Physik

Der Mensch war schon immer neugierig darauf, die ihn umgebende Welt zu ergründen, und sucht nach Wegen, die verwirrende Vielfalt von Ereignissen, die er beobachtet, zu ordnen, beispielsweise das Blau des Himmels, die Änderung des Klangs, wenn ein Auto vorüberfährt, das Wiegen der Bäume im Wind, den Sonnenauf- und -untergang oder den Flug eines Vogels. Bei der Suche nach Erkenntnis gibt es verschiedene Herangehensweisen: Eine davon ist die Religion, eine andere die Kunst und eine dritte die Wissenschaft. In der Wissenschaft unterscheidet man zwischen Naturwissenschaften wie der Physik und Geisteswissenschaften wie der Philosophie. Die Physik hat es sich zum Ziel gesetzt, die Grundgesetze des Universums und ihre Wirkungsweise zu beschreiben. Sie behandelt Kategorien wie Materie und Energie, Raum und Zeit.Die Anzahl der Sandkörner an einem Strand kann man nicht abzählen. Mit geeigneten Annahmen und einfachen Berechnungen lässt sie sich aber schätzen. (Mit freundlicher Genehmigung von Anja Groth.)? Wie viele Sandkörner liegen an Ihrem Lieblingsstrand? (Siehe Übung 1.1.)

Die Grundmerkmale jeder Bewegung Bewegung , die Verschiebung Verschiebung , die Geschwindigkeit Geschwindigkeit und die Beschleunigung, spielen in der Physik eine ganz wichtige Rolle. Tatsächlich war das Bestreben, die Bewegung von Körpern zu beschreiben, vor mehr als 400 Jahren die Geburtsstunde der Physik. Mechanik von Massenpunkten Die Bewegung und die damit zusammenhängenden Konzepte der Kraft und der Masse bilden den Gegenstand der Mechanik Mechanik . Im Rahmen der Mechanik werden wir uns zunächst der Kinematik Kinematik zuwenden, die sich mit der Charakterisierung der Bewegung beschäftigt. Die Kinematik ist eine wesentliche Grundlage für das Verständnis des vorliegenden Buchs. Die Bewegung zieht sich durch die gesamte Physik. Die Kinematik bildet die Grundlage, um zu verstehen, in welcher Weise die Bewegung durch Kräfte und Massen beeinflusst wird. Ab Kap. 3 werden wir uns dann der Dynamik Dynamik zuwenden, die sich mit Bewegung, Kraft und Masse beschäftigt.Wenn ein Auto von seinem Ausgangspunkt zu seinem Zielort fährt, beschleunigt es beim Anfahren, bewegt sich eine Zeit lang mit konstanter Geschwindigkeit entlang einer geraden Vorfahrtsstraße, biegt rechts oder links ab, bremst an einer roten Ampel und fährt gegebenenfalls rückwärts. (© CreativeNature_nl/Getty Images/iStock.)? Wie kann der Fahrer seine Ankunftszeit abschätzen? (Siehe Beispiel 2.3.)

Fragen wie „Warum bewegen sich Körper?“ oder „Was beschleunigt sie und warum ändern sie ihre Richtung?“ bewegten Isaac Newton, Newton, Isaac der 1642 geboren wurde. Als Student in Cambridge studierte er die Werke von Galilei Galilei, Galileo und Kepler. Ihn interessierte, warum sich die Planeten auf elliptischen Bahnen bewegen und weshalb ihre Geschwindigkeit vom Abstand zur Sonne abhängt. Dies führte zu der Frage, welche Kräfte das Sonnensystem zusammenhalten. Im Laufe seines Lebens entwickelte er die Gravitationsgesetze und die drei nach ihm benannten Grundgesetze der Bewegung, die bis heute die Grundlage der klassischen Mechanik bilden.Das zweite Newton’sche Axiom setzt die Beschleunigung eines Körpers mit seiner Masse und den auf den Körper wirkenden Kräften in Beziehung. Beim Start eines Flugzeugs spüren wir die zur Beschleunigung erforderliche Kraft, die über den Sitz auf uns ausgeübt wird. (© Airbus S.A.S. 2017/P. Pigeyre/master films.)? Wie können Sie als Passagier mithilfe der Newton’schen Axiome die Beschleunigung des Flugzeugs abschätzen? (Siehe Beispiel 3.4.)

In diesem Kapitel wollen wir die in Kap. 3 eingeführten Newton’schen Axiome auch auf Reibungskräfte und Planetenbewegungen anwenden. Es war ein großes Verdienst von Newton zu erkennen, dass die Gleichungen, die Bewegungen von Gegenständen auf der Erde beschreiben, auch für die Beschreibung der Planetenbewegungen und Vorgänge im Weltall allgemein gültig sein müssen. Außerdem werden wir uns mit sogenannten Scheinkräften befassen, die auftreten, wenn man die Bewegung eines Objekts in einem Inertialsystem von einem gleichförmig beschleunigten Bezugssystem aus betrachtet.Die Haftreibung, die die Straße auf die Räder ausübt, verhindert, dass das Auto in der Kurve radial nach außen wegrutscht. (© supergenijalac/Getty Images/iStock.)? Wie funktioniert das Antiblockiersystem (ABS)? (Siehe Beispiel 4.5.)

