Technische Mechanik

Die Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht der Kräfte.

Eine Kräftegruppe wird als zentrales ebenes Kraftsystem bezeichnet, wenn

- alle Kräfte in einer Ebene liegen und

- alle Wirkungslinien dieser Kräfte sich in einem Punkt schneiden.

Bei einem allgemeinen ebenen Kraftsystem schneiden sich die Wirkungslinien der Kräfte nicht mehr sämtlich in einem Punkt, unter Umständen (parallele Kräfte) schneiden sie sich überhaupt nicht.

Jeder Körper besteht aus Masseteilen, die der Anziehungskraft (der Erde) unterworfen sind, so dass Gewichtskräfte wirken.

Der Punkt eines Körpers, durch den die Resultierende aller Gewichtskräfte bei beliebiger Lage des Körpers hindurchgeht, ist der

Schwerpunkt

.

Ein Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn sich die Wirkungen aller an ihm angreifenden Kräfte und Momente aufheben.

Den erheblichen Vorteilen statisch bestimmter Lagerung steht oft der Nachteil gegenüber, nur eine sehr begrenzte Anzahl von Lagern anbringen zu können. Wie dieser Mangel behoben werden kann, soll zunächst an einem Beispiel erläutert werden.

Im Folgenden werden ausschließlich Tragelemente betrachtet, bei denen eine der drei Abmessungen deutlich größer ist als die beiden anderen (Stäbe, Balken, Rahmen, ...), gefragt wird nach den inneren Beanspruchungen. Dies dient der Vorbereitung der Verformungsberechnung und der Untersuchung der Tragfähigkeit in der Festigkeitslehre. In diesem Kapitel wird das ebene Problem behandelt.

Wenn die Wirkungslinien der Kräfte nicht mehr alle in einer Ebene liegen oder die Drehachsen der Momente nicht alle senkrecht zur Ebene der Kräfte gerichtet sind, liegt ein räumliches Problem vor. In solchen Fällen sollte zunächst überprüft werden, ob die Betrachtung in mehreren Ebenen (und damit die Lösung mehrerer Teilaufgaben) möglich ist. Erst dann, wenn dies nicht gelingt, sollte man die Aufgabe als räumliches Problem auffassen.

Wenn auf einen auf einer

rauen Unterlage

liegenden Körper eine Kraft parallel zur Unterlage wirkt, so tritt eine Reaktionskraft zwischen Körper und Unterlage auf, die einer möglichen Verschiebung des Körpers entgegenwirkt (

Abbildung 9.1

).

Elastische Lager oder elastische Verbindungselemente geben im Gegensatz zu den bisher behandelten starren Elementen der Belastung nach. Im einfachsten Fall, der hier zunächst nur betrachtet werden soll, überträgt eine solche

Feder

eine Kraft nur in Richtung einer Wirkungslinie, die durch die beiden Federendpunkte verläuft. Man beachte die Analogie mit dem im Abschnitt 6.2 definierten Stab. Deshalb wird auch das Federsymbol (

Abbildung 10.1

) durch zwei Gelenke begrenzt.

Für die Berechnung der Kräfte, die von Seilen und Ketten übertragen werden, wird folgende idealisierende (mit der Praxis gut übereinstimmende) Annahme getroffen:

Seile

und

Ketten

können ausschließlich Zugkräfte übertragen, die in jedem Punkt die Richtung der Tangente der Seil- bzw. Kettenlinie haben.

Da Seile und Ketten weder Querkräfte noch Biegemomente übertragen können, bezeichnet man sie als

biegeschlaff

. Die durch die Zugkräfte hervorgerufenen Verformungen sind klein und können für die statischen Untersuchungen vernachlässigt werden: Die Seile und Ketten werden als

dehnstarr

behandelt.

Die

Festigkeitslehre

untersucht die inneren Kräfte in Bauteilen und die daraus resultierenden Beanspruchungen und Verformungen.

Dimensionierung auf Festigkeit bedeutet, die

Beanspruchung B

eines Bauteils mit der

WiderstandsfähigkeitW

des Bauteils gegen ein Versagen zu vergleichen (wobei diese drei Begriffe von Fall zu Fall genau definiert werden müssen). Logischerweise muss gelten:

B

<

W

.

