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Published in:
2015 | OriginalPaper | Chapter
8. Pairing-basierte Kryptosysteme
Authors : Albrecht Beutelspacher, Jörg Schwenk, Klaus-Dieter Wolfenstetter
Published in: Moderne Verfahren der Kryptographie
Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden
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Zusammenfassung
Eine elliptische Kurve ist eine Menge von Punkten (x,y) mit Werten aus einem (mathematischen) Körper K, die eine kubische Gleichung der folgenden Form erfüllen:
$$ \mathrm{y^{2} = x^{3} + ax + b}. $$
Über dem Körper K = R der reellen Zahlen bilden diese Punkte eine Kurve in der reellen Ebene (vgl. Abb. 8.1). Diese Kurve ist keine Ellipse, sondern ein viel komplexeres, und damit interessanteres Gebilde.
Der besondere Nutzen von elliptischen Kurven in der Kryptographie besteht darin, dass sich auf dieser Punktemenge eine algebraische „Gruppe“ definieren lässt.
Sei G die Punktmenge einer elliptischen Kurve EC, vereinigt mit dem „Punkt im Unendlichen“ P∞. Man definiert die Gruppenoperation, die üblicherweise als Punktaddition bezeichnet wird, wie folgt (vgl. Abb. 8.1):
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Um die Summe zweier Punkte P und Q zu berechnen, zeichne eine Gerade durch P und Q (falls P = Q, zeichne die Tangente an EC durch P).
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Finde den dritten Schnittpunkt R dieser Gerade mit der Kurve EC. (Falls die Gerade parallel zur y‐Achse ist, so ist dieser Schnittpunkt als P∞ definiert.
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Die Summe P + Q ist der Punkt von EC, der durch Spiegelung von R an der x‐Achse entsteht.