Bisher haben wir die Bewegung von Körpern anhand ihres Orts, ihrer Geschwindigkeit, ihrer Beschleunigung und der auf sie wirkenden Kräfte untersucht. Manche Bewegungsformen lassen sich jedoch mit den Newton’schen Axiomen nur schwer beschreiben. Halten Sie sich z. B. die Bewegung eines Körpers im Gravitationsfeld noch einmal vor Augen. Daher werden wir in diesem Kapitel alternative Verfahren zur Behandlung der Bewegung kennenlernen, die auf zwei weiteren physikalischen Größen, der Energie und der Arbeit, beruhen. Anders als die Kraft, die eine vektorielle Größe ist, sind die Energie und die Arbeit skalare Größen, durch die Teilchen und Teilchensysteme charakterisiert werden können. Oft wird zur Bewegungsbeschreibung der Energieerhaltungssatz genutzt. Er ist eines der wichtigsten Grundprinizipien in der Wissenschaft überhaupt und besagt, dass die Gesamtenergie eines Systems einschließlich seiner Umgebung immer konstant bleibt.Während der Achterbahnwagen durch Loopings rast und in die Tiefe stürzt, finden zahlreiche Energieumwandlungen statt. Wenn der Wagen mit den Mitfahrern an den höchsten Punkt der Bahn gezogen wird, wird vom Elektrizitätswerk bezogene Elektroenergie in potenzielle Energie der Gravitation umgewandelt. Wenn er anschließend die steile Abfahrt herunterrast, wird diese potenzielle Energie der Gravitation in kinetische Energie und in Wärmeenergie umgewandelt. Dabei steigen sowohl die Temperatur des Wagens als auch die der Umgebung etwas an. (© by_Him/Getty Images/iStock.)? Wie lässt sich aus einer Betrachtung der Energieumwandlungen darauf schließen, wie hoch die Wagen zu Beginn gezogen werden müssen, damit sie die Fahrt durch den Looping schaffen? (Siehe Übung 5.5.)

Wenn ein Golfschläger auf den Golfball trifft, steigt die Kraft auf den Ball bis zu einem Maximalwert und wird wieder zu null, sobald der Ball den Schläger verlässt. Um zu beschreiben, wie eine solche zeitabhängige Kraft die Bewegung des Körpers beeinflusst, auf den sie wirkt, müssen wir zwei neue Begriffe einführen: den Kraftstoß und den Impuls eines Körpers. Wie die Energie bleibt auch der Impuls erhalten. Eines der wichtigsten Prinzipien in der Physik ist der Impulserhaltungssatz, nach dem sich der Gesamtimpuls eines Systems und seiner Umgebung nicht ändert. Wo immer sich der Impuls eines Systems ändert, können wir dafür das Auftreten oder das Verschwinden von Impuls an anderer Stelle verantwortlich machen. Damit können wir Stöße zwischen einem Golfschläger und Golfball, zwischen Fahrzeugen oder zwischen den subatomaren Teilchen in einem Kernreaktor untersuchen.Treffen zwei Billardkugeln aufeinander, so bleibt ein großer Teil der kinetischen Energie aller Stoßpartner erhalten. Während des kurzen Moments, in dem die Billardkugeln aufeinandertreffen, wird die kinetische Energie kurzzeitig in Form einer elastischen Deformation gespeichert. Stoßprozesse, die so verlaufen, bezeichnet man daher auch als elastisch. (© SuwanPhoto/Getty Images/iStock.)? Welches Verhältnis müssen die Massen zweier Stoßpartner aufweisen, damit bei einem elastischen Stoß möglichst viel kinetische Energie von einem Stoßpartner auf den anderen übertragen wird? (Siehe Beispiel 6.11.)

In den vorangegangenen Kapiteln haben wir bereits einige Situationen kennengelernt, in denen die Bewegungen von zwei oder mehr Körpern voneinander abhängig waren. Beispiele hierfür sind die zwei durch ein Seil verbundenen Massen, die eine Schräge hinunterrutschen, oder die beiden zusammenstoßenden Autos beim inelastischen Stoß. In diesem Kapitel wollen wir diese Beispiele noch einmal aufgreifen und eine allgemeine Vorgehensweise aufstellen, wie man Aufgabenstellungen mit mehreren Körpern löst. Damit lassen sich nicht nur Stöße zwischen zwei Körpern einfacher als in Kap. 6 gezeigt beschreiben, sondern auch Systeme mit variabler Masse bzw. Teilchenzahl. Als Beispiel hierfür werden wir den Raketenantrieb betrachten.Die Schubkraft, die eine Rakete abheben lässt, ergibt sich aus der Brennrate und der Geschwindigkeit, mit der die Verbrennungsgase ausgestoßen werden. Dabei verliert die Rakete durch die Verbrennung des Treibstoffs ständig an Masse. (© NASA.)? Welche Beschleunigungen wirken bei einem Raketenstart, und welche Endgeschwindigkeit kann eine Rakete erreichen? (Siehe Übung 7.1.)

Drehbewegungen sind allgegenwärtig: Die Erde rotiert um ihre Achse, genauso wie Propeller, Antriebswellen in Autos und Eisläufer bei einer Pirouette sich um ihre Achsen drehen. In diesem Kapitel werden wir Gesetze für die Drehbewegung entwickeln, die den Gesetzen der vorangegangenen Kapitel ähnlich sind.Das im Jahr 2000 in Betrieb gegangene „London Eye“ ist mit einer Höhe von 135 m das größte Riesenrad Europas. Es kann bis zu 800 Passagiere befördern. (© Byjeng/Getty Images/iStock.)? Welches Drehmoment braucht man zum Stoppen des Rads, wenn die Passagiere beim Stoppen des Rads noch 10 m zurücklegen sollen? (Siehe Übung 8.7.)

Seile und Taue, die wir bereits in den vergangenen Kapiteln benutzt haben, sind nur zwei Beispiele für deformierbare Körper. Auch andere Festkörper wie z. B. Holzbalken oder sogar Stahlträger können sich aufgrund äußerer Krafteinwirkungen verformen. Je nach Richtung der Krafteinwirkung, können sie gedehnt, gestaucht, gedreht oder gebogen werden. Wie man die Auswirkungen dieser Verformungen physikalisch beschreibt, werden wir in diesem Kapitel untersuchen.Drahtseile können hohe Zugkräfte übertragen und werden daher in vielen Bereichen verwendet. Ein bekanntes Beispiel ist der Einsatz von Tragseilen in den Aufzugsanlagen von Hochhäusern. Die Seildehnung hängt hierbei von dem wirksamen Seilquerschnitt und den Materialeigenschaften ab. (© Wolfgang-Beck/Getty Images/iStock.)? Wie kann man berechnen, ob sich ein Stahlseil für den sicheren Betrieb eines Fahrstuhls eignet? (Siehe Übung 9.1.)

