Mathematische Probleme lösen mit Maple

Frontmatter

1. Rechnen mit Zahlen

Zusammenfassung

In Kapitel 1 behandeln wir das Rechnen mit reellen und komplexen Zahlen. Die Grundrechenoperationen werden mit +, -, *, /, das Potenzieren mit ^ gebildet. Jedoch anders als bei einem Taschenrechner gewohnt, unterscheidet Maple zwischen gebrochenrationalen Zahlen und Dezimalzahlen. Mit 2 bzw. 2/3 werden gebrochenrationale Zahlen definiert, während 2. und 2./3 Dezimalzahlen spezifizieren. Innerhalb der gebrochenrationalen Zahlen werden die Rechenoperationen exakt ausgeführt und das Ergebnis wieder als gebrochenrationale Zahl dargestellt. Dezimalzahlen sind in Maple standardmäßig mit 10 Dezimalstellen angegeben; die Genauigkeit der Rechenoperationen erfolgt innerhalb dieses Bereichs. Diese Zahlen werden im Folgenden float-Zahlen genannt. Durch den Befehl Digits:=n werden sowohl die Darstellung der Zahlen als auch die Genauigkeit der Rechnung innerhalb der float-Zahlen auf den Wert n gesetzt.

Thomas Westermann

2. Umformen von Ausdrücken

Zusammenfassung

Das Einsetzen einer Zahl in eine Formel bzw. das Auswerten eines Ausdrucks an einer vorgegebenen Stelle erfolgt durch subs oder mit eval. Die Vereinfachung von Ausdrücken erfolgt entweder durch den simplify-Befehl oder durch normal, der von einer Summe von Brüchen den Hauptnenner bildet und anschließend gemeinsame Faktoren kürzt. Mit expand werden Summenargumente in Funktionen in Ausdrücke von Funktionen mit Einzelargumenten umgewandelt. combine vereinfacht Ausdrücke, indem Summen, Produkte oder Potenzen durch einen einzigen Ausdruck ersetzt werden. Ein einfaches Beispiel ist die Vereinfachung von cos(x) cos(y) – sin(x) sin(y) zu cos(x+y). Oftmals liefert combine die Umkehrung des expand-Befehls. convert führt die Darstellung eines Ausdrucks in einen spezifizierten Funktionstyp über.

Thomas Westermann

3. Gleichungen, Ungleichungen, Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Kapitel 3 behandelt das Lösen von Gleichungen, Ungleichungen und einfachen Gleichungssystemen mit dem solve-Befehl. solve löst diese Probleme exakt, sofern die Lösung sich in einer algebraischen Form angeben lässt und Maple die Lösung findet. Alternativ kann der fsolve-Befehl zum numerischen Lösen von Gleichungen verwendet werden, insbesondere dann, wenn solve keine befriedigende Lösung liefert.

Thomas Westermann

4. Vektoren, Matrizen und Eigenwerte

Zusammenfassung

In Kapitel 4 werden Vektoren und Matrizen definiert und elementare Rechenoperationen für Vektoren und Matrizen behandelt.

Addition und Subtraktion von Vektoren oder Matrizen erfolgt durch + und -; die Multiplikation mit einer Zahl mit *. Es ist zu beachten, dass für die Matrizenmultiplikation bzw. die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor das Verknüpfungssymbol . lautet, da der *-Operator nur für kommutative Multiplikationen verwendet wird.

Thomas Westermann

5. Vektoren im IRn

Zusammenfassung

Das Überprüfen der linearen Unabhängigkeit von Vektoren des IRⁿ kann entweder durch den Rang der zugeordneten Matrix erfolgen (Rank-Befehl) oder indem die Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems mit LinearSolve bestimmt wird. Die Auswahl einer Menge linear unabhängiger Vektoren aus k Vektoren des IRⁿ erfolgt durch Basis und die Bestimmung der Dimension des Unterraums mit Rank. Die Befehle sind im LinearAlgebra-Package enthalten.

