Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra

Ausgehend von den drei Winter’schen Grunderfahrungen des Mathematikunterrichts werden Grundpositionen zu einer Didaktik der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra herausgearbeitet und Schwerpunkte der Weiterentwicklung des Unterrichts in diesem Inhaltsbereich skizziert. Im Zentrum des Kapitels stehen fundamentale Ideen der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra sowie diesbezüglich im Unterricht auszuprägende Grundvorstellungen und Strategien. Schließlich wird auf sinnvolle Schwerpunktsetzungen im Unterricht eingegangen: Lineare Algebra und/oder Analytische Geometrie?

Das Lösen von Gleichungen ist von alters her eine wichtige Aufgabe der Mathematik. Viele inner- und außermathematische Aufgaben führen auf Gleichungen und die Bestimmung ihrer Lösungsmengen. In der Analytischen Geometrie beschreiben Lösungsmengen von Gleichungen bzw. Gleichungssystemen geometrische Objekte. In dem vorliegenden Kapitel wird auf Gleichungen und lineare Gleichungssysteme (LGS) im schulischen Kontext eingegangen: In der Grundschule lernen die Schüler einfache lineare Gleichungen kennen. Von den linearen Gleichungen gelangt man zu quadratischen Gleichungen in der S I und zu LGS in der S I und S II. Der unterrichtliche Schwerpunkt liegt dabei oft zu einseitig auf Methoden und Verfahren, die zu exakten, formelmäßig darstellbaren Lösungen führen, und zu wenig auf der Durchdringung der zugrunde liegenden mathematischen Ideen. Um dem entgegenzuwirken, sollte nicht das routinierte Lösen von LGS mithilfe des Gauß-Algorithmus im Vordergrund stehen, sondern das Verständnis dieser Methode, das Erkennen der Struktur der Lösungsmenge und ein Überblick über die vielfältigen Anwendungen von LGS. Die Beschäftigung mit LGS im zwei- und dreidimensionalen Fall sollte die geometrische Anschauung aktivieren. Entsprechende Vorschläge und Unterrichtsbeispiele werden in diesem Kapitel entwickelt. Eingegangen wird auch auf die Nutzung des Computers für das Lösen linearer Gleichungssysteme.

Der Vektorbegriff gehört zu den zentralen Strukturbegriffen der Mathematik und besitzt mannigfaltige Anwendungen. Vektoren können in vielerlei Gestalt auftreten, sie beschreiben Verschiebungen, physikalische Größen, Stücklisten, Farben und vieles mehr, sogar Funktionen lassen sich strukturell sinnvoll als Vektoren deuten. Diese Vielfalt an Repräsentanten und Beispielen bedingt jedoch auch zwangsläufig, dass der Vektorbegriff stark verallgemeinernd und somit „abstrakt“ ist. Im Mathematikunterricht ist es notwendig, sich sehr leistungsfähigen Begriffen, die durch einen hohen Abstraktionsgrad gekennzeichnet sind, durch Beispiele und spezielle Fälle zu nähern, in diesen das Gemeinsame zu erkennen und sich somit schrittweise zu verallgemeinerten Begriffsbildungen „emporzuarbeiten“. Entsprechende Wege werden in diesem Kapitel beschrieben. Zunächst werden dazu Vektoren in geometrischen und physikalischen Kontexten sowie in arithmetischen Kontexten (einschließlich entsprechender Anwendungen) thematisiert. Die diesen (zunächst völlig unterschiedlichen) Vektormodellen gemeinsamen Rechengesetze bilden die Grundlage für eine behutsame Annäherung an den Vektorraumbegriff. Abschließend wird auf Linearkombinationen von Vektoren einschließlich schulisch relevanter Anwendungen eingegangen. Der Nutzung des Computers für die Vektorrechnung und für Visualisierungen wird gebührender Raum eingeräumt.