Fließende und strömende Substanzen wie Luft, Blut oder Wasser bezeichnet man als Fluide. Bauingenieure nutzen ihr Wissen von den Fluiden, um Staudämme zu konstruieren, die am Fuß dicker sind als an der Krone. Fahrzeug- und Flugzeugingenieure können mithilfe von Windkanälen den Strömungsverlauf der Luft rund um das Auto oder Flugzeug beobachten und anhand der Ergebnisse deren Aerodynamik verbessern. Blutdruckmesser werden von Ärzten und Fachpersonal verwendet, um unseren Blutdruck zu messen und daraus Hinweise auf mögliche Erkrankungen abzuleiten.Damit sich Fluide durch ein System von Röhren bewegen können, ist eine Druckdifferenz erforderlich. Dieses Prinzip gilt auch für die Strömung des Bluts durch unser Gefäßsystem. Kommt es zu einer Verengung der Blutgefäße, kann der Blutdruck stark ansteigen. Durch die Messung des Blutdrucks erhält man daher wichtige Informationen über das Herz-Kreislauf-System. (© bluecinema/Getty Images/iStock.)? Wie kann man den Gesamtströmungswiderstand unseres Blutkreislaufsystems berechnen? (Siehe Beispiel 10.10.)

In diesem Kapitel wollen wir uns mit der Kinematik und Dynamik von Bewegungen beschäftigen, bei denen die Beschleunigung proportional zur Auslenkung aus einer Gleichgewichtslage ist. Solche Bewegungen nennt man Schwingungen oder auch Oszillationen. Es gibt viele bekannte Beispiele dafür: Surfer bewegen sich beim Warten auf die passende Welle auf und nieder, die Pendel von Uhren gehen hin und her, und die Saiten und Zungen der Musikinstrumente schwingen. Andere, weniger bekannte Beispiele sind die Schwingungen der Luftmoleküle in einer Schallwelle oder die Schwingungen des elektrischen Stroms in Radios, Fernsehgeräten oder Metalldetektoren. Allen diesen Schwingungsprozessen liegt das gleiche Prinzip zugrunde, das wir im Folgenden vorstellen werden.

In Kap. 11 haben wir uns mit Schwingungsbewegungen und sich periodisch bewegenden Körpern beschäftigt. In diesem Kapitel werden wir darauf aufbauen und die Mechanik von Wellen untersuchen, da Wellen ebenfalls periodische Bewegungen sind. Sie breiten sich in verschiedenen Medien aus und können sich sogar im leeren Raum ohne ein Trägermedium bewegen. Beispiele dafür sind die Meereswellen, Musik, Erdbeben und das Sonnenlicht. Wellen transportieren Energie und Impuls, jedoch keine Materie.Eine Boje der US-amerikanischen Nationalen Meeres- und Atmosphärenbehörde (NOAA) wird zu Wartungsarbeiten eingeholt. Die in diesen Bojen eingebauten Tsunami-Detektoren sollen Katastrophen wie die nach dem Seebeben im Indischen Ozean im Dezember 2004 in Zukunft verhindern, indem sie rechtzeitig vor dem Auflaufen dieser Riesenwellen an der Küste warnen. An den Küsten der Anrainerstaaten waren 2004 Hunderttausende Menschen ums Leben gekommen, weil sie von dem herannahenden Tsunami nichts ahnten und sich deshalb nicht rechtzeitig in Sicherheit bringen konnten. (© NOAA Teacher at Sea.)? Warum bewegt sich ein Tsunami wesentlich schneller als eine gewöhnliche Welle an der Oberfläche des Meeres? (Siehe Beispiel 12.2.)

Schon recht kleine Kinder haben ein gewisses Verständnis von „heiß“ und „kalt“ – aber was ist Temperatur eigentlich? Mithilfe welcher Größe oder Eigenschaft kann sie gemessen werden? In diesem Kapitel beschäftigen wir uns zum ersten Mal mit der Temperatur.Schon im antiken Griechenland war bekannt, dass sich Luft beim Erwärmen ausdehnt, was bereits zu simplen Temperaturmessgeräten, den sogenannten Thermoskopen, führte. In diesem Kapitel werden wir sehen, dass die Weiterentwicklung dieser Thermoskope, die Gasthermometer, auch heute noch ein sehr gutes Mittel darstellen, Temperaturen über einen großen Wertebereich zu messen. Außerdem werden wir die Umrechnungsformeln für die verschiedenen Einheiten der Temperatur – Grad Fahrenheit, Grad Celsius und Kelvin – und ihre historischen Hintergründe kennenlernen.In dieser Pipeline in Alaska wird Erdöl transportiert; sie besteht aus Stahl und hat einen Durchmesser von 1,2 m. An mehreren Stellen ist sie zickzackförmig angelegt, damit sie bei der Wärmeausdehnung nicht beschädigt wird. (Außerdem werden dadurch Schäden infolge von Erdbeben vermieden.) Diese Pipeline kann Temperaturen zwischen $$-\text{50}$$ - 50   $${}^{\circ}$$ ∘ C und $$+\text{60}$$ + 60   $${}^{\circ}$$ ∘ C standhalten. (Die tiefere dieser Temperaturen hatte die Pipeline, bevor Öl hindurchgeleitet wurde.) (© Karen Kasmauski/Getty Images.)? Wie stark ändert sich die Länge eines 220 m langen Abschnitts einer Pipeline, wenn er von $$-\text{50}$$ - 50   $${}^{\circ}$$ ∘ C auf $$+\text{60}$$ + 60   $${}^{\circ}$$ ∘ C erwärmt wird? (Siehe Beispiel 13.1.)

