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Über dieses Buch

Das Buch beschreibt dynamische Systeme im Zustandsraum sowie deren Überprüfung auf Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit. Ebenso wird das Berechnen von Systemantworten, das Dimensionieren von Zustandsregelkreisen nach dem Verfahren der Polvorgabe sowie die Optimierung von Zustandsreglern (Riccatti-Regler) behandelt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Übersicht

Zusammenfassung
Bei der Analyse und Synthese linearer zeitinvarianter Übertragungsglieder mit konstanten Koeffizienten wird in der „traditionellen Regelungstechnik“ auf das Ein-/Ausgangsverhalten dieser Systeme zurückgegriffen. Nicht lineare Systeme können in linearisierter Form bei dieser Betrachtungsweise berücksichtigt werden. Die internen Signalverläufe sind bei dieser Methode nur summarisch in der Ausgangsgröße enthalten. Das Übertragungsverhalten wird im Zeitbereich durch Differenzialgleichungen beschrieben, im Frequenzbereich durch die Laplace-Transformation. Hier ist auch die Übertragungsfunktion definiert, das Äquivalent zur Differenzialgleichung, die das Ein- Ausgangsverhalten eines dynamischen Systems beschreibt. Um diese Verfahren und ihre Beschreibungsmethoden von den moderneren Entwicklungen abzugrenzen, spricht man auch von der klassischen Regelungstechnik.
Handelt es sich um ein System mit einer Eingangs- und einer Ausgangsgröße, nennt man es auch Eingrößensystem. Systeme mit mehreren Ein- und Ausgangsgrößen Mehrgrößensysteme. Hier kann die Anzahl der Eingänge unterschiedlich zu der Anzahl der Ausgänge sein.
Hildebrand Walter

2. Das Streckenmodell in der Regelungstechnik

Zusammenfassung
In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie aus der das dynamische Verhalten eines Übertragungssystems beschreibende Differenzialgleichung die Zustandsgleichungen hergeleitet werden können. Hierbei benutzt man zwei Wege: Den Zeitbereich oder den Bildbereich. Ziel der Ausarbeitung sind die Zustandsgleichungen, ein System von Differenzialgleichungen erster Ordnung sowie deren grafischen Darstellung, meistens in normierter Form.
Bei der Untersuchung dynamischer Systeme ist die Reaktion eines Systems bei gegebener Eingangsgröße durch das Übertragungsverhalten oder Ein-/Ausgangsverhalten des Systems gekennzeichnet. Zeigt das System bei dem Signalübertragungsprozess lineares Verhalten, dann lässt es sich durch eine lineare, zeitinvariante gewöhnliche Differenzialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschreiben:
$$\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{\left(n-1\right)}+\cdots+a_{1}\dot{y}+a_{0}y(t)\\ \displaystyle&\displaystyle=b_{0}u(t)+b_{1}\dot{u}+\cdots+b_{m-1}u^{\left(m-1\right)}+b_{m}u^{(m)}\end{aligned}$$
(2.1)
Die Anfangswerte sind y(0) = y0, \(\dot{y}(0)=y_{1}\), …, \(y^{(n-1)}(0)=y_{n-1}\). Die Ausgangsgröße ist y(t), die Eingangsgröße u(t). Beide können auch wie bei Mehrgrößensysteme vektorielle Größen sein.
Hildebrand Walter

3. Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit

Zusammenfassung
Eine der grundlegenden Eigenschaften von dynamischen Systemen sind Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit. Sie müssen erfüllt sein, wenn die Lösbarkeit von Regelungsaufgaben gewährleistet sein soll. Die Steuerung zielt auf die Beeinflussung der Zustandsgrößen, die Ausgangssteuerbarkeit auf die Ausgangsgrößen, was meistens auch gewünscht ist. Daneben ist die Beobachtbarkeit eine elementare Forderung an dynamische Systeme. Kalman [2] hat zur Überprüfung dieser Systemeigenschaften Kriterien angegeben, die erfüllt sein müssen, wenn diese Merkmale gegeben sein sollen. Er bezieht sich dabei auf die in (2.32) definierten Matrizen \(\bar{A},\bar{B},\bar{C}\) und \(\bar{D}\) eines MIMO-Systems, SISO-Systeme sind darin enthalten.
Hildebrand Walter

