Nichtlineare Deskriptormodelle

Dieses Kapitel betrachtet dynamische Systeme und die zugehörigen mathematischen Modelle zur Beschreibung der Dynamik und erörtert, dass Kausalität und Realisierbarkeit als Eigenschaften der Modelle anzusehen sind. Anschließend werden die Begriffe Kausalität und Realisierbarkeit als wesentliche Merkmale in Zustands- bzw. Deskriptor-Modellen untersucht und über zugehörige Definitionen klar unterschieden; in diesem Abschnitt wird dies anhand der Lösung der Modellgleichungen ausgeführt, im nachfolgenden dann anhand der Modellstruktur. Beispiele am Ende des Kapitels verdeutlichen, dass die Modellbildung für dynamische Systeme ab einer gewissen strukturellen Komplexität in der Anfangsphase meist auf ein Deskriptormodell führt, das dann unter gewissen Umständen durch mathematische Umformungen auf ein Zustandsmodell gebracht werden kann.

Im diesem Kapitel werden zunächst gängige Strukturen von Deskriptormodellen beschrieben. Das sind semi-explizite, explizite und implizite mathematische Modelle, in denen die Differentialgleichungen von 1. Ordnung sind; dabei ist das Auftreten von Zeitableitungen der Eingangsgrößen von Bedeutung. Dann wird für die Analyse von regulären realisierbaren semi-expliziten Deskriptormodellen der sogenannte „Modifizierte Shuffle-Algorithmus“ angegeben; dabei werden der Differentiationsindex und das zugehörige explizite Deskriptormodell mit konsistenten Anfangswerten ermittelt. Ob semi-explizites oder explizites Deskriptormodell, beide Modelle gelten als Beschreibungen der Dynamik ein und desselben wohldefiniert und eindeutig ablaufenden Prozesses; dies führt auf die Frage, unter welchen Bedingungen die Lösungen beider mathematischen Modelle identisch sind. Untersuchungen zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen auf einer Mannigfaltigkeit werden dazu durchgeführt.

Dieses Kapitel behandelt die Linearisierung und Entkopplung des Eingangs-Ausgangsverhaltens von regulären realisierbaren semi-expliziten Deskriptormodellen mit Hilfe von differentialgeometrischen Methoden. Es wird gezeigt, dass der bei Zustandsmodellen maßgebliche relative Grad noch mit dem sogenannten „Ableitungsgrad“ zu ergänzen ist, um die den Deskriptormodellen innewohnenden Besonderheiten adäquat zu fassen. Er ist relevant bei der Entscheidung, ob zur Lösung der Linearisierungsaufgabe eine statische Rückführung geeignet oder dazu eine dynamische Rückführung erforderlich ist. Einen hohen Stellenwert in der herausgearbeiteten Entwurfsprozedur besitzt ein eigens für Deskriptormodelle eingeführter rekursiver „Operator N“; seine Rolle entspricht im Rahmen von Deskriptormodellen derjenigen der Lie-Ableitung im Zusammenhang mit Zustandsmodellen. Schließlich wird untersucht, unter welchen Bedingungen eine statische Rückführung bei semi-expliziten Deskriptormodellen zur Ausbildung algebraischer Schleifen im Gesamtmodell und damit zu Realisierungsproblemen führen kann.

Dieses Kapitel widmet sich der Frage, wie aus den gemessenen Ein- und Ausgangsgrößen alle Deskriptorvariablen (alle differentiellen und algebraischen Variablen) eines Deskriptormodells mit Hilfe eines sogenannten „Deskriptor-Beobachters“ rekonstruiert bzw. geschätzt werden können. Ausgangspunkt für den Entwurf ist eine Beobachterstruktur auf der Basis eines Luenberger-Beobachters für ein exakt linearisiertes Prozessmodell, das über den Entwurf einer geeigneten Rückführung mit den Methoden aus dem vorangegangenen Kapitel bereitgestellt wird. Ein wesentlicher Aspekt in der Beobachterentwicklung ist, dass neben der Korrektur der Fehler in den Ausgangsgleichungen auch noch die Abweichungen in den algebraischen Gleichungen, also die Zwangsbedingungen, zu berücksichtigen sind. Dies erfordert eine weitere Korrektur im Beobachteransatz zur gezielten Beeinflussung des Schätzfehlers um die Einhaltung der Zwangsbedingungen zu gewährleisten. Ein zu diesem Zweck entwickelter Korrekturterm im Beobachter sorgt dafür, dass sowohl die explizit gegebenen Zwangsbedingungen (bei Index-1-Modellen), als auch die implizit vorhandenen (bei höher indizierten Modellen) eingehalten werden. Die Stabilität der Fehlerdynamik des Deskriptor-Beobachters sowie des sogenannten „Deskriptor-Kontrollbeobachters“ wird analysiert, um daraus Bedingungen für die Festlegung frei wählbarer Entwurfsparameter abzuleiten.

In diesem Kapitel wird untersucht unter welchen Bedingungen die Verkopplung (das Zusammenschalten) von Teilsystemen auf ein nicht entartetes Gesamtsystem führt. Dabei wird die Dynamik der Teilsysteme durch reguläre realisierbare semi-explizite Deskriptormodelle beschrieben; die dynamiklose Verkopplung der Teilmodelle wird über algebraische Koppelgleichungen ausgedrückt. Zur Beurteilung der internen Realisierbarkeit des verkoppelten Gesamtmodells werden notwendige und hinreichende Bedingungen hergeleitet. Dies geschieht mit Methoden zur Analyse von nichtlinearen Deskriptormodellen, die in vorangegangenen Kapiteln hergeleitet wurden. Mithilfe der gewonnenen Ergebnisse wird auch eine Bedingung für die Realisierbarkeit eines statisch rückgekoppelten Deskriptormodells angegeben, die notwendig und hinreichend ist.