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2021 | Book

Reelle Zahlen Read chapter Read first chapter

Höhere Mathematik 2

Analysis

Authors: Prof. Dr. Walter Strampp, Dr. Dörthe Janssen

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Dieses Lehrbuch stellt ausgehend von den reellen Zahlen und Funktionen die Kerninhalte der Analysis dar: Von Folgen und Reihen bis hin zur ein- und mehrdimensionalen Differentiation und Integration.

Das Buch ist besonders für Studierende in anwendungsorientierten Bachelorstudiengängen geeignet, da mathematische Begriffe hier aus konkreten Problemstellungen heraus motiviert und anhand zahlreicher durchgerechneter Beispiele erläutert werden. Beweisideen werden anhand exemplarischer Situationen skizziert, sodass sich ein gutes Verständnis für die wesentlichen Zusammenhänge einstellt.

Am Ende jedes Abschnitts finden sich Beispielaufgaben, die an Ort und Stelle vollständig gelöst werden und die Herangehensweise Schritt für Schritt zeigen. Zusätzliche Übungsaufgaben am Ende jedes Kapitels dienen der selbstständigen Wiederholung sowie der Klausurvorbereitung, ausführliche Musterlösungen dazu sind am Ende des Buchs zusammengefasst.

Table of Contents

Frontmatter
Kapitel 1. Reelle Zahlen
Zusammenfassung
Die reellen Zahlen werden eingeführt. Körper- und Anordnungseigenschaften werden besprochen. Termumformungen werden geübt. Der Betrag wird eingeführt. Gleichungen und Ungleichungen werden gelöst. Das Rechnen mit Summen, das Beweisprinzip der vollständigen Induktion und der binomische Satz werden bereitgestellt.
Walter Strampp, Dörthe Janssen
Kapitel 2. Folgen
Zusammenfassung
Was versteht man unter einer Folge? Wie wird eine Folge erklärt? Welche Eigenschaften zeichnen Folgen aus? Das sind die ersten Fragen. Danach wird der Grenzwert eingeführt und begrifflich aufgefächert: Konvergenz, Divergenz, Konvergenz gegen Unendlich. Beim Nachweis der Konvergenz helfen Grenzwertsätze. Schließlich wird werden Teilsummen einer Folge in Reihen überführt.
Walter Strampp, Dörthe Janssen
Kapitel 3. Funktionen
Zusammenfassung
Als Grundlage werden der Funktionsbegriff und die Operationen mit Funktionen vermittelt. Stetigkeit und Grenzwert werden zunächst aus dem Folgengrenzwert entwickelt. Stetigkeitsbegriffe werden gegeneinander abgewogen. Wichtige Grenzwerte und ihre Implikationen auf Funktionsverläufe werden vorgestellt. Aus Folgen und Grenzwerten werden Funktionen aufgebaut. Logarithmus und Exponentialfunktion sind klassische Beispiele, deren Eigenschaften eingehend diskutiert werden.
Walter Strampp, Dörthe Janssen
Kapitel 4. Differentiation
Zusammenfassung
Grenzprozesse führen von der Sekante zur Tangente vom Differenzenquotienten zur Ableitung. Zusammengesetzte Funktionen lassen sich mithilfe von Regeln ableiten. Die Ableitung zahlreicher elementarer Funktionen wird hergeleitet. Der Mittelwertsatz ermöglicht den Vergleich benachbarter Funktionswerte. Damit können Extremalstellen, konstante Funktionen und monotone Funktionen charakterisiert werden. Tiefere Einblicke in Grenzübergänge eröffnen die Regeln von de l’Hospital.
Walter Strampp, Dörthe Janssen
Kapitel 5. Integration
Zusammenfassung
Integrale mit Riemannschen Summen über Grenzwertbildungen definiert. Die Rechtecksfläche wird auf Flächen unter Kurven erweitert. Die Eigenschaften des Integrals werden vorgestellt insbesondere die Mittelwerteigenschaft. Die Fläche als Funktion der oberen Grenze führt auf den Hauptsatz und den Begriff der Stammfunktion. Die Konsequenzen des Hauptsatzes für die Integralberechnung werden diskutiert.
