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2018 | Book

Historische Notizen Read chapter Read first chapter

Grenzen der Mathematik

Eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik

Author: Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Ist die Mathematik frei von Widersprüchen? Gibt es Wahrheiten jenseits des Beweisbaren? Ist es möglich, unser mathematisches Wissen in eine einzige Zahl hineinzucodieren?

Die moderne mathematische Logik des zwanzigsten Jahrhunderts gibt verblüffende Antworten auf solche Fragen.

Das vorliegende Buch entführt Sie auf eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik, hin zu den Grenzen der Mathematik. Unter anderem werden die folgenden Themen behandelt: Geschichte der mathematischen Logik, formale Systeme, axiomatische Zahlentheorie und Mengenlehre, Beweistheorie, die Gödel‘schen Unvollständigkeitssätze, Berechenbarkeitstheorie, algorithmische Informationstheorie, Modelltheorie.

Das Buch enthält zahlreiche zweifarbige Abbildungen und mehr als 70 Aufgaben (mit Lösungen auf der Website zum Buch).

Für die dritte Auflage wurde das Kapitel ‚Modelltheorie‘ um eine Beschreibung der von Paul Cohen entwickelten Forcing-Technik ergänzt.

Table of Contents

Frontmatter
Kapitel 1. Historische Notizen
Zusammenfassung
Wenige Dinge fesseln den Wissenschaftler so sehr wie die Rätsel der Natur. Von der Neugier getrieben, sind wir fortwährend auf der Suche nach Regeln und Strukturen in einer Welt, die mehr Fragen aufwirft als Antworten zulässt. Und trotzdem: Fassen wir die Entwicklungen der letzten Jahrhunderte zusammen, so blicken wir auf eine beachtliche Erfolgsbilanz zurück. Immer wieder ist es Wissenschaftlern gelungen, komplexe Sachverhalte auf einfachere, weniger komplexe Zusammenhänge zu reduzieren und auf dieseWeise einer adäquaten Erklärung zuzuführen.
Dirk W. Hoffmann
Kapitel 2. Formale Systeme
Zusammenfassung
In Kapitel 1 haben wir die axiomatische Methode als die Grundlage der modernen mathematischen Beweisführung identifiziert und gezeigt, wie sie das Bild der Mathematik im Laufe der Zeit verändert hat. Im modernen Sinne wird das Führen eines Beweises als der Prozess verstanden, Sätze durch die Anwendung wohldefinierter Schlussregeln aus einer kleinen Menge a priori festgelegter Grundannahmen, den Axiomen, abzuleiten. Erst durch den präzisen deduktiven Charakter dieser Vorgehensweise konnte sich die Mathematik zu der exakten Wissenschaft entwickeln, wie wir sie heute kennen.
Dirk W. Hoffmann
Kapitel 3. Fundamente der Mathematik
Zusammenfassung
In Kapitel 2 haben wir die Aussagenlogik und die Prädikatenlogik eingeführt und gezeigt, wie sich die Schlussweisen der gewöhnlichen Mathematik innerhalb formaler Systeme nachbilden lassen. In diesem Kapitel werden wir auf der Prädikatenlogik aufbauen und sie durch die Hinzunahme neuer Axiome zu sogenannten Theorien erweitern. Konkret verstehen wir unter einer mathematischen Theorie ein formales System, dessen Axiome in zwei Gruppen unterteilt sind.
Dirk W. Hoffmann
Kapitel 4. Beweistheorie
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir uns ausführlich mit der Beweistheorie, einer der tragenden Säulen der mathematischen Logik, beschäftigen. In ihrem Kern steht der Gedanke, Beweise als mathematische Objekte zu interpretieren und auf dieseWeise einer präzisen Analyse zugänglich zu machen. Zur vollen Blüte ist die Beweistheorie in der ersten Hälfte des zwanzigsten Jahrhundert gereift.
Dirk W. Hoffmann
Kapitel 5. Berechenbarkeitstheorie
Zusammenfassung
Die Berechenbarkeitstheorie ist neben der Beweistheorie die zweite tragende Säule der mathematischen Logik. Unter ihrem Schirm vereint sie alle Methoden und Erkenntnisse, die sich mit den Möglichkeiten und Grenzen der algorithmischen Methode beschäftigen.
Dirk W. Hoffmann
Kapitel 6. Algorithmische Informationstheorie
Zusammenfassung
In Kapitel 5 haben wir uns ausführlich mit der Funktionsweise von Turing-Maschinen beschäftigt und dabei zwei wichtige Beobachtungen gemacht: Einerseits können wir Turing-Maschinen dazu verwenden, um Zeichensequenzen zu generieren. Andererseits können wir sie wie die Programme einer beliebigen Programmiersprache behandeln und somit selbst als Zeichensequenzen auffassen. In diesem Abschnitt werden wir diese Beziehung verallgemeinern und eine Zeichensequenz s mit dem kürzesten Programm in Bezug setzen, das s erzeugt.
Dirk W. Hoffmann
Kapitel 7. Modelltheorie
Zusammenfassung
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir mehrfach herausgestellt, dass sich die Formeln eines Kalküls auf zwei Ebenen betrachten lassen. Die erste ist die syntaktische Ebene. Hier sind Formeln nichts weiter als Folgen von Symbolen über einem speziellen Zeichenvorrat, die sich durch die Anwendung von Schlussregeln in andere Formeln übersetzen lassen.
Dirk W. Hoffmann
Backmatter
Metadata
Title
Grenzen der Mathematik
Author
Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann
Copyright Year
2018
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-56617-6
Print ISBN
978-3-662-56616-9
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-56617-6

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