Thomas Westermann

6. Affine Geometrie

Zusammenfassung

Im Kapitel über die affine Geometrie werden Objekte wie Punkte, Geraden, Ebenen und Kugeln (Sphären) im IR³ definiert und die Lage dieser Objekte zueinander diskutiert. Es werden entweder Abstände (distance-Befehl) der Objekte oder die Schnittmenge (intersection) und der Schnittwinkel (FindAngle) bestimmt.

Thomas Westermann

7. Definition von Funktionen

Zusammenfassung

In Kapitel 7 werden elementare Funktionen in Maple vorgestellt: Welche Standardfunktionen Maple zur Verfügung stellt und wie man selbst Funktionen definiert. Dazu kann man entweder von einem Funktionsausdruck ausgehen und ihn mit dem unapply-Befehl in eine Funktion umwandeln. Oder man definiert eine Funktion direkt mit dem Zuweisungsoperator ->. Zusammengesetzte Funktionen definiert man mit dem piecewise-Befehl oder über die proc-Konstruktion.

Thomas Westermann

8. Graphische Darstellung von Funktionen in einer Variablen

Zusammenfassung

Die graphische Darstellung von Funktionen in einer Variablen erfolgt durch den plot-Befehl. Mit plot können auch mehrere Funktionen in ein Schaubild gezeichnet werden, wenn diese in Form einer Liste [f1, f2, …] angegeben werden. Besitzt eine darzustellende Funktion eine Polstelle, ist es wichtig den y-Bereich des Schaubildes einzuschränken, da sonst der Funktionsverlauf nicht erkennbar wird.

Thomas Westermann

9. Graphische Darstellung von Funktionen in mehreren Variablen

Zusammenfassung

Zur graphischen Darstellung von Funktionen f(x,y) in zwei Variablen verwendet man den plot3d-Befehl. Mit plot3d können auch mehrere Funktionen in ein Schaubild gezeichnet werden, wenn diese in Form einer Liste [f1, f2, …] angegeben sind. Bis Maple8 müssen die Funktionen jedoch in Form einer Menge {f1, f2, …} vorliegen.

Thomas Westermann

10. Einlesen, Darstellen und Analysieren von Messdaten

Zusammenfassung

Mit readdata werden Daten aus einer Textdatei zeilenweise in ein Worksheet eingelesen. Dabei müssen als Parameter nur der Dateiname und die Anzahl k der Spalten der Datei spezifiziert werden.

Thomas Westermann

11. Funktionen in einer Variablen

Zusammenfassung

Für Funktionen in einer Variablen werden folgende elementaren Probleme gelöst: Die Nullstellen von Funktionen erhält man über den solve- bzw. fsolve-Befehl, die Linearfaktorenzerlegung erfolgt mit factor und eine Partialbruchzerlegung von gebrochenrationalen Funktionen mit convert. Die Bestimmung von Extremwerten, Wendepunkte und Asymptoten ist im Abschnitt über die Kurvendiskussion zusammengefasst. Das Lösen der Einzelprobleme erfolgt hierbei im Wesentlichen durch solve, diff, simplify sowie plot. Speziell für die Entwicklung einer Funktion in ein Taylor-Polynom benötigt man den taylor-Befehl.

Thomas Westermann

12. Funktionen in mehreren Variablen

Zusammenfassung

Bei den Funktionen in mehreren Variablen werden die Themenstellungen der Tangentialebene, der Fehlerrechnung sowie das totale Differential über Maple- Befehlsfolgen bearbeitet. Hierzu werden zwei Prozeduren, fehler und differential, bereitgestellt, die vor der entsprechenden Verwendung definiert werden müssen. Die Taylor-Polynome einer Funktion werden durch mtaylor bis zur Ordnung N bestimmt. Weitere Themengebiete für Funktionen in mehreren Variablen sind auch in den Kapiteln 9, 14, 15 und 22 zu finden.

Thomas Westermann

13. Grenzwerte und Reihen

Zusammenfassung

Grenzwerte werden in Maple mit dem limit-Befehl bestimmt. Dabei werden bei der Berechnung von Funktionsgrenzwerten automatisch die Regeln von l’Hospital berücksichtigt. Rekursive Folgen müssen zuerst mit rsolve auf eine explizite Vorschrift zurückgeführt werden, um anschließend den limit-Befehl anzuwenden. Zur Diskussion von Zahlenreihen wird das Quotientenkriterium eingeführt und für Potenzreihen wird der Konvergenzradius bestimmt.