In Kap. 10 haben wir die Luft als Fluid modelliert. Dabei sind wir davon ausgegangen, dass man ihr Verhalten mit Ansätzen beschreiben kann, die in ähnlicher Form auch für Flüssigkeiten gelten. Doch diese Näherung ist nicht immer gültig. In diesem Kapitel werden wir Luft und andere Gase als eine große Ansammlung von Atomen und Molekülen betrachten und feststellen, dass die makroskopische Beschreibung, die wir in Kap. 10 und auch in Kap. 13 gefunden haben, sich durch die Vorgänge auf molekularer Ebene herleiten lässt.Gase bestehen aus vielen kleinen Molekülen, die sich mit Geschwindigkeiten von mehreren Hundert Metern pro Sekunde bewegen und auf ihrem Weg mit anderen Teilchen zusammenstoßen.? Wie lange dauert es im Mittel, bis so ein Teilchen mit einem anderen zusammenstößt? (Siehe Übung 14.3)

Die Beziehung zwischen einer Erwärmung eines Systems, einer an ihm verrichteten Arbeit und einer Änderung seiner inneren Energie wird durch den Ersten Hauptsatz der Thermodynamik beschrieben. In Teil I dieses Buches haben wir die Bewegung besprochen, nun wenden wir uns der Rolle zu, die die Wärme beim Erzeugen einer Bewegung spielt, sei es bei den zyklischen Bewegungen der Kolben in Motoren oder auch bei den Wassertropfen, die an einem heißen Tag an einem Glas mit kalter Limonade herunterlaufen.Fahrradreifen für Rennräder müssen auf einen deutlich höheren Druck aufgepumpt werden als PKW-Reifen. (© Gorfer/Getty Images/iStock.)? Warum ist beim Aufpumpen eines Fahrradreifens Arbeit aufzuwenden? (Siehe Beispiel 15.10.)

In den letzten Jahren ist uns stärker bewusst geworden, dass wir Energie sparen müssen. Doch können wir das überhaupt, wenn der Erste Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass die Energie in einem abgeschlossenen System erhalten bleibt? Die Antwort lautet „ja“, denn die Gesamtenergie bleibt zwar stets diesselbe, es gibt jedoch gut nutzbare und weniger nutzbare Energieformen, mit denen wir uns in diesem Kapitel beschäftigen werden.In dieser Solaranlage wird Sonnenenergie zum Betrieb eines Stirlingmotors eingesetzt, der dann mithilfe eines Generators elektrische Energie erzeugt. Als Wärmekraftmaschine unterliegt der Stirlingmotor bezüglich seines Wirkungsgrades allerdings den Begrenzungen des Zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik. (DLR/Ernsting, CC-BY 3.0)? Welchen Wirkungsgrad können Wärmekraftmaschinen höchstens erreichen? (Siehe Beispiel 16.2.)

Wärmeleitung spielt in vielen Bereichen des täglichen Lebens eine entscheidende Rolle, so z. B. beim Vermeiden von Wärmeverlusten in Rohrleitungen oder beheizten Häusern. Andere Formen des Wärmetransports, wie die Konvektion und die Wärmestrahlung, sind wichtig bei der Planung von Heizungsanlagen. Auch auf kosmischen Skalen bei der Evolution von Sternen spielen diese Vorgänge eine große Rolle.Die Sonne ist unsere Licht- und Wärmequelle. Einfache Berechnungen zeigen, dass es bereits 8 min und 20 s nach dem Verlöschen der Sonne auf der Erde dunkel würde. Wie schnell es abkühlen würde, ist jedoch wesentlich komplizierter zu berechnen, da die verschiedenen Arten des Wärmetransports unterschiedlich schnell ablaufen. (© NASA.)? Welche Transportmechanismen bewirken, dass uns die Wärme erreicht? Außerdem ist es möglich, aus der Wellenlänge des bei uns eintreffenden Lichts die Oberflächentemperatur der Sonne zu berechnen. (Siehe Beispiel 17.3)

Noch vor 150 Jahren gab es kaum mehr als ein paar elektrische Lampen, doch inzwischen sind wir in unserem Alltag extrem abhängig von der Elektrizität geworden. Obgleich aber die Elektrizität erst seit jüngster Zeit breit genutzt wird, reicht die Erforschung der Elektrizität weit in die Geschichte zurück und ist viel älter als die ersten elektrischen Glühlampen. Beobachtungen der elektrischen Anziehung können bis zu den alten Griechen zurückverfolgt werden. Sie beobachteten, dass Bernstein nach dem Reiben beispielsweise mit Katzenfell kleine Objekte wie Stroh oder Federn anzog. Das Wort „elektrisch“ kommt von elektron, dem griechischen Wort für „Bernstein“.Kupfer zeichnet sich durch eine sehr gute elektrische Leitfähig aus und wird deshalb sehr häufig als Material für metallische Leiter verwendet. Aufgrund der guten Verformbarkeit wird Kupfer auch als Werkstoff für die Münzprägung eingesetzt. Die abgebildete 1-Cent-Münze besteht allerdings nicht mehr aus massivem Kupfer, sondern aus einem Stahlkern mit einer Kupferauflage. (© rusm/Getty Images/iStock.)? Wie groß ist die Gesamtladung von allen Elektronen in einer historischen Münze, die aus reinem Kupfer besteht? (Siehe Beispiel 18.1.)

