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2022 | OriginalPaper | Buchkapitel

16. Zustandsraummodelle undder Kalman-Filter

verfasst von: Klaus Neusser, Martin Wagner

Erschienen in: Zeitreihenanalyse in den Wirtschaftswissenschaften

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Auszug

Die Zustandsraumdarstellung ( state-space representation) ist ein allgemeiner, ursprünglich aus der Regelungstechnik stammender Ansatz, um dynamische Systeme im Zeitbereich flexibel darzustellen, zu modellieren und letztlich auch zu steuern. Dabei wird der innere, möglicherweise nicht oder nur teilweise beobachtbare Zustand des Systems im Zeitpunkt t durch einen m-dimensionalen Vektor X t beschrieben. Die Veränderung des Zustands wird durch eine stochastische lineare Differenzengleichung erster Ordnung – ähnlich einem VAR-Modell der Ordnung eins – beschrieben. Eine zweite lineare Gleichung stellt die Verbindung zwischen dem Zustand und dem n-dimensionalen Vektor Y t der Beobachtungen her. Trotz dieser „einfachen“ Struktur lässt sich eine große Klasse von Modellen als Zustandsraummodelle darstellen. Insbesondere umfasst die Klasse der Zustandsraummodelle die VARMA-Modelle. Weiter können auch Unobserved-Components-Modelle bzw. strukturelle Zeitreihenmodelle, die eine gegebene Zeitreihe in verschiedene Komponenten wie z. B. Trend, Saison und Konjunktur zerlegen, in diesem Rahmen behandelt werden. Ein weiterer Vorteil der Zustandsraumdarstellung ist die relativ einfache Möglichkeit, fehlende Beobachtungen sowie Messfehler einzubeziehen. …
Fußnoten
1
Siehe Kalman [160, 161].
 
2
In der Folge behandeln wir auch Beispiele mit zeitvariablen Parametern.
 
3
In der Kontrolltheorie wird Gl. (16.1) um einen weiteren Term HUt verallgemeinert. Dieser stellt den Effekt einer auf das System angewendeten Kontrolle Ut dar.
 
4
Eine wichtige Problemstellung in der Systemtheorie ist die Bestimmung einer Zustandsraumdarstellung mit minimaler Dimension.
 
5
Siehe auch Übungsaufgabe 17.2.
 
6
Theoretisch könnten auch mehrere Schwingungen betrachtet werden.
 
7
Andere saisonale Modelle sind in Harvey [139] und Hylleberg [146] zu finden.
 
8
Prototypische Modelle sind in King et al. [167] oder Woodford [279] zu finden. Gute Einführungen in die Analyse von DSGE-Modellen sind in Canova [53] und DeJong und Dave [77] zu finden.
 
9
Für eine systematische Anwendung von Zustandsraummodellen in der Makroökonomie siehe Sargent [246] oder Fernández-Villaverde et al. [101]. In dieser Literatur ist es weit verbreitet, Bayesianische Verfahren zu verwenden (siehe Abschn. 17.​1). Eine Übersicht und Einführung in die Literatur geben An und Schorfheide [3].
 
10
Diese Annahme ist keinesfalls notwendig. Vergleiche dazu das Kap. 4über Prognose.
 
11
Das Analogon zu dieser Methode in einem Bayesianischen Kontext ist der sogenannte Gibbs-Sampler. Im Unterschied zum ebenfalls zweistufigen EM-Algorithmus wird dabei im ersten Schritt nicht der Erwartungswert der Zustände berechnet, sondern für gegebene Parameter aus der Verteilung der Zustände ein Zustandsvektor gezogen. Im zweiten Schritt wird, anstatt die Likelihood-Funktion zu optimieren, für gegebene Zustände aus der Verteilung der Parameter gezogen. So resultiert eine Markov-Kette in den Parametern, welche als stationäre Verteilung die Verteilung der Parameter und der Zustände gegeben die Daten hat. Eine detaillierte Darstellung Bayesianischer Methoden und des Gibbs-Samplers ist in Geweke [111] enthalten. Kim und Nelson [166] diskutieren die Methode im Zusammenhang mit Zustandsraummodellen, unter besonderer Berücksichtigung von Strukturbrüchen. Abschn. 17.​1gibt eine Einführung in den Bayesianische Ansatz.
 
12
Auf diese Weise erkennt man, dass das AR(1)-Modell mit Messfehlern ohne zusätzliche Annahmen nicht identifiziert ist.
 
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Metadaten
Titel
Zustandsraummodelle undder Kalman-Filter
verfasst von
Klaus Neusser
Martin Wagner
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-64650-2_16

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