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2021 | OriginalPaper | Chapter

On Consecutive Perfect Powers with Elementary Methods

Author : Paolo Leonetti

Published in: Combinatorial and Additive Number Theory IV

Publisher: Springer International Publishing

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Abstract

Catalan’s conjecture states that the equation \(x^p-y^q=1\) admits the unique solution \(3^2-2^3=1\) in integers \(x,y,p,q \ge 2\). The conjecture has been proved by Mihăilescu in 2002 using the theory of cyclotomic fields and Galois modules. Here, relying only on elementary methods, we prove several instances of this result. In particular, we show it in the following cases: p even, q is even, x divides q, y divides \(x-1\), y is a power of a prime, and \(y\le p^{p/2}\).

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Metadata
Title
On Consecutive Perfect Powers with Elementary Methods
Author
Paolo Leonetti
Copyright Year
2021
Book
Combinatorial and Additive Number Theory IV

Print ISBN: 978-3-030-67995-8

Electronic ISBN: 978-3-030-67996-5

Copyright Year: 2021

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-030-67996-5_21

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