Im mikroskopischen Maßstab ist die elektrische Ladung quantisiert; sie tritt immer als ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung $$e$$ e auf. Jedoch gibt es im makroskopischen Bereich genügend Fälle, in denen viele Ladungen so dicht zusammen sind, dass man sie als über ein Raumgebiet kontinuierlich verteilt ansehen kann. Wir werden das Konzept der Ladungsdichte zusammen mit Symmetrieeigenschaften zur Beschreibung von Ladungen anwenden, ganz ähnlich wie wir die Massendichte zum Beschreiben von Masseverteilungen verwenden.Ein Blitz ist ein elektrisches Phänomen. Während eines Blitzschlags werden Ladungen zwischen den Wolken und der Erde ausgetauscht. Das dabei abgestrahlte sichtbare Licht stammt von Luftmolekülen, die durch die entstehende Hitze in energetisch höhere Zustände gehoben werden und dann wieder zurückfallen. (© Frank Waßerführer/Pitopia.)? Wie würden Sie die Ladung auf der Oberfläche der Erde berechnen? (Siehe Beispiel 19.15.)

In Kap. 5 haben wir die potenzielle Energie der Gravitation eingeführt. Dabei hat sich gezeigt, dass diese sowohl in konzeptioneller Hinsicht als auch für praktische Berechnungen außerordentlich nützlich ist. Dies trifft ebenso auf die elektrische Energie zu, die wir in diesem Kapitel einführen werden. In diesem Zusammenhang wird auch der Begriff des elektrischen Felds weiterentwickelt. Dabei werden wir sehen, wie das elektrische Feld, das wir in Kap. 18 und 19 kennen gelernt haben, mithilfe des elektrischen Potenzials beschrieben werden kann. Da das elektrische Potenzial ein skalares Feld ist, ist es in vielen Fällen leichter zu handhaben als das elektrische Feld selbst, das ein Vektorfeld ist.Das Mädchen, das mit einer Hand die Elektrode eines Van-de-Graaff-Generators Van-de-Graaff-Generator berührt, wird auf ein hohes Potenzial geladen. Es steht auf einem Podest, sodass es elektrisch vom Boden isoliert ist und sich die Ladungen bei ihm sammeln. Da die Ladungen auf seinem Kopf und auf seinen Haaren alle dasselbe Vorzeichen haben und sich damit gegenseitig abstoßen, stehen seine Haare ab. (© Science History Images/Alamy Stock Foto.)? Wussten Sie schon, dass das maximale Potenzial, auf das die Elektrode des Van-de-Graaff-Generators geladen werden kann, von ihrem Radius abhängt? (Siehe Beispiel 20.12.)

Kennen Sie jemanden, der weder eine Digitalkamera noch ein Mobiltelefon (oft mit integrierter Digitalkamera) Digitalkamera oder noch irgendein anderes transportables elektronisches Gerät besitzt? Alle diese kleinen Helfer enthalten einen oder mehrere Kondensatoren, und ein Leben ohne sie ist heute kaum noch vorstellbar. Dank Mobiltelefon Mobiltelefon gelingt es uns, trotz der heutzutage unumgänglichen Mobilität problemlos mit anderen in Kontakt zu bleiben, sogar unterwegs E-Mails zu senden.In den bisherigen Kapiteln zur Elektrizität haben wir die Beziehung zwischen Ladungen und elektrischen Feldern und die Abhängigkeit der elektrischen Energie von der Lage der Ladungen erörtert. Im Folgenden wollen wir zeigen, wie elektrische Energie gespeichert und wieder abgegeben werden kann. Im Mittelpunkt wird dabei der Begriff der Kapazität stehen.Die Energie für das Fotoblitzlicht Fotoblitzlicht Kapazität dieser Kamera wurde von einer Batterie auf einen Kondensator übertragen. (© Koldunov/Getty Images/iStock.)? Wie lässt sich ermitteln, wie viel Energie in einem Kondensator gespeichert werden kann? (Siehe Beispiel 21.3.)

Wenn wir Licht einschalten, verbinden wir die Glühlampe mit den Polen einer Spannungsquelle, zwischen denen eine Potenzialdifferenz – eine elektrische Spannung – besteht. Diese Potenzialdifferenz bewirkt, dass elektrische Ladungen durch den Glühdraht fließen, ähnlich wie Wasser, das infolge des Druckunterschieds durch einen Gartenschlauch strömt, sobald wir den Wasserhahn aufdrehen. Einen Fluss elektrischer Ladungen Strom elektrischer elektrischer Strom elektrischer Strom als Ladungsfluss bezeichnet man als elektrischen Strom. Wir denken dabei normalerweise an Ladungsträger, die sich durch einen leitfähigen Draht bewegen. Weniger alltägliche Beispiele sind der Elektronenstrahl einer Bildröhre und der Ionenstrahl in einem Teilchenbeschleuniger.Manchmal ist es nützlich, sich mit der Funktionsweise von Gleichstromkreisen auszukennen – zum Beispiel, wenn man bei leerer Batterie sein Auto fremdstarten möchte, ohne die Batterie und sich selbst zu gefährden. (© Daisy-Daisy/Getty Images/iStock.)? Welcher Anschluss des Überbrückungskabels gehört an welchen Pol der Batterie? (Siehe Beispiel 22.10)

Schon vor 2000 Jahren war im antiken Griechenland bekannt, dass bestimmte Steine (heute Magnetit Magnetit genannt) Eisenstückchen anziehen. Schriftliche Überlieferungen belegen die Verwendung von Magneten zur Navigation bereits im 12. Jahrhundert.1600 entdeckte William Gilbert Gilbert, William , dass die Erde selbst ein natürlicher Magnet ist, dessen Pole in der Nähe der geografischen Pole liegen. Da der Nordpol einer Kompassnadel in Richtung des Südpols eines anderen Magneten zeigt, liegt der magnetische Nordpol der Erde in der Nähe ihres geografischen Südpols, wie Sie in Abb. 23.1 erkennen.Polarlichter Polarlicht entstehen, wenn der „Sonnenwind“ Sonnenwind – ein Strom geladener Teilchen, die bei Kernfusionsreaktionen in der Sonne gebildet werden – vom Erdmagnetfeld eingefangen wird und auf die oberen Schichten der Atmosphäre trifft. (© AndreAnita/Getty Images/iStock.)? Wie wirkt das Erdmagnetfeld auf subatomare Teilchen? (Siehe Beispiel 23.1.)