In diesem und den folgenden Kapiteln werden die Spannungen und Verformungen von Bauteilen berechnet, bei denen eine der drei Abmessungen deutlich größer ist als die beiden anderen (Stäbe, Balken, Rahmen, Wellen, ...). Dafür werden die aus der Statik bekannten Schnittgrößen (Normalkraft, Querkräfte, Biegemomente, Torsionsmoment) verwendet, die die resultierende Wirkung der über die Querschnittsfläche verteilten Spannungen repräsentieren.

Die

Methode der finiten Elemente

basiert auf der Idee, das zu berechnende Gebilde in eine (große) Anzahl einfacher (und damit der Berechnung zugängiger) Elemente zu zerlegen und aus den Elementlösungen unter Berücksichtigung von Kontinuitäts- und Gleichgewichtsbedingungen eine Lösung für das Gesamtsystem zu konstruieren. Diese Bedingungen werden dabei nur an einer endlichen Zahl von Punkten (so genannten

Knoten

) formuliert.

Im Folgenden werden Träger behandelt, die ausschließlich durch ein Biegemoment

M

b

belastet sind. Dieser als

reine Biegung

bezeichnete Belastungsfall ist ausgesprochen selten, weil bei einem nicht konstanten Biegemoment immer auch eine Querkraft wirkt. Es ist jedoch sinnvoll, die besonders wichtige Belastung durch ein Biegemoment gesondert zu betrachten.

Die Theorie der Biegeverformung basiert auf den gleichen Annahmen wie die im Kapitel 16 behandelte Biegespannungsberechnung:

- Das Material verformt sich elastisch (Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes), die Querschnitte bleiben bei der Verformung eben (Gültigkeit der Bernoulli-Hypothese).

- Die Theorie wird für die „reine Biegung“ (konstantes Biegemoment) formuliert, aber auch auf den allgemeinen Fall (veränderliches Biegemoment) angewendet.

- Die Biegeachse (Achse, um die das Biegemoment dreht) ist mit einer Hauptzentralachse des Querschnitts identisch.

Dem aufmerksamen Leser des vorigen Kapitels wird nicht entgangen sein, dass die Differenzialgleichungen der Biegelinie zwar für veränderliche Biegesteifigkeit

EI

formuliert wurden, die behandelten Beispiele aber sämtlich (zumindest stückweise) konstante Biegesteifigkeit voraussetzten. Der Aufwand für die Integration der Differenzialgleichungen hielt sich so in erträglichen Grenzen. Bei praxisnahen Problemen (

Abbildung 18.1

) ist eine geschlossene Lösung durch Integration der Differenzialgleichungen nicht mehr praktikabel.

Die im Abschnitt 16.1 hergeleitete Biegespannungsformel 16.4 gilt nur, wenn die Biegeachse (Achse, um die das Biegemoment dreht) eine Hauptzentralachse der Querschnittsfläche ist (siehe auch Diskussion im Abschnitt 16.3). Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, spricht man von

schiefer Biegung

.

Die Querkraft

F

Q

ist senkrecht zur Trägerlängsachse gerichtet. Die in der Querschnittsfläche liegende Kraft ist die Resultierende der Schubspannungen, die in dieser Fläche wirken.

Das um die Längsachse des Trägers drehende Torsionsmoment

M

t

ist das resultierende Moment der Schubspannungen, die in der Schnittfläche liegen. Es ist ungleich schwieriger als bei den übrigen Schnittgrößen, die dem Torsionsmoment äquivalente Spannung im Querschnitt zu berechnen.

Glücklicherweise gilt das nicht für Stäbe mit Kreis- und Kreisringquerschnitten, die besonders häufig für die Übertragung von Torsionsmomenten verwendet werden.

In den vorangegangenen Kapiteln wurden die Spannungen in Bauteilen berechnet, bei denen eine Abmessung deutlich größer war als die beiden anderen. Dabei wurde jeweils in nur einer Schnittfläche (

z

= konstant) die Spannung ermittelt, die sich infolge einer speziellen Schnittgröße ergibt.

Natürlich treten die unterschiedlichen Belastungsarten häufig gekoppelt auf, so ist zum Beispiel eine Biegespannung fast immer mit einer Querkraftbelastung (Schubspannung) verbunden. Außerdem beschränken sich die Spannungen auch bei den einfachen Bauteilen nicht auf eine Schnittfläche, weil Schubspannungen immer in zwei senkrecht aufeinander stehenden Schnittflächen paarweise auftreten.

