutzt, um den Aushandlungsprozess zu gestalten. Beispielsweise wird das Angebot, Material für ihre Ausdeutung der mathematischen Situation auf spezifische Weise anzuordnen ebenso, wie eine Vielzahl an gestischen Ausdrücken verwendet, um sich einem gegebenen mathematischen Problem anzunähern. Der Beitrag fokussiert auf Modusschnittstellen solcher Handlungen an Materialien und Gesten, die sich z. B. beim Wechsel von einem in den anderen Ausdrucksmodus rekonstruieren lassen, aber auch funktionale Überschneidungen der Modi zeigen können. Anhand dieser Modusschnittstellen lässt sich untersuchen, auf welche Weise und an welchen Stellen Lernende bei der Beschäftigung mit einem mathematischen Problem Handlungen und Gesten nutzen und welche Funktion und Bedeutung diese im Lösungsprozess einnehmen. Theoretisch gerahmt wird dieser Blick auf das frühe Mathematiktreiben mit Ansätzen aus der Gestikforschung (vgl. u. a. McNeill 1992, 2005; Kendon 2004; Arzarello 2006; Huth 2018) und Theorieansätzen zur Bedeutung des Handelns am Material für das mathematische Lernen (vgl. Lorenz 2011; Karmiloff-Smith 1996; Vogel 2017b; Dörfler 2006b).
Rose F. Vogel, Melanie C. M. Huth
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