Die Analytische Geometrie erlaubt es, den „Anschauungsraum“, in dem wir leben, mit algebraischen Methoden zu beschreiben. Bereits mithilfe des elementargeometrischen Satzes des Pythagoras und seiner Verallgemeinerung zum Kosinussatz können wir Längen und Winkel nicht mehr nur messen, sondern auch berechnen. Die Koordinatisierung geometrischer Sachverhalte erweist sich als fundamentale Idee der Mathematik; die Koordinaten sind das Bindeglied zwischen Geometrie und Algebra. Besonders übersichtlich wird das Arbeiten in der Analytischen Geometrie durch die Einführung von Vektoren. Geometrische Objekte werden in der Analytischen Geometrie durch Gleichungen beschrieben, und zwar lineare Gleichungen für Geraden und Ebenen sowie nichtlineare für Kreise, Kugeln, Ellipsen, Hyperbeln und viele andere spannende Objekte. Problemangemessene Koordinatisierungen sowie das Wechselspiel zwischen Gleichungen und geometrischen Objekten in der Schule bilden daher rote Fäden des Kapitels. Vor der Behandlung der metrischen Geometrie von Geraden und Ebenen sowie von Kreisen und Kugeln werden Wege der Einführung des Skalarprodukts in der Schule diskutiert. Die vorgenommene Unterscheidung zwischen affinen und metrischen Eigenschaften des Anschauungsraumes gehört zum Basiswissen des Lehrers, wird aber im Unterricht nicht expliziert.

Die Standardinhalte des gegenwärtigen Unterrichts in Linearer Algebra/Analytischer Geometrie mit ihrer weitgehenden Beschränkung auf die Behandlung von Geraden und Ebenen und der ausführlichen Bestimmung von Schnittpunkten und -geraden sowie Abstands- und Winkelberechnungen erwecken leider bei Schülerinnen und Schülern oftmals eher den Eindruck eines „Exerzierplatzes“ als den eines „Zaubergartens“. Mit den in diesem Kapitel behandelten Themengebieten verfolgen wir vor allem die folgenden didaktischen Intentionen:

• Motivation durch reizvolle Formen und interessante Phänomene.

• Vernetzungen zwischen mathematischen Inhalten und Leitideen.

• Aufnahme authentischer Anwendungs- und Modellierungskontexte in den Unterricht der Analytischen Geometrie.

Diese didaktischen Intentionen werden anhand attraktiver und für die Schule gut geeigneter Themengebiete realisiert. Dazu gehören Elemente der 3D-Computergraphik (deren mathematische Grundlagen größtenteils in der Analytischen Geometrie liegen), interessante Kurven und Flächen, dynamische Aspekte von Parameterdarstellungen im Zusammenhang mit Computeranimationen sowie das äußerst reichhaltige Feld der Kegelschnitte.

Zu Matrizen bieten sich in der Schule sowohl arithmetische als auch geometrische Zugänge an. Ein nichtgeometrischer Zugang zu Matrizen, der in den Lehrplänen einiger Bundesländer favorisiert wird, ist die Behandlung von mehrstufigen Prozessen, worauf wir zu Beginn des Kapitels eingehen. Schwerpunkt dieses Kapitels sind aber die affinen Abbildungen, die unserer Meinung nach ein höheres Bildungspotenzial und einen stärkeren Bezug zu Technologien haben, welche zum Alltag von Schülern gehören. So bilden affine Abbildungen eine zentrale Grundlage der Computergraphik und mittlerweile auch der Eingabesteuerung von Smartphones und Tablet-PCs. Es werden lineare und affine Abbildungen aus Sicht der Universität und der Schule betrachtet, wobei sich recht große Unterschiede zeigen. Danach werden affine Abbildungen (hauptsächlich der Ebene) aus Sicht der Schule eingeführt, wobei wir von Koordinatendarstellungen aus- und dann zu vektoriellen und matriziellen Darstellungen übergehen. Die Hintereinanderausführung von Abbildungen bildet einen Anlass, die Matrizenmultiplikation einzuführen bzw. anzuwenden. Anschließend werden Fixelemente affiner Abbildungen diskutiert und dann verwendet, um die ebenen Affinitäten zu klassifizieren. Eine systematische Betrachtung der für die Schule besonders relevanten Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen bildet den Abschluss des Kapitels.

In diesem kurzen Abschlusskapitel werden Ausblicke auf Themengebiete gegeben, die innerhalb des Buches aus Platzgründen nicht behandelt werden können, und es werden rückblickend einige Kernprobleme des Unterrichts in Analytischer Geometrie/Linearer Algebra diskutiert.