In diesem Kapitel wird deshalb das Problem behandelt, wie ein Spannungszustand (hinsichtlich der Festigkeit des Bauteils) zu beurteilen ist, wenn mehrere Spannungskomponenten gleichzeitig wirken. Da diese Frage gerade auch für die komplizierteren Berechnungsmodelle der Festigkeitslehre bedeutsam ist, sollen diese hier erwähnt werden, auch wenn ihre Berechnung mit Ausnahme weniger Spezialfälle im Rahmen dieses Buches nicht behandelt werden kann.

Im Abschnitt 10.4 wurde gezeigt, dass die Gleichgewichtslage eines starren Körpers (alle Gleichgewichtsbedingungen sind erfüllt) instabil sein kann, wenn die Lagerung noch eine Bewegungsmöglichkeit zulässt (z. B. bei Lagerung durch elastische Federn). So ist die vertikale Lage des starren Stabes in

Abbildung 23.1

nur stabil, wenn für die äußere Kraft die Bedingung

F

<

F

kr

=

cl

erfüllt ist (vgl. Beispiel 1 im Abschnitt10.4). Wenn die kritische Kraft

F

kr

überschritten wird, weicht der Stab seitlich aus.

Auch bei der Deformation eines elastischen Bauteils leistet eine äußere Kraft eine Arbeit, die nach 24.1 berechnet werden muss, denn auch diese Kraft wächst entlang des Verformungsweges vom Wert Null auf ihren Endwert.

Die geleistete Arbeit wird im Inneren des Bauteils als

Energie

(„Arbeitsvermögen“) gespeichert, die wiederum dafür sorgt, dass ein elastisches Bauteil nach Entlastung wieder seine ursprüngliche Form annimmt (

Abbildung 24.1

).

Von den im Abschnitt 22.1 vorgestellten Modellen der Festigkeitsberechnung sind bisher ausschließlich die „eindimensionalen Modelle“ behandelt worden. In diesem Kapitel werden mit ausgewählten rotationssymmetrischen Berechnungsmodellen einige (einfache, aber für die Praxis wichtige) Probleme behandelt, die sich nicht eindimensional idealisieren lassen.

Die

Kinematik

ist die Lehre vom geometrischen und zeitlichen Ablauf von Bewegungen, ohne nach Ursachen (z. B. den Kräften) und Wirkungen zu fragen. Die

Kinetik

dagegen, die ab Kapitel 28 behandelt wird, untersucht die Wechselwirkungen zwischen Kräften und den Bewegungen von Massen (der vielfach auch gebräuchliche Begriff

Dynamik

schließt die Kinetik und die Statik als Lehre vom Gleichgewicht ruhender Körper ein).

Ein

starrer Körper

besteht aus einer unendlichen Anzahl von Punkten, die ihre Lage zueinander nicht ändern. Für die weitaus meisten Probleme der Kinematik und Kinetik ist dieses fiktive Gebilde das völlig ausreichende Modell zur Untersuchung von Bewegungsvorgängen (wie in der Statik zur Untersuchung von Gleichgewichtszuständen).

Während in der Statik das Gleichgewicht der Kräfte in ruhenden Systemen betrachtet wurde und die Kinematik die Bewegungsabläufe ohne Frage nach ihren Ursachen (Kräfte) untersucht, wird in der

Kinetik

der Zusammenhang zwischen den kinematischen Größen (Weg, Zeit, Geschwindigkeit, Beschleunigung, ...) und den Kräften behandelt.

Die Beschränkung in diesem Kapitel auf den

Massenpunkt

hat nichts mit der Größe der Abmessungen des Körpers zu tun (vgl. die entsprechende Bemerkung am Anfang des Kapitels 26). Die Abmessungen dürfen allerdings keinen Einfluss auf die zu untersuchende Bewegung haben, und nach den Ausführungen in den Kapiteln 26 und 27 ist die Konsequenz dieser Beschränkung klar: Ein Massenpunkt kann keine (bzw. nur eine zu vernachlässigende) Rotationsbewegung ausführen.

Die allgemeine Bewegung eines starren Körpers wird aufgefasst (vgl. Kapitel 27) als Translation, beschrieben durch die Bewegung eines Bezugspunktes, und Rotation aller übrigen Körperpunkte um diesen Punkt. Zunächst werden einige wichtige Sonderfälle untersucht.