Wie Sie aus Kap. 23 wissen, kennt man die besonderen Eigenschaften von Permanentmagneten schon seit rund 1000 Jahren. Den Zusammenhang zwischen Elektrizität und Magnetismus entdeckte aber erst 1819 Hans Christian Ørsted, Øersted, H. C. der beobachtete, dass eine Kompassnadel von einem elektrischen Strom abgelenkt wird. Bereits einen Monat später berichteten Jean-Baptiste Biot Biot, J.-B. und Félix Savart Savart, F. über ihre Messungen des Drehmoments, das ein Magnet in der Nähe eines langen, stromführenden Drahts erfährt. Ihre Ergebnisse analysierten sie anhand des von jedem einzelnen Stromelement erzeugten Magnetfelds. Ampère, André-Maria André-Marie Ampère wies in weiteren Experimenten nach, dass umgekehrt auch auf Stromelemente in Anwesenheit eines Magnetfelds eine Kraft wirkt und dass zwei Stromelemente aufeinander eine Kraft ausüben.Werden stromdurchflossene Leiter in Form von Spulen oder Wicklungen angeordnet, lassen sich starke Magnetfelder erzeugen. In dem abgebildeten Herstellungsprozess werden Wicklungen aus Kupferdraht in den feststehenden Teil eines Elektromotors eingebaut. (© Smoczyslaw/Getty Images/iStock.)? Wissen Sie, wie man die Stärke des Magnetfelds einer stromdurchflossenen Spule berechnet? (Siehe Beispiel 24.2.)

Spannungen und Ströme, die von einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld hervorgerufen werden, bezeichnen wir als induzierte Spannungen Spannung induzierte Induktionsspannung und induzierte Ströme Strom induzierter Induktionsstrom , der Vorgang selbst ist die magnetische Induktion magnetische Induktion Induktionsspannung Induktionsstrom . Michael Faraday Faraday, Michael und Joseph Henry Henry, Joseph entdeckten diesen Effekt unabhängig voneinander in den 1830er Jahren und stellten weiterhin fest, dass auch in statischen Magnetfeldern ein Strom induziert wird, wenn sich der magnetische Fluss durch eine Fläche ändert, die von einer bewegten Leiterschleife umschlossen ist.Die induzierte Spannung im Demonstrationsversuch: Bewegt man den Magneten in die Spule hinein oder aus ihr heraus, so wird in der Spule eine Spannung induziert – Sie erkennen dies am Ausschlag des Galvanometers. Wird der Magnet nicht bewegt, so schlägt das Messgerät nicht aus. (© 1990 Richard Megna/Fundamental Photographs.)? Wie berechnet man die in einer Spule induzierte Spannung? (Siehe Beispiel 25.2.)

Über 99 % der Elektroenergie Elektroenergie Erzeugung werden heute weltweit von Generatoren als Wechselstrom erzeugt. Die Energie lässt sich in Hochspannungsleitungen nahezu verlustfrei über große Entfernungen transportieren, denn bei hohen Spannungen und damit verbundenen niedrigen Stromstärken sind die Leistungsverluste Leistungsverlust Hochspannungsleitung in Form von Joule’scher Wärme minimal. Für die Verteilung vor Ort und den Gebrauch im Haushalt wird die Energie wieder auf Niederspannung (und entsprechend höhere Stromstärke) umgesetzt. Zur Umwandlung der Stromstärken und Spannungen dienen Transformatoren. Sie arbeiten auf der Grundlage der magnetischen Induktion genauso wie Wechselstromgeneratoren.Bei diesem Transistorradio werden die Sender durch das Drehen am Abstimmknopf eingestellt. Hierdurch ändert sich die Resonanzfrequenz eines elektrischen Schwingkreises im Tuner, und nur das Signal des ausgewählten Senders wird verstärkt. (© DonKurto/Getty Images/iStock.)? Welche Eigenschaft des Schwingkreises wird durch das Drehen des Wahlknopfs beeinflusst? (Siehe Übung 26.3.)

Die Maxwell’schen Gleichungen – ursprünglich formuliert von dem schottischen Physiker James Clerk Maxwell Maxwell, James Clerk – beschreiben den Zusammenhang zwischen den Vektoren des elektrischen und des magnetischen Felds einerseits und den Quellen dieser Felder, elektrischen Ladungen und Strömen, andererseits. Dabei fassen die Gleichungen experimentelle Beobachtungen zu Elektrizität und Magnetismus zusammen, die in den Gesetzen von Coulomb, Gauß, Biot und Savart, Ampère und Faraday formuliert sind. Alle genannten Gesetze gelten allgemein, mit Ausnahme des Ampère’schen Gesetzes, dessen Gültigkeit auf stationäre und kontinuierliche Ströme beschränkt ist.Das Very Large Array Very Large Array (VLA) (VLA) ist ein Interferometer Interferometer für astronomische Beobachtungen und steht in der Wüste von New Mexico westlich von Socorro. Es umfasst 27 Y-förmig angeordnete Teleskope Teleskop und wird vom amerikanischen National Radio Astronomy Observatory betrieben. Durch elektronische Korrelation der Messdaten erreicht die Anlage die Winkelauflösung eines Teleskops von 36 km Durchmesser. (© NRAO/AUI.)? Haben Sie sich schon einmal gefragt, ob die von einer Funkantenne ausgesendete Welle in allen Raumrichtungen gleich ist? (Siehe Beispiel 27.5.)

