Physik und Finanzen

Dieses Kapitel bereitet die Grundlage für das Buch, indem es ein gemeinsames Thema in vielen physischen und finanziellen Systemen festlegt; beide befassen sich mit dynamischen Systemen, die externen zufälligen Kräften unterliegen. Eine kurze Diskussion über die Zielgruppe des Buches folgt, bevor ein Überblick über dessen Inhalt gegeben wird.

Nach der Einführung der Volatilität von Aktien als zentrales Merkmal werden die Konzepte des Hedging, des Leerverkaufs und des Diskontierens vorgestellt, sowie Termingeschäfte und Optionen als Funktionen – Derivate – der zugrunde liegenden Aktien. Bevor die verschiedenen Teilnehmer an den daraus resultierenden Märkten diskutiert werden, werden die Hypothese des effizienten Marktes und einige vereinfachende Annahmen behandelt, um die theoretische Behandlung durchführbar zu machen.

Dieses Kapitel befasst sich mit der Zusammenstellung von Aktien zu einem Portfolio, das dem Gewinnstreben eines Investors entspricht, während das Risiko, die ursprüngliche Investition zu verlieren, minimiert wird. Da die Theorie auf Variationsmethoden und auf Lagrange-Multiplikatoren basiert, werden Anwendungen dieser Konzepte in der Physik ihrer Verwendung in der Finanzwelt gegenübergestellt. Als Erweiterung der Portfoliotheorie werden die Grundgleichungen des Capital Asset Pricing Modells abgeleitet und zur Unternehmensbewertung verwendet.

Nach der Einführung von binomialen Bäumen als zeitdiskretes Modell zur Bewertung von Optionen, geht dieses Kapitel darauf ein, wie ein Wiener Prozess zur Diffusionsgleichung führt, die anschließend mit Hilfe von Green'schen Funktionen gelöst wird. Es folgt ein kurzer Exkurs über die Rolle von Green'schen Funktionen in der Physik, bevor Ito’s Lemma diskutiert wird und zur Ableitung der Fokker-Planck-Gleichung für das kontinuierliche Modell verwendet wird, das die Entwicklung von Aktien beschreibt. Die Lösung der Fokker-Planck-Gleichung führt dann zur bekannten log-normalen Verteilung. Letztere wird dann verwendet, um den Erwartungswert eines Optionswerts abzuleiten, sollte er bei Fälligkeit ausgeübt werden. Beispiele aus anderen Anwendungen von Erwartungswerten in der Physik schließen dieses Kapitel ab.

Nachdem die Black-Scholes-Gleichung für eine Call-Option aus der Anforderung abgeleitet wurde, ein Portfolio risikofrei zu gestalten, wird die Gleichung mit einer Reihe von Variablensubstitutionen gelöst, die sie in eine Diffusionsgleichung umwandeln. Die Green'sche Funktion der letzteren wird dann zur Bewertung von europäischen Call-Optionen verwendet. Die Ähnlichkeit der in diesem Kapitel gefundenen Lösung mit der von Kap. 4 regt die Diskussion über Martingale-Prozesse an. Um die Verwendung von Optionen zur Absicherung besser zu verstehen, wird eine MATLAB-Simulation für die zeitliche Entwicklung von Aktien, Optionen und Bankguthaben vorgestellt.

Dieses Kapitel führt die Griechen als Ableitungen des Optionspreises in Bezug auf die Variablen und Parameter der Black-Scholes-Gleichung ein. Ihre Verwendung zur Absicherung von Risiken und zur Beurteilung der Widerstandsfähigkeit einer Absicherung gegenüber Parameteränderungen wird diskutiert. Es folgt eine Diskussion über das Volatilitätslächeln und das Konzept des Wert-im-Risko. Schließlich werden Kombinationen von einfachen Optionen, wie Bull-Spreads oder Straddles, vorgestellt und ihre Verwendung zur Anpassung der eigenen Investition an die eigenen Erwartungen wird kurz angesprochen.

Dieses Kapitel behandelt die Grundlagen der Anpassung von Regressionsmodellen, auch bekannt als lineare Anpassungen in der Physik, um die Parameter zu finden, die die Daten in einem Modell am besten erklären, und dann die Fehlerbalken der Parameter abzuschätzen. Die Analyse der Zuverlässigkeit des Modells regt eine Diskussion über \(\chi ^2\) und t -Verteilungen und ihre Rolle bei der Überprüfung von Hypothesen bezüglich der Parameter an; zum Beispiel, ob ein Parameter aus der Anpassung weggelassen werden kann. Eine ausgefeiltere Methode, basierend auf dem F -Test, folgt. Das Kapitel schließt mit einer Diskussion über Sparsamkeit als Leitprinzip beim Aufbau von Modellen.

Dieses Kapitel führt die Box-Jenkins-Methodik zur Analyse von Zeitreihendaten ein, die zunächst Trend und Saisonalität entfernt, bevor versucht wird, die verbleibende Zeitreihe durch gleitende Durchschnitte oder autoregressive Modelle zu erklären. Um die Ordnung eines Prozesses zu bestimmen, werden Autokorrelations- und partielle Autokorrelationsfunktionen eingeführt. Sie werden dann verwendet, um ein geeignetes Modell für die Dynamik zu konstruieren. Alle Konzepte werden mit Umweltdaten veranschaulicht. Später im Kapitel werden die grundlegenden Ideen hinter Prognoseanwendungen entwickelt. Eine Diskussion über verschiedene Arten von Modellen, darunter ARIMA, EWMA und GARCH, schließt die Präsentation ab.