Thomas Westermann

14. Differentiation

Zusammenfassung

Eine der wichtigsten Konstruktionen in der Analysis ist der Ableitungsbegriff. Sowohl die Berechnung der gewöhnlichen als auch der partiellen Ableitungen von Ausdrücken wird mit diff gebildet. Höhere bzw. gemischte Ableitungen werden ebenfalls mit diff durch diff(f(x), x$n) bestimmt. Speziell für Funktionen steht der D-Operator zur Verfügung.

Thomas Westermann

15. Integration

Zusammenfassung

Neben dem Ableiten gehört das Integrieren zu den Standard-Aufgaben der Analysis. Die Integration erfolgt mit int. Damit können bestimmte, unbestimmte und uneigentliche Integrale berechnet werden. Doppel-, Mehrfach- bzw. Linienintegrale werden zunächst auf einfache Integrale mit den zugehörigen Integrationsgrenzen zurückgespielt und dann mit dem int-Befehl sukzessive bestimmt. Die Berechnung der Mantelfläche und des Volumens von Rotationskörper sind ebenfalls eine Anwendung des int-Befehls.

Thomas Westermann

16. Fourier-Reihen und FFT

Zusammenfassung

Bei die Analyse periodischer Vorgänge zerlegt man ein Signal in seine harmonischen Bestandteile. Hierzu verwendet man die Formeln für Fourier-Reihen. Die Fourier-Reihe ist eine Darstellung der Funktion f(t) als Superposition von Sinusund Kosinusfunktionen mit den Fourier-Koeffizienten als zugehörigen Amplituden.

Thomas Westermann

17. Integraltransformationen

Zusammenfassung

Die Laplace-Transformation bzw. die inverse Laplace-Transformation werden mit dem Befehl laplace bzw. invlaplace realisiert; die Integrale zur Fourier-Transformation entsprechend durch fourier und invfourier. Die Befehle befinden sich im Package inttrans (Integraltransformationen), das durch with(inttrans) geladen wird. Zum Lösen von Differentialgleichungen mit Hilfe einer Integraltransformation wird eine Maple-Befehlsfolge vorgestellt, die zusätzlich im Wesentlichen noch den diff- und solve-Befehl benötigt. In diesem Kapitel gehen wir generell von Funktionen f in der Variablen t aus und führen als Variable der Laplace-Transformierten s bzw. der Fourier-Transformierten ω ein.

Thomas Westermann

18. Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung

Zusammenfassung

Kapitel 18 behandelt das Lösen von gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung. Der dsolve-Befehl bestimmt – falls möglich – eine geschlossen darstellbare (im Folgenden analytisch genannte) Lösung der DG mit oder ohne Anfangsbedingung. Dabei dürfen in der DG Parameter enthalten sein. Mit der Option numeric des dsolve-Befehls wird eine DG numerisch gelöst. Dabei ist dann zu beachten, dass weder in der DG noch in der Anfangsbedingung unbekannte Parameter enthalten sind.

Thomas Westermann

19. Gewöhnliche Differentialgleichungs- Systeme

Zusammenfassung

In Kapitel 19 werden Differentialgleichungs-Systeme 1. Ordnung mit dsolve gelöst. Für die numerische Bestimmung der Lösung verwendet man wieder die Option numeric. Für kompliziertere DG-Systeme empfiehlt es sich immer mit der Option numeric zu arbeiten oder das System wie in Kapitel 19.3 beschrieben mit dem Euler-Verfahren zu lösen. Denn selbst lineare DG-Systeme mit mehr als drei Gleichungen besitzen in der Regel keine explizit darstellbare Lösung! Beim numerischen Lösen ist darauf zu achten, dass alle Anfangsbedingungen und Parameter als Zahlenwerte vorliegen. Die Hinweise, die bei der Einleitung von Kapitel 18 angegeben sind, gelten auch für dieses Kapitel.

