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2014 | OriginalPaper | Chapter

4. Erwartungswerte für das Auftreten von Fehlern

Authors : Stefan Eberlin, Barbara Hock

Published in: Zuverlässigkeit und Verfügbarkeit technischer Systeme

Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Zusammenfassung

In diesem Abschnitt wollen wir zunächst die wesentlichen statistischen Grundlagen zusammenstellen, die bei unseren Betrachtungen eine Rolle spielen. Einige davon haben wir bereits den vorangegangenen Kapiteln angewendet. Wir bieten hier keine Einführung in statistische Berechnungen, sondern wollen nur die Details des Bekannten wieder ins Gedächtnis rufen.

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next chapter Verfügbarkeit und Reparatur

Der Zustandsübergang von fehlerhaft zu fehlerfrei ist im Normalfall jedoch nicht zufällig; dort ist im Allgemeinen das Eingreifen im Sinne einer Reparatur erforderlich – siehe Kap. 5.

Die Anzahl k der Fehler hängt von der Zeit ab, über die wir die Komponenten beobachten. Diese Zeitabhängigkeit werden wir im Abschnitt „Zeitliche Abhängigkeit einer Binomial-Verteilung“ auf S. 56 genauer betrachten. Hier wollen wir zunächst nur die grundsätzlichen Eigenschaften der Verteilungen zeigen.

Der Erwartungswert ist der Wert, den wir im Mittel beobachten werden. Es ist nicht notwendigerweise der Wert, den wir am häufigsten beobachten werden. Das heißt, der Erwartungswert ist nicht notwendigerweise identisch mit dem Maximum der Dichtefunktion f(x).

Mit einigen Umformungen sehen wir, dass diese Form genau der Zuverlässigkeitsfunktion für ein System mit k-aus-n-Majoritätsredundanz aus Gl. 3.34 auf S. 41 entspricht.

Mit p(t)=1−e ^−λ⋅t und ${n \choose k} = {n \choose n-k} $ können wir dafür auch schreiben:

$$\begin{aligned} R(k,t) =& \sum _{i=k}^{n}{n \choose i}p^{n-i}(1-p)^i = \sum _{i=k}^{n}{n \choose n-i}p^{n-i}(1-p)^i = \sum _{i=0}^{k}{n \choose n-i}p^{i}(1-p)^{n-i} \\ =& \sum _{i=0}^{k}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i} = F(k,t) \end{aligned}$$

Die Form F(k=0,t) entspricht hier dem auf S. 43 beschriebenen Grenzwert für ein serielles System, die Form F(k=n−1,t) dem Grenzwert für ein paralleles System.

Falls auftretende Fehler unmittelbar behoben werden, dann wird die Zuverlässigkeit auf den Stand von t=0 zurückgesetzt. Da wir nur zufällige Fehler betrachten, spielen Alterungsprozesse keine Rolle. Das Verhalten von „reparierten Systemen“ werden wir ab Kap. 5 unter dem Thema „Verfügbarkeit und Reparatur“ behandeln.

Title: Erwartungswerte für das Auftreten von Fehlern
Authors: Stefan Eberlin
Barbara Hock
Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden
Book: Zuverlässigkeit und Verfügbarkeit technischer Systeme
Print ISBN: 978-3-658-03572-3

Electronic ISBN: 978-3-658-03573-0

Copyright Year: 2014
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-03573-0_4