Kreditderivate und Kreditrisikomodelle

In diesem Kapitel werden zunächst die elementaren Produkte und die wesentlichen Begrifflichkeiten eingeführt. Dies geschieht mit deutlichem Bezug zur jeweiligen wirtschaftlichen Bedeutung und ohne die Voraussetzung weitreichender finanzmathematischer Zusammenhänge. Ziel ist es, die in den nachfolgenden Kapiteln vorgenommene finanzmathematische Behandlung von Kreditderivaten und Kreditrisikomodellen durch eine detaillierte Darstellung des ökonomischen Umfelds hinreichend zu motivieren. Wir beschränken uns in der Produktdarstellung im Wesentlichen auf die Credit Default Swaps, für die die aktuellen Quotierungsstandards nach dem Big Bang und Small Bang 2009 dargestellt werden. Eine Darstellung mit weiterführenden Produktbeispielen findet sich im Anhang D.

Vereinzelt müssen Begriffe der Zinsrechnung ebenso wie die Kenntnisse elementarer Zinsprodukte vorausgesetzt werden. Hierzu wird zunächst einmal – aus rein didaktischen Gründen der Vereinfachung der Darstellung – auf die klassischen Monographien von Reitz, Martin und Schwarz (2004), von Brigo und Mercurio (2006) und von Hull (2003) sowie die darin aufgeführte Literatur verwiesen.

Die Auswirkungen der Finanzkrise auf diese ”klassische“ Bewertungstheorie werden wir im zweiten und vierten Kapitel wieder aufgreifen und unter anderem auch die modernen ”Mehrkurvenansätze“ sowie die Berücksichtigung der Kontrahentenrisiken (insbesondere der Credit Valuation Adjustments (CVA) und deren Unterlegung mit regulatorischem Kapital) skizzieren, wozu in diesem Kapitel erste Grundlagen gelegt werden.

Im Mittelpunkt dieses Kapitels stehen die mathematischen Konzepte, die zur Modellierung der in Kapitel 1 beschriebenen Märkte und Produkte eingesetzt werden. Der grundlegende Rahmen, in dem wir uns hier bewegen, ist das arbitragefreie Marktmodell, welches in der modernen Finanzmathematik seit den fundamentalen Arbeiten von Harrison und Kreps (1979) und von Harrison und Pliska (1981/1983) die theoretische Basis für die Bewertung aller Arten von Finanzinstrumenten, insbesondere Derivaten, bildet. Bereits im Jahr 1973 verwendeten F. Black und M. Scholes in ihrer epochalen Arbeit die Idee der Arbitragefreiheit zur Herleitung von analytischen Optionspreisformeln. Wir werden im ersten Abschnitt das Black-Scholes-Model vorstellen als Grundlage für die dann folgenden weitergehenden Überlegungen. Das allgemeine arbitragefreie Marktmodell führen wir im zweiten Abschnitt ein, allerdings ohne alle Einzelheiten zu beweisen, um den Umfang unserer Darstellung nicht zu sprengen. Es liefert eine universelle Bewertungsformel für kreditrisikobehaftete Produkte, bei der die konkrete stochastische Modellierung des Ausfallzeitpunktes noch nicht näher spezifiziert wird. Letzteres erfolgt im dritten Abschnitt dieses Kapitels und führt dann zu den weit verbreiteten Modellklassen der sog. Unternehmenswertmodelle sowie der Hazardraten- bzw. Intensitätsmodelle, wobei für die erste Modellklasse auf die Szenario-Erzeugung unter Wrong Way Risks (WWR) eingegangen wird.

Zu Beginn von Kapitel 1 wurden bereits die verschiedenen Arten von Risiken dargelegt, denen sich eine Bank beim Eingehen von Geschäften ausgesetzt sieht. Wir werden in diesem Kapitel die Verfahren zur mathematischen Modellierung und Messung von Kreditrisiken im Portfoliozusammenhang näher behandeln.