Thomas Westermann

20. Gewöhnliche Differentialgleichungen n-ter Ordnung

Zusammenfassung

Differentialgleichungen n-ter Ordnung werden ebenfalls mit dem dsolve-Befehl gelöst. Die Option numeric bewirkt eine numerische Bestimmung der Lösung, wenn alle Anfangsbedingungen und Parameter als Zahlenwerte vorliegen. Für die Angabe von Anfangsbedingungen der Form y^(k)(x ₀) muss die k-te Ableitung mit dem D-Operator durch (D@@k)(y)(x ₀) spezifiziert werden.

Thomas Westermann

21. Extremwerte und Optimierung

Zusammenfassung

Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Ax = b werden mit dem LinearSolve- Befehl in dem Sinne gelöst, dass die Fehlerquadrate von r = Ax - b minimiert werden. Zur linearen Optimierung einer linearen Zielfunktion unter linearen Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen steht der maximize-Befehl zur Verfügung. Extremwerte nichtlinearer Funktionen (auch unter Nebenbedingungen in Form von Gleichungen) bestimmt man mit dem extrema-Befehl.

Thomas Westermann

22. Vektoranalysis

Zusammenfassung

Im Kapitel Vektoranalysis werden die Differentialoperatoren Gradient für ein skalares Feld sowie die Rotation und die Divergenz für ein Vektorfeld (VectorField) mit den Befehlen Gradient, Curl und Divergence berechnet. Die Bestimmung eines Potentialfeldes bzw. eines Vektorfeldes erfolgt mit ScalarPotential bzw. VectorPotential. Die Befehle zur Vektoranalysis sind im VectorCalculus- Package enthalten.

Thomas Westermann

23. Partielle Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Partielle Differentialgleichungen sowohl erster wie auch höherer Ordnung werden mit dem pdsolve-Befehl analytisch gelöst. Maple versucht dabei das Problem auf gewöhnliche Differentialgleichungen zurüchzuspielen. Durch die build-Option werden die angegebenen gewöhnlichen Differentialgleichungen gelöst und zur Gesamtlösung des Problems zusammengebaut. Ab Maple14 können beim analytischen Lösen zusätzlichen Anfangs- bzw. Randwerte spezifiziert werden. Alternativ zum pdsolve-Befehl wird ab Maple14 der universelle Solve-Befehl erstmals angeboten, der auch zum Lösen von pDG verwendet werden kann.

Thomas Westermann

24. Programmstrukturen

Zusammenfassung

Im Kapitel über die Programmstrukturen werden einfache Konstruktionen in Maple wie z.B. die Schleifenbildung mit for oder while, Verzweigungen mit if und Unterprogrammstrukturen mit der proc-Konstruktion beschrieben. Im nächsten Kapitel werden diese Strukturen am Beispiel des Newton-Verfahrens angewendet.

Thomas Westermann

25. Programmieren mit Maple

Zusammenfassung

In Kapitel 25 wird am Beispiel des Newton-Verfahrens aufgezeigt, wie man die Programmstrukturen aus Kapitel 23 anwendet, um von einer einfachen for- Schleife zu einem Unterprogramm (Prozedur) mit Animation zu gelangen.

Thomas Westermann

26. Iterative Verfahren zum Lösen von Gleichungen

Zusammenfassung

In Kapitel 26 werden iterative Verfahren zum Lösen von Gleichungen mit Maple vorgestellt. Es werden das allgemeine Iterationsverfahren, das Sekantenverfahren und das Newton-Verfahren für nichtlineare Gleichungen in einer Variablen mit Maple-Befehlen programmiert und als Maple-Prozeduren bereitgestellt.

Thomas Westermann

27. Lösen von großen linearen Gleichungssystemen

Zusammenfassung

In Kapitel 27 werden Prozeduren zum Lösen von großen linearen Gleichungssystemen in Maple erstellt. Die Algorithmen können bei Bedarf auf andere Programmiersprachen übernommen bzw. adaptiert werden.

Thomas Westermann

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