Zufällige Punktprozesse

In diesem einführenden Kapitel möchten wir gewisse inhaltliche Vorstellungen über zufällige Punktprozesse auf der reellen Achse und deren verschiedene Darstellungsarten sowie über ebene und räumliche Punktprozesse vermitteln und einige typische Anwendungsbeispiele von Punktprozessen in verschiedenen Disziplinen angeben.

Wir definieren, ausgehend von den inhaltlichen Ausführungen in Kapitel 1, einen zufälligen Punktprozeß in R zunächst als ein zufälliges Zählmaß auf der σ-Algebra ℛ der Borel-Mengen von R.

Die Stationarität eines Punktprozesses wird als eine Invarianzeigenschaft gegenüber einem Verschiebungsoperator definiert und als Zeitstationarität interpretiert. Es folgen ein Stationaritätskriterium, der Begriff der Intensität und die Betrachtung des stationären Poissson-Prozesses.

Für drei Klassen von Punktprozessen in R untersuchen wir nun, unter welchen Bedingungen diese Punktprozesse stationär sind. Wir tun dies für die bereits in Abschnitt 2.4 eingeführten rekurrenten Punktprozesse sowie für Cox-Prozesse, d.h., für Mischungen von Poisson-Prozessen, und für Poissonsche Cluster-Prozesse. Außerdem beschreiben wir die jeweils spezielle Gestalt der zugehörigen Palmschen Verteilung bzw., im Fall nichteinfacher rekurrenter Punktprozesse, der Verteilung der zugehörigen, in (4.24) definierten stationären Folge Z = |Z _n ; n ∈ G}. Bei der Definition von Cox-Prozessen und bei der Herleitung von grundlegenden Eigenschaften dieser Klasse von Punktprozessen benutzen wir die Begriffe des zufälligen Maßes (mit nicht notwendig ganzzahligen Werten) und des Laplace-Funktionais eines zufälligen Maßes aus Kapitel 3. Im Zusammenhang mit der Untersuchung von Cluster-Prozessen verwenden wir das erzeugende Funktional und leiten zwei Invarianzeigenschaften des Poisson-Prozesses bezüglich zufälliger ortsabhängiger Verschiebung bzw. Verdünnung der Punkte her.

In Kapitel 4 wurden die Begriffe des stationären Punktprozesses und der Palmschen Verteilung P⁰ eines stationären Punktprozesses Φ eingeführt, einige grundlegende Eigenschaften sowie der eineindeutige Zusammenhang zwischen stationären Punktprozessen bzw. zugehörigen Palmschen Verteilungen und stationären Folgen von nichtnegativen Zufallsgrößen diskutiert. In Kapitel 5 wurden Stationaritätskriterien und die jeweilige Gestalt der Palmschen Verteilung für spezielle Klassen von Punktprozessen angegeben. Nun kehren wir zur Untersuchung von Eigenschaften beliebiger stationärer Punktprozesse bzw. ihrer Palmschen Verteilungen zurück. Dabei geben wir eine weitere, sogenannte lokale Charakterisierungsmöglichkeit der Palmschen Verteilung P⁰ eines einfachen stationären Punktprozesses Φ an, und zwar als Grenz Verteilung einer Folge von bedingten Verteilungen. Damit kann P⁰ als bedingte Verteilung von Φ unter der Bedingung, daß im Nullpunkt ein Punkt des Punktprozesses Φ liegt, gedeutet werden. Für Palmsche Verteilungen von nicht notwendig stationären Punktprozessen wurde eine solche Interpretationsmöglichkeit bereits in Abschnitt 3.4 betrachtet.

Ergodische und mischende Punktprozesse bilden wichtige Teilklassen stationärer Punktprozesse. Sie umfassen beispielsweise gewisse stationäre rekurrente Punktprozesse, stationäre Poissonsche Cluster-Prozesse sowie gewisse stationäre Cox-Prozesse. Ausgehend von den in Abschnitt 7.1 für allgemeine dynamische Systeme enthaltenen Ergebnissen werden in Abschnitt 7.2 mehrere äquivalente Definitions- und Charakterisierungsmöglichkeiten der Ergodizität eines stationären Punktprozesses, unter anderem mit Hilfe der Palmschen Verteilung und des erzeugenden Funktionais angegeben. In Abschnitt 7.3 wird die Palmsche Verteilung P⁰ eines ergodischen Punktprozesses Φ als die Verteilung charakterisiert, die sich von einem typischen Punkt von Φ aus gesehen ergibt. In Erweiterung zu der in den Kapiteln 3 und 6 behandelten lokalen Charakterisierung von P⁰ gilt diese Deutung auch für nichteinfache Punktprozesse. Außerdem wird gezeigt, wie die T-invariante Verteilung P eines ergodischen Punktprozesses ausgehend von der Palmschen Verteilung P⁰ durch Zeitverschiebung und -mittelung approximiert werden kann bzw. umgekehrt die Palmsche Verteilung P⁰ durch die stationäre Verteilung P. Bei mischenden Punktprozessen ist dabei in bestimmten Fällen keine Mittelung erforderlich.

Wie bereits in Abschnitt 1.3 durch Beispiele belegt wurde, sind in vielen Fällen der Anwendung von Punktprozessen Φ ~ {X _n } die zufälligen Punkte X _n teilweise von unterschiedlichem Typ. Dieser Sachverhalt läßt sich dadurch erfassen, daß jeder der Punkte X _n mit einer weiteren Zufallsvariablen als zusätzliche Information versehen wird. Neben dem zufälligen Punktprozeß Φ : Ω → N wird dann noch eine Folge {M _n } von Zufalls variablen M _n : Ω → K betrachtet, die über dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum [Ω, ℱ, P] gegeben ist.

