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2020 | OriginalPaper | Chapter

2. Abhängige Variablen mit begrenztem Wertebereich

Author : Matthias-W. Stoetzer

Published in: Regressionsanalyse in der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung Band 2

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

In der Regressionsanalyse sind uns bisher nur metrisch skalierte abhängige Variablen begegnet. In vielen Anwendungsfällen besteht das Ergebnis (Outcome, Response) eines Daten generierenden Prozesses aber lediglich aus zwei oder mehr Zuständen (Kategorien). Begrenzte abhängige Variablen (Limited Dependent Variables) existieren immer dann, wenn die abhängige (endogene) Variable in einem Bereich liegt, der nur ganz bestimmte Werte annimmt. Abschn. 2.2 gibt eine Übersicht der verschiedenen Formen solcher Limited Dependent Variables. Die Untersuchung abhängiger Variablen mit lediglich zwei Ausprägungen ist in der empirischen Forschung häufig anzutreffen. Abschn. 2.3 erläutert daher diesen Fall ausführlicher anhand eines praktischen Beispiels. Anschließend geht Abschn. 2.4 kurz auf ordinale und multinomiale sowie Zählvariablen und spezielle Arten von beschränkten abhängigen Variablen ein. Abschn. 2.5 erläutert Schritt für Schritt die konkrete Durchführung einer binären logistischen Regression in SPSS und Stata.

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Footnotes
1
Die Namen in der Literatur variieren. Gängige andere Bezeichnungen – neben Logit- oder Probit-Analyse – sind bspw. Discrete Response Models, Dose Response Models, Dosis-Wirkungs-Modelle.
 
2
Die Diskriminanzanalyse wird daher in der empirischen Sozialforschung von der logistischen Regression zunehmend verdrängt. Die Eingabe entsprechender Suchworte in Google Scholar erzielt im Oktober 2019 fast doppelt so viele Treffer für die „logistische Regression“ im Vergleich zur „Diskriminanzanalyse“.
 
3
Es wird vereinfachend darüber hinweggesehen, dass die Fehler u (bzw. Residuen) in den Gl. (2.1), (2.2) und (2.3) nicht identisch sind.
 
4
Der Wert e ist die Eulersche Zahl 2,718. Die Unterscheidung von einerseits den Schätzungen und andererseits den unbekannten wahren Werten bzw. Formen von P und Z werden dabei vernachlässigt.
 
5
Ein weiterer Begriff für das Chancenverhältnis ist (relatives) Risiko bzw. Risikoverhältnis (Risk Ratio oder auch Relative Risk Ratio) (so Long und Freese 2014, S. 391). Dagegen definieren andere Autoren – bspw. der medizinischen Statistik – Chancenverhältnis und Risikoverhältnis unterschiedlich (so Diaz-Quijano 2012).
 
6
Weitere hier nicht behandelte Methoden zur Überprüfung der Modellgüte sind der Pearson-Chi2-Test, die Devianz (Deviance) und die Receiver Operating Curve (ROC).
 
7
Die Logik des Likelihood-Tests erläutert Anhang I ausführlicher.
 
8
Weitere Bezeichnungs- und Abkürzungsvarianten dieses Tests sind: Modell Chi-Quadrat, Likelihood-Quotienten-Test, χ2, L2 und GM.
 
9
Dies gilt auch für das R2 der OLS-Regression. Zur begrenzten Aussagekraft des R2 siehe Stoetzer (2017, Abschn. 6.3.2).
 
10
Der Test von Nagelkerke wird auch Cragg-Uhler-Test genannt. Weitere Tests gehen bspw. auf Efron sowie McKelvey & Zavoina zurück. Außerdem sind besonders das AIC und das BIC für Modellvergleiche geeignet.
 
11
Dies, weil eine Normalverteilung statt der t-Verteilung angenommen wird.
 
12
Tatsächlich ist der z-Test in Stata der originale Wald-Test und beim Wald-Test von SPSS handelt es sich um den quadrierten z-Wert.
 
13
Ausführlicher zu diesen Effekten Cameron und Trivedi (2005, S. 467–471). Der MEM wird auch PEA (Partial Effect at the Average) genannt und der AME als APE (Average Partial Effect) bzw. „Population Averaged Effect“ bezeichnet (Greene 2018, S. 734–736). Wooldridge (2018, Kapitel 17) und Urban und Mayerl (2018, S. 405–414) sowie besonders verständlich Mood (2010) und Williams (2018) erläutern diese Verfahren.
 