Das menschliche Auge Auge nimmt elektromagnetische Strahlung mit Wellenlängen zwischen etwa 400 nm und 700 nm als Licht Licht wahr. (Manche Menschen können Licht bis herunter zu 380 nm oder bis hinauf zu 780 nm sehen.) Die kleinsten Wellenlängen im sichtbaren Licht Wellenlängen Spektrum entsprechen violettem Licht und die größten rotem Licht. Unsere Farbwahrnehmung beruht auf der physiologischen Reaktion von Augen, Sehnerven und Gehirn. Wahrgenommene Farbe Farben Licht Licht Farben und Lichtfrequenz stimmen zwar prinzipiell überein, aber es gibt interessante Abweichungen. Beispielsweise wird eine Mischung aus Rot und Grün als Gelb wahrgenommen, obwohl das einfallende Licht keinen Anteil mit Wellenlängen gelben Lichts aufweist.In Glasfasern wird das Licht durch Totalreflexion praktisch verlustfrei übertragen. (© James L. Amos/Getty Images.)? Wie groß muss der Einfallswinkel des Lichts an der Innenwand der Faser sein, damit es nicht austritt? (Siehe Beispiel 28.2.)

Lichtwellenlängen sind sehr viel kleiner als die meisten Hindernisse oder Öffnungen im Lichtweg. Daher können wir die Beugung – die Ablenkung der Lichtwellen an den Kanten der Gegenstände – in den meisten Fällen vernachlässigen. In diesem Kapitel werden wir uns mit verschiedenen Anwendungsbeispielen beschäftigen, für die diese Näherung gilt. Wir wenden dann die vereinfachte Beschreibung an, bei der sich die Lichtstrahlen Lichtstrahlen, die senkrecht auf den Wellenfronten stehen, geradlinig ausbreiten. Man spricht dabei auch von geometrische Optik Optik geometrische geometrischer Optik.Dieses Foto eines weiblichen Moskitos wurde mithilfe eines Mikroskops aufgenommen. (© Claude Nuridsany & Marie Perennou/Science Photo Library.)? Aus welchen Größen ergibt sich die Vergrößerung eines Mikroskops? (Siehe Beispiel 29.10.)

Interferenz und Interferenz Beugung sind die Beugung wichtigen Phänomene, durch die sich Wellen von Teilchen unterscheiden. (Die Grundlagen der Interferenz und der Beugung von Wellen wurden in Kap. 12 schon besprochen.) Die Interferenz ist die Bildung eines sichtbaren Intensitätsmusters infolge der Überlagerung von zwei oder mehren kohärenten Wellen, die in einem Raumpunkt zusammentreffen. Unter Beugung Beugung versteht man die Abweichung der Wellenausbreitung von der geometrischen Strahlrichtung an einer Öffnung oder einem Hindernis im Lichtweg.Hier Interferenz wird weißes Licht an einer Seifenblase Seifenblase reflektiert. Beugung Die Reflexion erfolgt jeweils an der Vorder- und an der Rückseite des Flüssigkeitsfilms, und die reflektierten Wellen interferieren. Da die Dicke des Flüssigkeitsfilms in der gleichen Größenordnung wie die Lichtwellenlänge liegt, interferieren die beiden reflektierten Wellen je nach ihrer Phasendifferenz und ihrer Wellenlänge konstruktiv oder destruktiv. (© Aaron Haupt/Science Source)? Haben Sie sich schon einmal gefragt, ob die Phänomene, die die farbigen Muster an Seifenblasen hervorbringen, auch technisch genutzt werden können? (Siehe Beispiel 30.2.)

In der speziellen Relativitätstheorie, die im Jahre 1905 von Albert Einstein Einstein, Albert und anderen entwickelt wurde, geht es um Messungen in Inertialsystemen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit relativ zueinander bewegen, während die allgemeine Relativitätstheorie beschleunigte Bezugssysteme und damit auch die Gravitation beschreibt.Die Andromeda-Galaxie ist gleichsam ein Nachbar unserer Milchstraßengalaxie und das fernste mit bloßem Auge erkennbare Objekt am Nachthimmel. Anhand des Lichtspektrums und insbesondere der Frequenzen bestimmter Spektrallinien können wir herausfinden, wie schnell sich diese Objekte nähern bzw. wie schnell sie sich von uns entfernen. (© NASA.)? Wundert es Sie, dass man aus der Frequenz des Lichts Rückschlüsse auf die Geschwindigkeit ziehen kann, mit der sich eine ferne Galaxie von uns weg bewegt? (Siehe Übung 31.3)

Zu Welle-Teilchen-Dualismus Beginn des 20. Jahrhunderts nahm man an, dass Licht und andere elektromagnetische Strahlung (z. B. Radiowellen) Wellennatur hat, ähnlich wie der Schall oder andere mechanische Wellen. Dagegen hielt man Elektronen Welle-Teilchen-Dualismus Welle-Teilchen-Dualismus Proton Welle-Teilchen-Dualismus Strahlung Welle-Teilchen-Dualismus elektromagnetische Strahlung Welle-Teilchen-Dualismus Welle-Teilchen-Dualismus Strahlung Atom Welle-Teilchen-Dualismus Elektronen, Protonen, Atome und andere Bausteine der Materie eindeutig für Teilchen. Doch in den ersten 30 Jahren des 20. Jahrhunderts stellte sich durch die überraschenden Entwicklungen in der theoretischen und der experimentellen Physik heraus, dass Licht Energie „portionsweise“, in Quanten, abgibt oder aufnimmt und sich ähnlich verhält wie Teilchen. Licht Welle-Teilchen-Dualismus Photon Welle-Teilchen-Dualismus Umgekehrt beobachtete man bei Welle-Teilchen-Dualismus Elektronen Welle-Teilchen-Dualismus Elektronenstrahlen, die man sich als Teilchenstrahlen vorstellte, Beugung und Interferenz wie bei Wellen.Interferenzmuster, Interferenz Elektronen Elektronen Interferenz die durch Elektronen hinter einem Doppelspalt erzeugt werden, zeigen umso deutlichere Interferenzstreifen, je höher die Anzahl der durch die Spalte tretenden Elektronen ist – hier sind es 10, 100, 3000 bzw. 70 000 Elektronen. Die Maxima und Minima im Interferenzmuster demonstrieren die Wellennatur des Elektrons. Dagegen demonstriert jeder Punkt am Schirm die Teilchennatur des Elektrons, das mit dem Detektor Energie austauscht. (Mit freundlicher Genehmigung von Akira Tononmura, Advanced Research Laboratory, Hitachi, Ltd.)? Wie ist die Wellenlänge eines Teilchens zu berechnen? (Siehe Übung 32.2.)

