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Published in:
2016 | OriginalPaper | Chapter
11. Gauß-Elimination
Authors : Jens Vygen, Stefan Hougardy
Published in: Algorithmische Mathematik
Publisher: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel mit der Lösung linearer Gleichungssysteme, das heißt Systeme der Form (oder kurz \(Ax=b\)), wobei \(A=(\alpha_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}\in{\mathbb{R}}^{m\times n}\) und \(b=(\beta_{1},\ldots,\beta_{m})^{{\scriptscriptstyle\top}}\in{\mathbb{R}}^{m}\) gegeben sind und \(x=(\xi_{1},\ldots,\xi_{n})^{{\scriptscriptstyle\top}}\in{\mathbb{R}}^{n}\) gesucht ist. Mit anderen Worten: wir lösen folgendes numerische Berechnungsproblem:
$$\begin{array}[]{ccccccccc}\alpha_{11}\xi_{1}&+&\alpha_{12}\xi_{2}&+&\ldots&+&\alpha_{1n}\xi_{n}&=&\beta_{1}\\ \vdots&&&&&&\vdots&&\vdots\\ \alpha_{m1}\xi_{1}&+&\alpha_{m2}\xi_{2}&+&\ldots&+&\alpha_{mn}\xi_{n}&=&\beta_{m}\end{array}$$
Aus der Linearen Algebra wissen wir, dass dieses Problem eng verwandt dazu ist, den Rang, und im Falle \(m=n\) die Determinante und – falls A nichtsingulär ist – die Inverse \(A^{-1}\) von A zu berechnen; vgl. die Box Rang und Determinante. Alle diese Probleme löst das Gaußsche Eliminationsverfahren, das wir in diesem Kapitel studieren. Wir haben Problem Ch11.I1.ix1 für reelle Zahlen definiert, aber man kann alles auf beliebige Körper (zum Beispiel \(\mathbb{C}\)) erweitern, sofern man darin rechnen kann.