Ein

Massenpunktsystem

setzt sich aus

n

Massenpunkten zusammen, zwischen denen starre oder nicht starre Bindungen bestehen können. Seine Lage kann in jedem Fall durch 3

n

Koordinaten im Raum eindeutig beschrieben werden. Die 3

n

Freiheitsgrade, die das freie Massenpunktsystem hätte, können durch starre Lager und starre (kinematische) Bindungen der Punkte untereinander reduziert werden (Zwangsbedingungen). Auf die einzelnen Punkte können äußere Kräfte (einschließlich der Lagerkräfte) einwirken.

Wenn sich bei einer Bewegung, die durch

x

(

t

) beschrieben wird, die Bewegungsrichtung mehrmals ändert (Wechsel des Vorzeichens der Geschwindigkeit

ẋ

) und

x

(

t

) mehrfach den gleichen Wert wieder annimmt, so spricht man von einer

Schwingung

.

Für die eindeutige Beschreibung der Lage eines Systems mit

f

Freiheitsgraden werden

f

voneinander unabhängige Koordinaten benötigt. Zur Berechnung der Bewegungsgesetze ist dementsprechend ein System von Differenzialgleichungen zu lösen, das z. B. nach dem Prinzip von d’Alembert aufgeschrieben werden kann. Dabei kann man weiter genau nach den Empfehlungen verfahren, die im Abschnitt 29.5.2 formuliert wurden. Bei

n

eingeführten Bewegungskoordinaten findet man jedoch nur

n

-

f

Zwangsbedingungen, so dass in den

f

Bewegungs-Differenzialgleichungen

f

Koordinaten verbleiben.

Die Technische Mechanik kann vollständig auf wenigen Axiomen (mathematisch nicht beweisbaren, aber empirisch gesicherten und experimentell nachprüfbaren Aussagen) aufgebaut werden. Auf den Axiomen der Statik (Abschnitt 1.2) und dem 2. Newtonschen Axiom (Abschnitt 28.1) ruht das gesamte Gebäude der

Klassischen Mechanik

.

Als

Prinzipien der Mechanik

werden Aussagen bezeichnet, die die klassischen Axiome ersetzen können. Sie haben damit selbst axiomatischen Charakter, könnten anstelle der klassischen Axiome die Grundlage der Mechanik sein, sie erweitern jedoch das Gebiet der Klassischen Mechanik nicht. Natürlich dürfen die Prinzipien auch nicht im Widerspruch zu den klassischen Axiomen stehen. Sie sind wechselseitig auseinander herleitbar. Mit diesen Querverbindungen zwischen den klassischen Axiomen und den Prinzipien der Mechanik befasst sich die

Analytische Mechanik

, die darüber hinaus für spezielle Problemstellungen handliche Regeln für die mathematische Formulierung bereitstellt.

In diesem Kapitel werden die Prinzipien behandelt, die für wichtige spezielle Probleme erhebliche Vorteile gegenüber der Anwendung der klassischen Axiome bieten.

Weil die Methode der finiten Elemente heute sicher das am meisten benutzte Verfahren zur Lösung naturwissenschaftlicher und technischer Probleme ist, wurde sie in diesem Buch mehrfach im Zusammenhang mit den jeweils behandelten Themen vorgestellt. Aber die Grundlagen der Technischen Mechanik sind nur ein ganz kleiner Ausschnitt aus der Anwendungspalette für dieses Verfahren. Deshalb soll hier noch einmal eine Zusammenfassung präsentiert werden, die sich natürlich auch auf (allerdings anspruchsvollere) Probleme der Technischen Mechanik beschränkt. Dabei wird einerseits das Ziel verfolgt, die Leistungsfähigkeit des Verfahrens gerade für die komplizierteren praxisnahen Aufgaben zu verdeutlichen, andererseits aber auch auf die Gefahren und Grenzen bei der Benutzung der verfügbaren (außerordentlich leistungsfähigen kommerziellen) Sofware-Produkte hinzuweisen.

„Warum muss ich das denn alles lernen, wenn es dafür so komfortable Computerprogamme gibt?“. Auch wenn diese Frage bereits an mehreren Stellen in diesem Buch beantwortet wurde, der Hauptgrund wird durch die Überschrift dieses Kapitels gegeben.