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2016 | OriginalPaper | Chapter

7. Eichtheorien

Author : Stefan Scherer

Published in: Symmetrien und Gruppen in der Teilchenphysik

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Zum gegenwärtigen Zeitpunkt (2015) stellt das Eichprinzip die erfolgreichste Methode dar, Wechselwirkungen zwischen den Elementarteilchen auf dem submikroskopischen Niveau zu erklären. Das Eichprinzip basiert auf der Forderung nach Invarianz der Lagrange-Dichte bzgl. lokaler Eichtransformationen. Zu diesem Zweck werden zusätzliche Eichfelder eingeführt, deren Feldquanten die Wechselwirkungen zwischen den Elementarteilchen über den Austausch sog. intermediärer Bosonen entstehen lassen. Das bekannteste Beispiel einer Eichtheorie ist die Quantenelektrodynamik, die auf der abelschen Gruppe U(1) basiert. Für den Fall einer abelschen Gruppe besitzen die Eichfelder keine Selbstwechselwirkungen. Nicht-abelsche Theorien (z. B. die Quantenchromodynamik) werden als Yang-Mills-Theorien bezeichnet und beinhalten über die Wechselwirkung der Eichfelder mit den Materiefeldern hinaus auch direkte Wechselwirkungen der Eichfelder untereinander.

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Footnotes
1
Da Vernichtungsoperatoren den Grundzustand vernichten, \(b_{r}(\vec{p}\,)|0\rangle=0=d_{r}(\vec{p}\,)|0\rangle\), gilt \(Q|0\rangle=0\).
 
2
Der Einfachheit halber schreiben wir anstelle des Gruppenelements den Parameter Θ.
 
3
Wir werden in Kap. 8 sehen, dass Eichbosonen im Zusammenhang mit einer spontanen Symmetriebrechung eine Masse bekommen können.
 
4
Tatsächlich besitzt \({\mathcal{L}}_{0}\) in (7.32) eine viel größere Symmetrie, denn die Anteile der einzelnen Quarkflavors sind invariant bzgl. unabhängiger SU(3)-Transformationen. Würde man jede SU(3)-Symmetrie der Flavors separat einem Eichprinzip unterwerfen, entstünden für jeden Flavor acht eigene Gluonen, die insbesondere jeweils nur Wechselwirkungen zwischen ein und demselben Flavor vermitteln würden. Demnach würden zwei verschiedene Quarkflavors auf diese Weise gar nicht miteinander wechselwirken, also eine Bindung wie z. B. in einem Nukleon nicht entstehen.
 
5
Als extreme Kurzschreibweise findet man auch
$${\mathcal{L}}_{\text{QCD}}=\bar{q}(\mathrm{i}\,{\not\!\!D}-{\mathcal{M}})q-\frac{1}{2}\mathrm{Tr}_{c}({\mathcal{G}}_{\mu\nu}{\mathcal{G}}^{\mu\nu}),$$
wobei \({\mathcal{M}}=\mathrm{diag}(m_{u},m_{d},m_{s},m_{c},m_{b},m_{t})\) die Quarkmassenmatrix ist und \({\mathcal{G}}^{\mu\nu}\) für \(\frac{\lambda_{a}^{c}}{2}{\mathcal{G}}^{\mu\nu}_{a}\) steht.
 
6
In der QED lässt sich ein entsprechender Term als totale Divergenz schreiben, \(\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}{\mathcal{F}^{\mu\nu}}{\mathcal{F}^{\rho\sigma}}=2\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\partial^{\mu}({\mathcal{A}}^{\nu}{\mathcal{F}^{\rho\sigma}})\), die im Lagrange-Formalismus keinen Beitrag zur Bewegungsgleichung liefert und deshalb weggelassen werden kann.
 
7
$$\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}=\left\{\begin{array}[]{l}1\,\,\text{f{\"u}r}\,\,(\mu,\nu,\rho,\sigma)\,\,\text{gerade Permutation von}\,\,(0,1,2,3),\\ -1\,\,\text{f{\"u}r}\,\,(\mu,\nu,\rho,\sigma)\,\,\text{ungerade Permutation von}\,\,(0,1,2,3),\\ 0\,\,\text{sonst}.\end{array}\right.$$
 
8
Der Begriff chiral (grch. cheir, „Hand“) weist auf eine Händigkeit der entsprechenden Felder masseloser Quarks hin. Die noch zu definierenden Begriffe rechts- und linkshändiger Felder werden in Anlehnung an masselose, freie Dirac-Fermionen verwendet.
 
9
Betrachtet man die QCD im Grenzfall\(N_{c}\to\infty\) [siehe ’t Hooft; 1974], dann bleibt der Singulettaxialvektorstrom erhalten, weil die Kopplungskonstante sich wie \(g^{2}_{3}\sim N_{c}^{-1}\) verhält.
 
10
Genau genommen sollten wir auch Farbindizes berücksichtigen. Da wir hier ausschließlich farbneutrale quadratische Formen betrachten, ist eine Summation über Farbindizes immer impliziert, sodass sie schließlich unterdrückt werden können.
 
11
In Kap. 8 werden wir argumentieren, dass es auch eine spontane Symmetriebrechung in der QCD gibt.
 
Literature
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Weyl, H.: Elektron und Gravitation. I. Z. Phys. 56, 330–352 (1929) ADSMATH
Metadata
Title
Eichtheorien
Author
Stefan Scherer
Copyright Year
2016
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Book
Symmetrien und Gruppen in der Teilchenphysik

Print ISBN: 978-3-662-47733-5

Electronic ISBN: 978-3-662-47734-2

Copyright Year: 2016

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-47734-2_7

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