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2020 | OriginalPaper | Chapter

10. Gruppen von Permutationen (§ 166.)

Author : Katrin Scheel

Published in: Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen

Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Zusammenfassung

Ein System \(\varPi \) von n verschiedenen Körper-Permutationen \(\pi \) heisst eine Gruppe, wenn jede mit jeder zusammensetzbar, und wenn die Resultante immer in \(\varPi \) enthalten ist.

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Footnotes
1
Schon in meinen Göttinger Vorlesungen (1857–1858) habe ich diese Theorie in der Weise vorgetragen, dass sie für Gruppen \(\varPi \) von beliebigen Elementen \(\pi \) gilt.
 
2
Zunächst folgt allerdings nur, dass jeder Körper \(B\pi \) Divisor von B sein muss; da aber (nach §. 164) jede Zahl \(\omega \) in B algebraisch in Bezug auf A ist, und da die Zahlen der unendlichen Kette \(\omega \), \(\omega '=\omega \pi \), \(\omega ''=\omega '\pi \), \(\omega '''=\omega ''\pi \ldots \) in B enthalten und Wurzeln einer und derselben, nach A irreducibelen Gleichung sind, so müssen in ihr Wiederholungen von der Form \(\omega ^{(r)}=\omega ^{(r+s)}\) auftreten, wo \(s>0\), und da aus \(\alpha \pi =\beta \pi \) stets \(\alpha =\beta \) folgt, so ergiebt sich \(\omega =\omega ^{(s)}\), und folglich ist jede in B enthaltene Zahl \(\omega \) auch in \(B\pi \) enthalten, also \(B\pi =B\). – Um diese Betrachtung in das rechte Licht zu setzen, bemerken wir noch Folgendes. Sind \(\tau \), \(\tau '\) irgend zwei transcendente, d. h. nicht algebraische Zahlen in Bezug auf A, so geht der Körper \(A(\tau )\) durch unendlich viele Permutationen, welche Multipla der identischen Permutation von A sind, in \(A(\tau ')\) über, und unter ihnen ist eine einzige \(\pi \), für welche \(\tau \pi =\tau '\) wird; nimmt man nun z. B. \(\tau '=\tau ^2\), so leuchtet leicht ein, dass der mit \(A(\tau )\) conjugierte Körper \(A(\tau ^2)\) ein echter Divisor von \(A(\tau )\) ist.
 
3
Bemerkung: Ist B normal nach A, so gilt dasselbe offenbar auch von AB; aber dies darf nicht umgekehrt werden. Ist z. B. A ein cubischer, aber nicht normaler Körper (in Bezug auf den Rationalkörper R), so geht er durch seine beiden nicht-identischen Permutationen in zwei von A und von einander verschiedene Körper B, C über; dann ist \((B,A)=2=(AB,A)\), und \(AB=AC=BC=ABC\) normal in Bezug auf A; aber durch die beiden mit der identischen Permutation \(\varphi \) von A einigen Permutationen \(\varphi _1\), \(\varphi _2\) von B (deren eine \(\psi _1\) identisch ist) geht B in \(B\psi _1=B\) und \(B\psi _2=C\) über, also ist B nicht normal in Bezug auf A.
 
4
Denn wählt man aus AB irgend eine n-werthige Zahl \(\theta \), so müssen die n verschiedenen, in AP enthaltenen Zahlen \(\theta \pi \) durch die Permutation \(\varkappa \) (nach §. 161) auch in n verschiedene Bilder \(\theta \pi '\) übergehen, und folglich sind auch die n Permutationen \(n'\) verschieden; die Permutation \(\varkappa \) erzeugt also eine gewisse Vertauschung (Permutation) der n Werthe \(\theta \pi \) unter einander.
 
Metadata
Title
Gruppen von Permutationen (§ 166.)
Author
Katrin Scheel
Copyright Year
2020
Book
Dedekinds Theorie der ganzen algebraischen Zahlen

Print ISBN: 978-3-658-30927-5

Electronic ISBN: 978-3-658-30928-2

Copyright Year: 2020

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-30928-2_10

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