Walter Strampp, Dörthe Janssen
Kapitel 6. Integrationsregeln, uneigentliche Integration
Zusammenfassung
Wenn man keine Stammfunktion zur Hand hat, kann man Regeln anwenden, um eine zu finden (partielle Integration, Substitution). Ansonsten kann geprüft werden, ob die zu integrierende Funktion einer Klasse mit ausgearbeiteten Methoden angehört. Die Partialbruchzerlegung für gebrochen rationale Funktionen wird ausführlich vorgestellt. Schließlich wird die Integration erweitert auf unbeschränkte Integranden und unbeschränkte Integrationsintervalle. Erforderliche Grenzprozesse bilden die uneigentliche Integration.
Walter Strampp, Dörthe Janssen
Kapitel 7. Taylorentwicklung
Zusammenfassung
Auf dem Mittelwertsatz wird der Satz von Taylor aufgebaut. Die Funktionswerte und die Ableitungen bis zu einer gewissen Ordnung der Funktion gehen in das Taylorpolynom ein, welches eine lokale Näherung der Funktion liefert. Taylorpolnome sind Teilsummen der Taylorreihe, die die Funktion lokal ersetzen kann. Der Satz von Taylor gibt alle Hilfsmittel für die Untersuchung einer Funktion auf Monotoniebereiche, Extremalstellen, Wendepunkte.
Walter Strampp, Dörthe Janssen
Kapitel 8. Reihen
Zusammenfassung
Bedingte und absolute Konvergenz wird unterschieden. Absolute Konvergenz garantiert die Umordnung einer Reihe. Das Wurzel- und das Quotientenkriterium und weitere Konvergenzkriterien werden betrachtet. Die Frage nach der Konvergenz einer Taylor- bzw. Potenzreihe wird geklärt. Das Rechnen mit Potenzreihen wird eingehend untersucht.
Walter Strampp, Dörthe Janssen
Kapitel 9. Grundlagen der Analysis im
Zusammenfassung
Die Frage nach Folgen, Funktionen, Grenzwerten, Ableitung stellt sich erneut im Raum. Bei der Beantwortung hilft die Zerlegung in Komponenten und die Einschränkung auf Geraden. Funktionen von zwei Variablen können durch Flächen im Raum oder durch Höhenlinien veranschaulicht werden. Die partielle Ableitung entsteht unmittelbar aus dem eindimensionalen Ableitungsbegriff. Es wird herausgearbeitet, wo Entwicklungen im Vergleich mit dem eindimensionalen Fall parallel verlaufen, und wo sie abweichen.
Walter Strampp, Dörthe Janssen
Kapitel 10. Differentiation im
Zusammenfassung
Aus der partiellen Ableitung folgt der Gradient. Die Rolle der Ableitung übernimmt die Funktionalmatrix (Jacobi-Matrix). Die Kettenregel multipliziert die Funktionalmatrizen analog zur Verkettung linearer Abbildungen. Der Satz von Taylor wird aus dem eindimensionalen Fall hergeleitet durch Einschränkung auf Geraden und Anwendung der Kettenregel. Die Gradientenbedingung liefert notwendige Bedingungen für Extremalstellen. Die Matrix der zweiten Ableitungen (Hessematix) wird als quadratische Form aufgefasst. Dadurch bekommt man hinreichende Bedingungen mithilfe des Satzes von Taylor.
Walter Strampp, Dörthe Janssen
Kapitel 11. Implizite Funktionen
Zusammenfassung
Mit der Funktionalmatrix werden Bedingungen für die Umkehrbarkeit einer Funktion formuliert (Satz über inverse Funktionen). Implizite Funktionen ergeben sich als Auflösungen von allgemeinen Gleichungssystemen. Mithilfe des Satzes über inverse Funktionen ergeben sich Kriterien für die Eindeutigkeit (Satz über implizite Funktionen). Extremalstellen unter Nebenbedingungen stellen eine wichtige Anwendung impliziter Funktionen dar. Nebenbedingung werden durch implizit gegebene Kurven oder Flächen festgelegt, auf die man Funktionen einschränkt. Notwendige Bedingungen für Extremalstellen ergeben sich mit den Lagrange-Gleichungen. Hinreichende Bedingungen bekommt man mit der geränderten Hessematrix.