14
Darüber hinaus empfehlen einige Autoren die Überprüfung der Normalverteilung der unbekannten Fehler anhand der Residuen. In der logistischen Regression sind die Fehler nicht normalverteilt sondern besitzen eine Binomialverteilung. Allerdings nähert sich diese bei genügend großen Stichproben nach dem zentralen Grenzwertsatz der Normalverteilung. Insgesamt kommt daher dieser Annahme eine Relevanz nur bei kleinen Sampeln zu (Menard 2002, S. 83; Urban Mayerl 2018, S. 426).
 
15
Bei einer sehr hohen Zahl von Beobachtungen werden auch minimale Unterschiede signifikant. Das heißt, die Signifikanz sagt noch nichts über die Relevanz (im Rahmen der OLS-Regression siehe dazu Stoetzer 2017, S. 47, 200–203). Der Pearson-Chi2-Test ist ähnlich aufgebaut und prüft ebenfalls die Nullhypothese, dass keine Differenz zwischen geschätzten und beobachteten Fällen vorliegt. Der Hosmer-Lemeshow-Test wird aber häufig als überlegenes Prüfverfahren angesehen. Hosmer et al. (1997) sowie Allison (2014) vergleichen verschiedene Testverfahren.
 
16
SPSS arbeitet in der Prozedur LOGISTIC mit allen Beobachtungen, d. h. mit Individualresiduen. Stata berücksichtigt, dass einige Beobachtungen identische Strukturen der Kovariaten aufweisen und aggregiert diese (Gruppenresiduen). Unter bestimmten Bedingungen ist die Berechnung auf aggregierter Basis vorzuziehen bzw. einige Tests setzen dies voraus, bspw. die hier nicht behandelte Devianz (Hosmer et al. 2013, S. 155). Verschiedene Warnungsmeldungen von SPSS im Output der logistischen Regressionsverfahren sind auf dieses Problem zurückzuführen. Die Prozedur NOMREG in SPSS verwendet ebenfalls Gruppenresiduen. Genauere Darstellungen finden sich bei Baltes-Götz (2012) und Hosmer et al. (2013, S. 186–202).
 
17
Die Ursache sind die erwähnten unterschiedlichen Berechnungsformeln in SPSS und Stata. Die dritte Beobachtung ist hinsichtlich der Ausprägungen der unabhängigen Variable singulär. Daher sind nur in diesem Fall die z-standardisierten Residuen von SPSS und Stata identisch.
 
18
Ausreißer mit einem großen Residuum sind nicht unbedingt einflussreiche Fälle, und umgekehrt liegen bei einflussreichen Beobachtungen nicht in jedem Fall große Residuen vor (Stoetzer 2017, Abschn. 5.6; Baltes-Götz 2012, S. 34).
 
19
Siehe Field (2018, S. 909). Halten wir uns beim Hebelwert alternativ an den von Menard (2002, S. 84) postulierten Grenzwert, lautet die Schwelle (k + 1)/N. Dies führt dann zu einem Grenzwert von 0,0048.
 
20
Die Punkte im Diagramm sind nicht einzelne Beobachtungen, sondern repräsentieren ggf. mehrere oder sogar viele Beobachtungen mit einer identischen Struktur der Kovariaten. Bspw. repräsentiert der höchste Punkt in Abb. 2.11 insgesamt 12 Passagiere.
 
21
Zum Teil wird der Begriff Overdispersion aber für die im Abschn. 2.4.1 kurz erläuterten logistischen Modelle mit ordinalen oder multinomialen abhängigen Variablen reserviert.
 
22
Eine weitere Konsequenz ist, dass die Koeffizientenschätzungen (Logits und Odds Ratios) zwischen verschiedenen Datensätzen (Stichproben) nur vergleichbar sind, wenn die unbeobachtete Heterogenität bzw. Heteroskedastie übereinstimmt. Mood (2010) und Williams (2010) sind genauere nachvollziehbare Darstellungen dieser Probleme. Wooldridge (2010, S. 599–604) erläutert die Zusammenhänge und Abwägung zwischen Normalverteilung, Heteroskedastie und Konsistenz der geschätzten Koeffizienten. Urban und Mayerl (2018, S. 430–435) enthalten eine kurze und Hosmer et al. (2013, S. 313–375) ausführliche Erläuterungen.
 