4. Berechnung von Systemantworten aus der Zustandsbeschreibung

Zusammenfassung
Die Berechnung der Antwortfunktion y(t) bei Systemen, deren Ein-/Ausgangsverhalten durch eine Differenzialgleichung definiert ist (2.1), erfolgt durch Lösen der Gleichung im Zeitbereich. Meistens ist es aber bequemer, die Differenzialgleich in den Bildbereich zu transformieren und hier die Lösung zu suchen. Dieses Verfahren kann auch bei Systemen angewandt werden, deren Übertragungsverhalten durch Zustandsgleichungen beschrieben wird. Grundidee ist dabei die Einführung einer Matrizen-Exponentialfunktion, eine Funktion, deren Exponent eine Matrix ist.
Hildebrand Walter

5. Synthese einer Zustandsregelung nach dem Verfahren der Polvorgabe

Zusammenfassung
Das dynamische Verhalten einer Regelung wird ausschließlich durch die Lage der Pol- und Nullstellen der Übertragungsfunktion bestimmt. Beim Verfahren der Polvorgabe wird die Dynamik des Regelkreises als Ziel vorgegeben. Sie lässt sich durch ein der Strecke parallel liegendes Netzwerk, der Reglermatrix, beeinflussen. Über diese Matrix werden die Zustandsgrößen auf den Streckeneingang zurückgeführt. Mithilfe der Elemente der Reglermatrix können die Pole des ursprünglichen Regelkreises auf die gewünschte Stelle in der s-Ebene verschoben werden. Dieser Vorgang ist kein Optimierungsverfahren, da ein auf das Einschwingverhalten des Regelkreises zielgerichtetes Gütekriterium nicht verwendet wird.
Die Vorgehensweise in der Praxis ist so, dass die gewünschten Pole des geschlossenen Regelkreises vorgegeben werden. Aus der Differenz zwischen gewünschtem und ursprünglichem Pol wird der Betrag der Verschiebung berechnet. Dieses einfache Verfahren ist so nur durchführbar, wenn die Zustandsbeschreibung der Strecke in Regelungsnormalform vorliegt. In diesem Falle können die Elemente des Rückführvektors über einen Koeffizientenvergleich direkt angegeben werden. Der so definierte Zustandsregler ist nur dann in der Lage alle Pole wunschgemäß zu verschieben, wenn das System steuerbar ist.
Hildebrand Walter

6. Optimieren von Regelkreisen in Zustandsbeschreibung

Zusammenfassung
Beim Verfahren der Polvorgabe ist die Auswirkung auf die Stell- und Regelgröße schwer zu überblicken. Deshalb dürfte ein zugeschnittenes Optimierungsverfahren das geeignetere Mittel sein, die geplante Dynamik des geschlossenen Systems wunschgemäß zu verwirklichen. Unter Optimierung versteht man, ein zweckmäßig gewähltes Gütemaß zu minimieren. Das Gütemaß bewertet dabeiDas Gütemaß kann auf unterschiedliche Weise zusammengestellt sein. In der klassischen Regelungstechnik benutzt man meistens ein quadratisches Gütekriterium, um die Reglerparameter optimal auszuwählen. Durch das Quadrieren der Regeldifferenz werden Vorzeichenprobleme beseitigt und größere Abweichungen im Kriterium stärker gewichtet.
Bei der Zustandsregelung wird nach ähnlichem Muster verfahren. Bei Eingrößensystemen nimmt man die mit dem Faktor r gewichtete Stellgröße in das Kriterium auf. Das Einschwingverhalten der Stellgröße wird dadurch beeinflusst. Je größer der Faktor r gewählt wird, desto stärker wird der Stellgrößenverlauf beschränkt. Das Einschwingverhalten der Regelgröße wird dadurch weniger eingegrenzt. Das Ergebnis der Optimierung liefert optimale Einstellregeln für einen gegebenen Regler.
Für Eingrößensysteme lautet das Gütefunktional in Anlehnung an das ISE-Kriterium:
$$\boldsymbol{J=\int_{0}^{\infty}\left[y(t)qy(t)+u(t)ru(t)\right]dt\rightarrow\mathrm{Min}!}$$
(6.1)
Mit
Hildebrand Walter

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