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2010 | Book

Rechnen mit ganzen Zahlen Read chapter Read first chapter

Grundwissen Mathematik

Ein Vorkurs für Fachhochschule und Universität

Authors: Jan van de Craats, Rob Bosch

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Book Series : Springer-Lehrbuch

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Dieses Buch ist bestimmt für alle Schüler und Studenten, die sich in der Mathematik unsicher fühlen, da sich Lücken in ihren Grundkenntnissen befinden. Sie können ihre mathematische Fähigkeiten hiermit auffrischen. Das Buch beinhaltet das komplette Grundwissen der Mathematik, das als Einstiegsniveau für ein Universitäts- oder Hochschulstudium in den Bereichen Ingenieurwissenschaften, Naturwissenschaften, Informatik, Wirtschaftswissenschaften, Mathematik und verwandten Studiengängen benötigt wird. Es handelt sich hier um ein Übungsbuch. Auf den linken Seiten stehen Aufgaben, womit Sie direkt beginnen können. Auf den rechten Seiten steht kurz und klar die Theorie, die Sie benötigen um die Aufgaben auf den linken Seiten zu lösen.

Table of Contents

Frontmatter

Zahlen

Frontmatter
1. Rechnen mit ganzen Zahlen
Zusammenfassung
Division ohne Zuhilfenahme eines Rechengerätes wird mit der schriftlichen Division getätigt. Betrachten Sie nebenstehende schriftliche Division für 83218 : 37, dies bedeutet 83218 geteilt durch 37. Den Quotienten 2249 finden wir rechts oben und den Rest 5 am unteren Ende. Die schriftliche Division lehrt uns, dass
Jan van de Craats, Rob Bosch
2. Rechnen mit Brüchen
Zusammenfassung
Auch die rationalen Zahlen, d.h. die Zahlen, die als ein Bruch geschrieben werden können, liegen auf der Zahlengeraden. Nachfolgend sind einige rationale Zahlen auf der Zahlengeraden angegeben.
Jan van de Craats, Rob Bosch
3. Potenzen und Wurzeln
Zusammenfassung
Die Zahl 0 als Grundzahl hat einen besonderen Stellenwert. Oben haben wir a ungleich 0 genommen um zu verhindern, dass bei einem negativen ganzen Exponenten in der Potenz an ein Bruch mit Null im Nenner erscheint.
Jan van de Craats, Rob Bosch

Algebra

Frontmatter
4. Rechnen mit Buchstaben
Zusammenfassung
In den folgenden Aufgaben sollen die vorgegebenen Werte in den algebraischen Ausdrücke eingesetzt und die Ergebnisse berechnet werden. Beispiel: Wenn wir a = 5 in den Ausdruck 3a 3 – 2a+4 einsetzen, erhalten wir 3×53 − 2 × 5 + 4 = 375 – 10 + 4 = 369.
Jan van de Craats, Rob Bosch
5. Die binomischen Formeln
Zusammenfassung
Einige Spezialfälle der Bananenformel werden so oft benutzt, dass sie einen eigenen Namen erhalten haben. Diese nennt man die binomischen Formeln.
Jan van de Craats, Rob Bosch
6. Brüche mit Buchstaben
Zusammenfassung
Spalten Sie in Brüche mit lediglich einem Term im Nenner auf. (Siehe das erste Beispiel auf der nächsten Seite.)
Jan van de Craats, Rob Bosch

Zahlenfolgen

Frontmatter
7. Fakultäten und Binomialkoeffizienten
Zusammenfassung
Lösen Sie mit Hilfe der Formeln auf der nächsten Seite die Klammern auf und vereinfachen Sie den Ausdruck soweit wie möglich.
Jan van de Craats, Rob Bosch
8. Folgen und Grenzwerte
Zusammenfassung
Es wird berichtet, dass der groβe Mathematiker Gauβ bereits als Schüler im Mathematikunterricht folgende Aufgabe lösen sollte. Er musste alle Zahlen von 1 bis einschlieβlich 100 addieren. Zur Verblüffung seines Lehrers berechnete er fast unmittelbar die Antwort im Kopf: 5050.
Jan van de Craats, Rob Bosch

Gleichungen

Frontmatter
9. Lineare Gleichungen
Zusammenfassung
Diese Regel hat genau wie bei Gleichungen die Folge, dass Sie einen Term von der einen Seite auf die andere Seite bringen dürfen. Voraussetzung hierbei ist, dass Sie einen Vorzeichenwechsel machen (von Plus nach Minus oder umgekehrt).
Jan van de Craats, Rob Bosch
10. Quadratische Gleichungen
Zusammenfassung
Eine solche Gleichung hat 0, 1 oder 2 Lösungen, d.h. es gibt 0, 1 oder 2 Zahlen x, die die Gleichung erfüllen. Die Lösungen werden auch oft Wurzeln der Gleichung genannt, obwohl in der Schreibweise der Zahlen gar keine Wurzeln im Sinne des Kapitels 3 vorkommen müssen. Für jeden der drei Fälle geben wir ein Beispiel.
Jan van de Craats, Rob Bosch
11. Lineare Gleichungssysteme
Zusammenfassung
Man nennt dies ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Die Zahlen x und y können wir auf nachfolgende Weise in diesem Gleichungssystem bestimmen.
Jan van de Craats, Rob Bosch

