Integration

In diesem Kapitel wollen wir mit verschiedenen mathematischen Techniken den Begriff des Integrals begründen. Wir gehen zu diesem Zweck von der anschaulichen Eigenschaft des Integrals als Flächeninhalt aus. Das Konzept der Integration trat schon sehr früh beim Problem der Flächenberechnung für Bereiche auf, die von krummlinigen Kurven umschlossen werden. So hatte Archimedes bereits das Prinzip des Riemann-Integrals benutzt und die Fläche einer Kreisscheibe sowie die unter einer quadratischen Kurve berechnet. Integration wird überall dort benötigt, wo ändernde Ursachen sich zu einer Gesamtwirkung summieren. Die Bedeutung der Integration als mathematische Operation wurde von Newton und von Leibniz im 17. Jahrhundert durch die Entdeckung des

Hauptsatzes

der Differential- und Integralrechnung erkannt. Das Integral einer Funktion auf einem bestimmten Intervall erlaubt es, den Inhalt der Fläche zwischen der

x

-Achse und dem Graphen, der durch die Funktion definiert wird, zu berechnen. Sehr einfach läßt sich eine solche Fläche berechnen, wenn sie aus lauter Rechtecken besteht, wenn sich also die

Kurve

aus lauter waagerechten Strecken zusammensetzt (vgl. Abb. 6.1). Solche Funktionen werden Treppenfunktionen genannt und im folgenden definiert. Für Rechtecke ist uns der Flächeninhalt als Produkt der Seitenlängen geläufig. Wir werden deshalb das Integral zunächst durch Addition von Rechteckflächen definieren.