Bei Modellen der Bedienungs-, Zuverlässigkeits- bzw. Lagerhaltungstheorie treten im Zusammenhang mit markierten Punktprozessen, die beispielsweise den Input solcher Modelle beschreiben können, auch zufällige Prozesse mit stetiger Zeit auf, die als Funktional eines markierten Punktprozesses aufgefaßt werden können. Ein einfaches Beispiel dieser Art sind die in Abschnitt 5.1 eingeführten Prozesse der Vorwärtsrestzeit bzw. der Rückwärtsrestzeit, bei deren Definition allerdings Marken noch keine Rolle spielen. Eine Verallgemeinerung auf den markierten Fall ist durch die Vektoren (Y(t), M(t)), bestehend aus der Restzeit Y(t) und der Marke M(t) des letzten Punktes vor dem Zeitpunkt t ∈ R, gegeben. In Abschnitt 8.4 wurden solche Vektoren (Y(t), M(t)) für semimarkowsche markierte Punktprozesse betrachtet, wobei Y(t) je nachdem, welchen Wert M(t) annimmt, als Restlebenszeit, Restreparaturzeit, Restpausenzeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ankunftszeitpunkten von Bedienungsforderungen, Restbedienungszeit etc. zum Zeitpunkt t aufgefaßt werden kann. Der semimarkowsche markierte Punktprozeß selbst ist dann aus der Sicht des zufälligen Prozesses {(Y(t), M(t)); t ∈ R} mit stetiger Zeit ein eingebetteter markierter Punktprozeß.

In diesem Kapitel werden weitere Charakteristiken von Punktprozessen eingeführt und anhand von Beispielen erläutert. In den Abschnitten 10.1 bis 10.4 werden Punktprozesse als Zählprozesse aufgefaßt (vgl. auch Abschnitt 2.3) und auf diese Weise als Submartingal dargestellt. Dadurch ist es möglich, bei der Untersuchung von Punktprozessen Ergebnisse und Methoden der Martingaltheorie anzuwenden. Eine wichtige Rolle spielen in diesem Zusammenhang der Begriff der Vorhersagbarkeit sowie der Kompensator eines Zählprozesses, der als vorhersagbarer Anteil des zugehörigen Zählprozesses gedeutet werden kann. Dabei hängt die Gestalt des Kompensators nicht nur von dem zugrundeliegenden Punkt- bzw. Zählprozeß ab, sondern auch von der Struktur bzw. vom Grad der Detailliertheit der Information, auf deren Grundlage die Vorhersage erfolgt. Dies wird durch den Begriff der Geschichte des Zählprozesses erfaßt.

Ausgehend von der Vorstellung über einen zufälligen Punktprozeß auf der reellen Achse als eine Folge von zufällig in R verteilten Punkten, ist es zunächst naheliegend, sich einen zufälligen Punktprozeß im R ^d als eine Folge von zufälligen d-dimensionalen Vektoren vorzustellen. Für d = 2 bzw. d = 3 führt dies insbesondere zu der Vorstellung von einer Folge zufällig in der Ebene bzw. im Raum verteilter Punkte. Der bereits für Punktprozesse auf der reellen Achse benutzte Zugang mittels zufälliger Zählmaße erweist sich jedoch auch hier in vielen Fällen als besser handhabbar. Außerdem wird gezeigt, in welchem Sinne ein zufälliger Punktprozeß im d-dimensionalen euklidischen Raum R ^d als zufällige abgeschlossene Menge im R ^d aufgefaßt werden kann.

In diesem Kapitel werden die Stationarität und Isotropie von Punktprozessen im R ^d und in weiteren Räumen behandelt. Dabei gibt es einerseits eine Reihe von Parallelen zu den Ergebnissen für stationäre Punktprozesse auf der reellen Achse, die in den Kapiteln 4 bis 6 dargelegt wurden. Es zeigt sich aber, daß sich nur diejenigen Resultate für stationäre Punktprozesse in R sinnvoll auf Punktprozesse im R ^d übertragen lassen, die nicht an die natürliche lineare Ordnungsstruktur der reellen Achse gebunden sind. Insofern besitzen stationäre Punktprozesse auf der reellen Achse eine eigene Spezifik und sind nicht lediglich als Spezialfall von stationären Punktprozessen in Räumen mit einer höheren Dimension anzusehen.

Zufällige markierte Punktprozesse im R ^d spielen eine wichtige Rolle in der stochastischen Geometrie (vgl. Abschnitt 1.3). Von besonderem Interesse ist dabei der Fall, daß durch die Marken zufällige geometrische Figuren beschrieben werden und daß durch die Punkte selbst die Lage dieser Figuren im R ^d erfaßt wird. Solche markierten Punktprozesse, genannt Keim-Korn-Prozesse, bilden den Gegenstand der Betrachtungen des vorliegenden Kapitels. Werden spezielle Kornformen vorausgesetzt, dann können auf diese Weise zum Beispiel zufällige Faserbzw. Kugelsysteme modelliert werden. Im Zusammenhang mit stationären Keim-Korn-Prozessen wird in Abschnitt 13.3 insbesondere der Fall betrachtet, daß der zugrundeliegende Punktprozeß poissonsch ist, was dann zum Begriff des Booleschen Modells führt. Für diesen Spezialfall werden leicht handhabbare Formeln für das Kapazitätsfunktional, die Kovarianzfunktion und die sphärische Kontaktverteilungsfunktion angegeben. In Abschnitt 13.4 wird anhand ausgewählter Beispiele gezeigt, wie sich Charakteristiken stationärer Keim-Korn-Prozesse mittels stereologischer Formeln aus linearen bzw. ebenen Schnitten dieser Prozesse bestimmen lassen.