Geometrie

Frontmatter
12. Geraden in der Ebene
Zusammenfassung
In den nachfolgenden Aufgaben gehen wir von einem rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy in der Ebene aus. Dies kann schön auf kariertem Papier dargestellt werden.
Jan van de Craats, Rob Bosch
13. Abstände und Winkel
Zusammenfassung
Ein rechtwinkliges Koordinatensystem Oxy wird orthonormal genannt, wenn die Maβstäbe auf den beiden Achsen gleich sind. In den geometrischen Anwendungen werden wir fast immer mit einem solchen orthonormalen Koordinatensystem arbeiten.
Jan van de Craats, Rob Bosch
14. Kreise
Zusammenfassung
In den nachfolgenden Aufgaben sind ein Mittelpunkt M und ein Radius r gegeben. Schreiben Sie jeweils eine Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r in der Form x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 auf.
Jan van de Craats, Rob Bosch
15. Raumgeometrie
Zusammenfassung
Im Raum arbeiten wir mit drei Koordinaten. Ein orthonormales Koordinatensystem Oxyz besteht aus drei senkrecht aufeinander stehenden Koordinatenachsen, mit gleichen Maβstäben auf allen Achsen.
Jan van de Craats, Rob Bosch

Funktionen

Frontmatter
16. Funktionen und Graphen
Zusammenfassung
Wenn die Maβstäbe auf den beiden Achsen gleich gewählt sind, so ist m auch gleich dem Tangens des Winkels α welcher der Graph mit der x-Achse hat. Diesen Winkel α nennt man den Neigungswinkel.
Jan van de Craats, Rob Bosch
17. Trigonometrie
Zusammenfassung
Winkel messen wir entweder in Grad oder in Radianten. Hier neben sehen wir den Einheitskreis in der Ebene (der Kreis mit dem Radius 1 und mit O als Mittelpunkt), wobei beide Winkelmaβe angegeben sind. Eine vollständige Umdrehung hat 360 Grad oder 2π Radianten.
Jan van de Craats, Rob Bosch
18. Exponentialfunktionen und Logarithmen
Zusammenfassung
Zeichnen Sie die Graphen der nachfolgenden Funktionen. Eine grobe Skizze ist ausreichend. Achten Sie dabei auf eventuelle Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie auf waagerechte Asymptoten. Es ist hierbei nicht notwendig, die Maβstäbe auf beiden Achsen gleich zu wählen.
Jan van de Craats, Rob Bosch
19. Parametrisierte Kurven
Zusammenfassung
19.1 Zeigen Sie, dass x = 3 sin t, y = 2 cos t eine weitere Parametrisierung der Ellipse auf der nächsten Seite ist. Was ist der Umlaufsinn und was ist P0?
19.2 Geben Sie eine Parametrisierung der Ellipse, die auf der nächsten Seite gezeichnet ist, gegen den Uhrzeigersinn an, wobei P0 = (−3, 0) ist.
Jan van de Craats, Rob Bosch

Differenzial-und Integralrechnung

20. Differenzieren
Zusammenfassung
Auf Seite 179 stehen fünf Rechenregeln für das Differenzieren. Für die Aufgaben auf dieser Seite benötigen Sie lediglich die ersten zwei:
Jan van de Craats, Rob Bosch
21. Differenziale und Integrale
Zusammenfassung
21.9 In den nachfolgenden Fällen sind ein Messwert x m , eine obere Schranke h für den Messfehler und eine differenzierbare Funktion gegeben. Berechnen Sie f (x m ) und geben Sie mit Hilfe des Differenzials eine obere Schranke k für den Fehler in dieser Berechnung. Sie dürfen hierbei ein Rechengerät benutzen. Runden Sie k auf, bis auf eine Ihrer Meinung nach vernünftige Anzahl von Dezimalstellen (dies braucht nicht für jede Frage die gleiche zu sein).
Jan van de Craats, Rob Bosch
22. Integrationstechniken
Zusammenfassung
Berechnen Sie die nachfolgenden Integrale mit Hilfe der Substitutionsregel. Arbeiten Sie mit der Technik „hinter das d bringen“. Schreiben Sie hierbei auch alle Zwischenschritte auf, genau wie in den Beispielen auf der nächsten Seite.
Jan van de Craats, Rob Bosch
23. Anwendungen
Zusammenfassung
Berechnen Sie die Tangentialvektoren an die nachfolgenden parametrisierten Kurven. Sollten Sie Bilder der Kurven benötigen, können Sie die Aufgaben aus Kapitel 19 auf Seite 166 zu Rate ziehen.
Jan van de Craats, Rob Bosch

Hintergrundwissen

Frontmatter
24. Reelle Zahlen und Koordinaten
Zusammenfassung
Die Menge aller reellen Zahlen bezeichnen wir mit \(\mathbb{R}\). Die positiven reellen Zahlen sind die reellen Zahlen, welche größer als 0 sind und die negativen reellen Zahlen sind die, welche kleiner als 0 sind.
Jan van de Craats, Rob Bosch
25. Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit
Zusammenfassung
Man versteht unter einer Funktion von \(\mathbb{R}\) nach \(\mathbb{R}\) eine Vorschrift, die in eindeutigerWeise reelle Zahlen in andere reelle Zahlen umsetzt. Dies kann mit Hilfe einer Formel, einer Beschreibung inWorten oder auf irgendeine andereWeise geschehen.
Jan van de Craats, Rob Bosch
26. Ergänzende Herleitungen
Zusammenfassung
In Kapitel 18 auf Seite 159 haben wir bereits bemerkt, dass Eigenschaften der logarithmischen Funktionen aus entsprechenden Eigenschaften der Exponentialfunktionen hergeleitet werden können.Wir geben hier die entsprechenden Herleitungen.
Jan van de Craats, Rob Bosch
Backmatter
Metadata
Title
Grundwissen Mathematik
Authors
Jan van de Craats
Rob Bosch
Copyright Year
2010
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-642-13501-9
Print ISBN
978-3-642-13500-2
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-642-13501-9

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