23
Die aus der linearen OLS-Regression bekannten (einfachen) robusten Standardfehler (Stoetzer 2017, Abschn. 5.2 und 5.3) helfen nach Cameron und Trivedi (2010, S. 462) nicht weiter, werden aber andererseits von Long und Freese (2014, S. 103–105) empfohlen, um Fehlspezifikationen zu identifizieren. Allerdings führt die Verwendung von clusterrobusten Standardfehlern bei zu wenigen Clustern (bspw. weniger als 15) zu fehlerhaften Resultaten (Angrist und Pischke 2009, S. 319). Nach Greene (2018, S. 744–745) ist im Einzelfall unklar, ob die Verwendung robuster Standardfehler vorteilhaft ist.
 
24
Das Problem tritt aber bei metrisch skalierten unabhängigen Variablen bezüglich der Prüfgrößen Pearson-Chi2-Test und Devianz auf, da diese auf dem Vergleich von beobachteten und erwarteten Häufigkeiten in den Zellen beruhen und bei metrisch skalierten Variablen extrem viele Zellen gebildet werden (Allison 2014, S. 5) Für die Variable Age des Titanic-Datensatzes existieren bspw. 97 verschiedene Altersstufen, da bei einer Reihe von Passagieren auch Monate erfasst sind. Bei dem oben erläuterten Hosmer-Lemeshow-Test wird das durch die Bildung von 10 Kategorien vermieden.
 
25
Die kürzeste und klarste Darstellung dazu gibt Greene (2018, S. 744–745).
 
26
Das dort beschriebene Probit-Verfahren ist (für den Sozialwissenschaftler) besonders in der deutschsprachigen Version unverständlich. Die deutschsprachige SPSS-Version verwendet bspw. den Begriff „Antwortvariable“ für den englischen Ausdruck „Response“ (im Sinne von Ergebnis, Outcome). Gemeint ist also die abhängige Variable. Der in den Sozialwissenschaften völlig missverständliche Begriff „Rücklaufquote“ ist die wörtliche Übersetzung von „Response Rate“. Der Ausdruck „Response Rate“ bezeichnet aber in der Medizin und Biostatistik die erfolgreichen Wirkungen eines Treatments (bspw. eines Krebsmedikaments). Das heißt den Anteil der Patienten, bei denen sich die Tumore nach Einnahme des Medikaments zurückgebildet haben. Mit der Rücklaufquote einer Umfrage hat dies nichts zu tun.
 
27
Es handelt sich um einen Bug der IBM SPSS Statistics Version 25.0.0. Zur Behebung des Problems existiert ein Makro. Dieser ist von der Universität Bonn downloadbar unter https://​uni-bonn.​sciebo.​de/​index.​php/​s/​yVKmXkHRUWp1eFX.
 
28
Sie entsprechen den robusten Standardfehlern der binären logistischen Regression in Stata.
 
29
Zur Prüfung restringierter (nested models) im Vergleich zu unrestringierten Modellen siehe Stoetzer (2017, Abschn. 6.3.2).
 
30
Der Pearson-Chi2-Test sollte nur verwendet werden, wenn die erwartete Anzahl von Ereignissen und die erwartete Anzahl von Beobachtungen für jede Kombination der Kovariaten mindestens 5 beträgt (Allison 2014, S. 5).
 
31
Der Box-Tidwell-Test ist auch als Makro downloadbar. Nach Eingabe von „findit boxtid“ im Feld „Command“ erhalten wir dazu eine Anleitung. Ein weiterer Test auf Fehlspezifikation ist der in Stata implementierte Linktest.
 
Literature
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Metadata
Title
Abhängige Variablen mit begrenztem Wertebereich
Author
Matthias-W. Stoetzer
Copyright Year
2020
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Book
Regressionsanalyse in der empirischen Wirtschafts- und Sozialforschung Band 2

Print ISBN: 978-3-662-61437-2

Electronic ISBN: 978-3-662-61438-9

Copyright Year: 2020

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-61438-9_2