Walter Strampp, Dörthe Janssen
Kapitel 12. Integration im
Zusammenfassung
Riemannsche Summen werden auf Funktionen von mehreren Variablen übertragen. Das Integral wird als Grenzwert Riemannscher Summen erklärt. Fundamental ist die iterierte Integration (Satz von Fubini), die Integrale über mehrdimensionale Intervalle auf eindimensionale Integrationen zurückführt. Die Volumenberechnung projizierbarer Mengen erfolgt durch iterierte Integration (Prinzip von Cavalieri). Mengen, die längs einer Koordinatenachse projiziert werden können, erlauben eine Reduktion der Dimension bei der Integration.
Walter Strampp, Dörthe Janssen
Kapitel 13. Integration über Mengen
Zusammenfassung
Wir übertragen das Prinzip der iterierten Integration und integrieren Funktionen über Mengen. Die Substitutionsregel wird aus dem eindimensionalen Fall entwickelt. Eine übersichtliche Beschreibung des Integrationsgebiets gelingt in vielen Fällen durch eine Koordinatentransformation (Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten). Die Integration erfolgt dann durch Substitution. Dass die Anschauung dabei eine entscheidende Rolle spielt, wird mit zahlreichen Beispielen illustriert.
Walter Strampp, Dörthe Janssen
Kapitel 14. Kurven
Zusammenfassung
Ausgehend vom Funktionsgraphen werden Kurven im Raum mit Tangentvektoren eingeführt. Durch Transformation des Parameterbereichs werden neue Parametrisierungen generiert. Die Tangentenrichtung wird bei dieser äquivalenten Parametrisierung nicht verändert, Kurvenintegrale bleiben erhalten. Längenelemente bilden die Grundlage die Kurvenlänge und für Kurvenintegrale. Potentialfelder werden durch die Wegunabhängigkeit des Integrals charakterisiert.
Walter Strampp, Dörthe Janssen
Kapitel 15. Flächen
Zusammenfassung
Flächen im Raum werden diskutiert. Bei äquivalenter Parametrisierung muss die Normalenrichtung und die Orientierung der Fläche gewahrt werden. Tangentenvektoren spannen die Tangentialebene auf. Sie wird mit Kurven auf der Fläche insbesondere Koordinatenlinien in Zusammenhang gebracht. Flächenelemente bilden die Grundlage Flächenintegrale. Flächenintegrale bleiben bei äquivalenter Parametrisierung erhalten. Der Fluss eines Vektorfeldes durch eine Fläche wird vorgestellt.
Walter Strampp, Dörthe Janssen
Kapitel 16. Integralsätze
Zusammenfassung
Die Integralsätze setzen die Grundbegriffe der Feldtheorie Kurvenintegral, Oberflächenintegral, Fluss, Divergenz, Rotation in Verbindung. Der Fluss eines Vektorfelds durch die Randfläche eines Normalbereichs wird durch das Integral der Divergenz über den Bereich ausgedrückt (Satz von Gauß). Das Integral eines Vektorfeldes längs der Randkurve einer Fläche im Raum durch den Fluss der Rotation durch die Fläche ausgedrückt (Satz von Stokes). Die wichtigsten Beweisideen enthält bereits der zweidimensionale Sonderfall (Satz von Green).
Walter Strampp, Dörthe Janssen
Kapitel 17. Lösungen zu den Übungsaufgaben
Zusammenfassung
Am Schluss der vorausgegangenen Kapitel wurden Übungsaufgaben zum Wiederholen und Vorbereiten auf Klausuren vorgeschlagen. Lösungen und Hinweise zu sämtlichen Übungsaufgaben werden in diesem Kapitel gegeben.
Walter Strampp, Dörthe Janssen
Backmatter
Metadata
Title
Höhere Mathematik 2
Authors
Prof. Dr. Walter Strampp
Dr. Dörthe Janssen
Copyright Year
2021
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-63552-0
Print ISBN
978-3-662-63551-3
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-63552-0

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