Daher liegt auf der Modellierung von (korrelierten) Ausfällen in einem Portfolio der Hauptaugenmerk in diesem Kapitel. Neben den Faktormodellen, aus welchen unter anderem auch die Baseler Eigenkapitalformel für Kreditrisiken hergeleitet wird, werden die Vor- und Nachteile der klassischen kommerziellen Modellierungsansätze nach CreditMetrics, KMV Moody´s und CreditRisk+ behandelt, die häufig wichtige Komponenten der heute etablierten internen Kreditportfoliomodelle liefern. Insofern rundet ein Abschnitt über die Praxis der Kreditrisikomessung in und nach der Finanzkrise mit Ausblicken zu Mehrperiodenmodellen und zum Stresstesting diese Einführung ab und führt an hochaktuelle Themen heran.

Ziel dieses Kapitels ist die Anwendung der in den vorangegangenen Kapiteln hergeleiteten Theorie auf die Bewertung von Kreditderivaten. Die Auswahl der Produkte und deren Bewertungsmethoden orientiert sich dabei an den in der Praxis geläufigsten Produkten. Deswegen beschränken wir uns im Wesentlichen auf Credit Default Swaps (CDS) und die standardisierten Single Tranche Collateralized Debt Obligation Swaps (STCDOS).

Nach einer kurzen Darstellung des Modellierungsrahmens beginnen wir mit den Grundbausteinen der Kreditderivatemärkte, den Credit Default Swaps (CDS). Hier hat sich im Markt die ”Bewertung“ mittels deterministischer Intensitäten sowie konstanter Recovery Rates auch über die Finanzkrise hin erhalten, die im ersten Abschnitt dieses Kapitels dargestellt wird. Diese dienen als Ausgangspunkt für die Kalibrierung allgemeinerer Intensitäts- und Hazardratenmodelle, welche (erweitert um eine Modellierung der Recovery Rates) seit der Finanzkrise zwingend benötigt werden, um eine angemessene Kalibrierung der standardisierten STCDO-Produkte gewährleisten zu können. Ferner wird als Anwendung dieser Bewertungstechniken die Berechnung der Bewertungsanpassung für Kontrahentenrisiken, die sog. Credit Valuation Adjustments (CVA), deren Änderungsrisiken als CVA-VaR nach Basel III mit regulatorischem Kapital zu unterlegen sind, ausführlich behandelt.

In diesem Anhang werden die elementaren Grundlagen zu Zufallsvariablen und stochastischen Prozessen zusammengestellt, die an verschiedenen Stellen des Lehrbuches benutzt werden. So werden darin u.a. die wichtigsten Definitionen und Sätze zu bedingten Erwartungswerten, Martingalen und Wiener- und Sprungprozessen zusammengestellt.

Wir betrachten im vorliegenden Zusammenhang die Entwicklung von Variablen und hierbei insbesondere deren Dynamik. Die für Zufallsvariablen in Frage kommenden analytischen Methoden basieren auf entsprechenden Methoden für deterministische Größen und umfassen insbesondere Differenzialgleichungen. Da im Rahmen dieses Buches nur die für Kreditderivate und Kreditrisikomodelle relevanten Begriffe und Zusammenhänge eingeführt werden, sei für einen vertieften Einstieg insbesondere auf folgende Monographien und Lehrbücher verwiesen: Karatzas und Shreve (1999), Lamperton und Lapeyre (1996), Korn und Korn (2001), Schmitz (1996), Krengel (1998), Henze (1999) sowie Øksendal (2010) und Arnold (1971).

Da im Verlaufe des Buches die Modellierung von Abhängigkeitsstrukturen mit Copulas eine besondere Rolle spielte (bspw. bei der Bewertung des Single Tranche CDOs), soll diese hier kurz angerissen werden. Dies kann und soll jedoch nur der Veranschaulichung dienen; für tiefergehende Erkenntnisse sei auf Nelsen (2006) oder auch Cherubini et al. (2004) sowie die darin erwähnte Literatur verwiesen.

Gegenstand dieses Anhanges ist die Darstellung weiterer Produktbeispiele (Asset Swaps, Total Rate of Return Swaps, Credit Linked Notes, Optionen auf Defaultable Bonds und Credit Spread Produkte, Hybride und sonstige Kreditderivate), die in der ersten Auflage unseres Buches noch im einführenden Kapitel zu finden sind.