Nach der Darstellung historischer Blasen und Crashs destilliert dieses Kapitel eine Reihe relevanter Mechanismen hinter Börsencrashs. Eine Quelle für das manchmal irrationale Verhalten von Anlegern lässt sich auf ihre Psychologie zurückführen, was eine kurze Diskussion über Verhaltensökonomie motiviert. Das kollektive Verhalten aller Händler bestimmt die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der täglichen Renditen aus dem Aktienmarkt, deren Verteilung deutlich dicke Schwänze aufweist. Dies motiviert uns, Potenzgesetze, Fraktale, Zufallswanderungen mit Inkrementen aus fettschwänzigen Verteilungen und Levy-stabile Verteilungen als ihren Grenzfall zu behandeln. In diesem Kontext wird der zentrale Grenzwertsatz abgeleitet und eine zugrunde liegende Annahme der Black-Scholes-Theorie in Frage gestellt; die ja auf einem (Gaußschen) Wiener Prozess basiert. Nach einer kurzen Diskussion der Extremwerttheorie führen wir Sornettes Theorie der endlichen Zeitdivergenzen ein, die manchmal in Zeitreihen von Aktienmärkten sichtbar sind.

Angeregt durch die Ähnlichkeit der Black-Scholes-Gleichung und der Schrödinger-Gleichung verwendet dieses Kapitel quantenmechanische Methoden zur Bestimmung des Preiskerns, der sich als äquivalent zur in früheren Kapiteln gefundenen Green-Funktion herausstellt. Mit den quantenmechanischen Methoden wird die Down-and-Out-Barrier-Option im Detail behandelt. Nachdem Feynmans Beschreibung der Quantenmechanik in Form von Pfadintegralen behandelt wurde, werden diese verwendet, um den zuvor gefundenen Preiskern neu abzuleiten. Da Pfadintegrale sehr gut für numerische Auswertungen geeignet sind, führen wir Monte-Carlo-Methoden ein, einschließlich des Metropolis-Hasting-Algorithmus, um die mehrdimensionalen Integrale zu berechnen.

Nach der Einführung der Solow- und Robinson-Crusoe-Modelle als Beispiele für reale Konjunkturzyklusmodelle – analog zu den Bewegungsgleichungen in der Physik – leiten wir die Bellman-Gleichung ab, um ein Steuergesetz für einen Parameter zu finden, der ein Leistungsmaß optimiert. Ein einfaches mechanisches Modell, basierend auf einem Esel, der eine Masse über unebenen Boden zieht, veranschaulicht die Grundlagen des Zustandsraumformalismus in der optimalen Steuerungstheorie. Nach einer Diskussion des Zusammenhangs zwischen Lagrange- und Hamilton-Funktionen in der klassischen Mechanik leitet dieses Kapitel Hamiltons Gleichungen für allgemeine dynamische Systeme ab, die ein Leistungsmaß minimieren. Hier sind Ähnlichkeiten zu Hamiltons Prinzip der Minimierung der Wirkung relevant. An diesem Punkt können wir die neu entwickelten Methoden verwenden, um den Fortschritt des Esels zu optimieren, bevor wir die gleichen Methoden verwenden, um die Riccati-Gleichung abzuleiten und lineare quadratische Regler zu analysieren, die anschließend verwendet werden, um eine Robinson-Crusoe-Wirtschaft nahe ihrem Gleichgewicht zu steuern.

Basierend auf der Vorstellung, dass heutige Geldtransaktionen auf dem Transfer von Informationen beruhen, bietet dieses Kapitel eine grundlegende Einführung in die Informationstheorie von Shannon, mit ihrem zentralen Konzept – der Entropie. Nach der Darstellung verschiedener Wege zur Kodierung von Informationen wird das Verhältnis von Shannons Entropie zur Entropie, wie sie aus der Thermodynamik bekannt ist, anhand eines physikalischen Systems mit diskreten Energielevels veranschaulicht. Das Kapitel diskutiert dann die Übertragung von Informationen über binäre symmetrische Kanäle und entwickelt die notwendigen Konzepte, um das Maximum der gegenseitigen Information als Kanalkapazität festzulegen. Nach der Übertragung von Informationen durch kontinuierliche Kanäle, die durch das Signal-Rausch-Verhältnis begrenzt sind, führt ein Abschnitt in die Grundlagen der Kryptographie ein, die zur Sicherung der Übertragung sensibler Informationen notwendig ist. Öffentliche Schlüsselsysteme, Diffie-Helman und RSA, werden ausführlich diskutiert, bevor die Grundlagen der elliptischen Funktionenkryptographie behandelt werden, die sowohl für Bitcoin als auch für Ethereum-Blockchains die Grundlage bildet, dem Thema späterer Abschnitte in diesem Kapitel. Ein Ethereum-Smart-Contract wird als Beispiel für eine verteilte Anwendung – eine DApp – diskutiert. Der letzte Abschnitt berührt die Grundlagen des Quantencomputings und veranschaulicht die Schlüsselkonzepte von Shors Algorithmus, der eines Tages eine Bedrohung für kryptographische Systeme darstellen könnte.

Dieses Kapitel präsentiert die Lösungen zu vielen der Übungen am Ende der Kapitel. Numerische Lösungen mit Beispielcode in MATLAB, wo zutreffend, finden Sie im elektronischen Ergänzungsmaterial.