In Kap. 32 haben wir festgestellt, dass Elektronen und Elektronen Wellennatur andere Teilchen Welleneigenschaften haben und daher durch eine Wellenfunktion $${\varPsi}(x,t)$$ Ψ ( x , t ) beschrieben werden können. Wir haben die Schrödinger-Gleichung als die Gleichung kennen gelernt, die diese Wellenfunktionen erfüllen. Nun wollen wir uns mit einigen Anwendungsbeispielen dieser Gleichung und den sich daraus ergebenden Lösungen beschäftigen. Dabei werden wir feststellen, dass die in Kap. 12 behandelten stehenden Wellen eine große Rolle spielen.Mit dem Rastertunnelelektronenmikroskop können einzelne Atome auf einer Oberfläche bewegt und abgebildet werden. Besonders faszinierend sind Bilder von Quantenkäfigen, also kreisförmigen oder elliptischen Anordnungen an der Oberfläche. In ihnen können die Wellen sichtbar gemacht werden, die den Elektronen nahe der Substratoberfläche entsprechen. Dieses Bild, entstanden in den Forschungslabors der IBM, zeigt 36 Kobaltatome, die auf einer Kupferoberfläche elliptisch angeordnet sind. Ein weiteres Kobaltatom wurde an einem Brennpunkt der Ellipse platziert und verursacht Wechselwirkungen mit den Elektronenwellen an der Oberfläche. Die Wellen scheinen auch mit einem „virtuellen“ Kobaltatom am anderen Brennpunkt wechselzuwirken, das sich dort jedoch gar nicht befindet. (© IBM Corporation.)? Könnte das nicht vorhandene Kobaltatom durch Reflexionen von Wellen an der Käfigwand der Kobaltatome vorgetäuscht werden? (Siehe Abschn. 33.4.)

Bisher wurden 118 chemische Elemente Elemente (chemische) chemische Elemente chemische Elemente entdeckt, von denen 92 in der Natur vorkommen. Jedes Element ist dadurch charakterisiert, dass seine Atome $$Z$$ Z Protonen und ebenso viele Elektronen sowie $$N$$ N Neutronen enthalten. Die Anzahl der Protonen nennt man Ordnungszahl chemische Elemente Ordnungszahlen Kernladungszahl Ordnungszahl oder auch Kernladungszahl $$Z$$ Z . Die chemischen und physikalischen Eigenschaften eines Elements werden durch die Anzahl und die Anordnung der Elektronen bestimmt. Da Elektronen und Protonen gleich große, aber entgegengesetzte Ladungen haben, sind die Atome elektrisch neutral. Atome, die eines oder mehrere Elektronen abgegeben oder aufgenommen haben, sind elektrisch Ion geladen und werden Ionen genannt.Der Sternhaufen RCW 38 ist mit 6000 Lichtjahren Entfernung von der Erde ein recht nahes Sternentstehungsgebiet. Diese Aufnahme zeigt einen rund fünf Lichtjahre großen Bereich mit Tausenden heißer, sehr junger Sterne, die vor weniger Sterne Röntgenstrahlung Röntgenstrahlung Sterne als einer Million Jahren gebildet wurden. Röntgenstrahlung aus den heißen äußeren Schichten von 190 dieser Sterne wurde vom Röntgenteleskop Chandra, Chandra (Röntgenteleskop) Röntgenteleskop Chandra das die Erde umkreist, aufgenommen. Die Quelle dieser Röntgenstrahlung ist noch nicht bekannt. Sie kann durch stark abgebremste Elektronen entstehen, aber auch durch Anregung von Elektronenübergängen in den Atomen – Prozesse, die man auf der Erde durch Beschuss einer Metallelektrode mit Elektronen erzeugt. Das Röntgenspektrum kann Aufschluss über das Material geben, aus dem die Elektrode – oder die Strahlungsquelle – besteht. (© NASA/CXC/CfA/S. Wolk u. a.)? Wie kann die Ordnungszahl eines chemischen Elements aus seinem Spektrum ermittelt werden? (Siehe Beispiel 34.8.)

In den meisten Fällen kommen Atome nicht isoliert vor, sondern treten zu Molekülen oder zu Festkörperkristallen zusammen. Moleküle dagegen können einzeln existieren, beispielsweise in gasförmigem O $${}_{\text{2}}$$ 2 oder N $${}_{\text{2}}$$ 2 , aber sie können sich auch zu Flüssigkeiten oder Festkörpern vereinigen. Ein Atom bzw. ein Molekül ist der kleinste Baustein einer Substanz, der ihre chemischen Eigenschaften beibehält.Mikroskopaufnahme von Natriumfluoridkristallen. Häufig wird dem Trinkwasser Natriumfluorid zugesetzt, weil das Spurenelement Fluor der Zahngesundheit zuträglich ist. (© National Institutes of Health/Science Photo Library.)? Wie viel Energie wird bei der Bildung von Natriumfluorid aus den Elementen umgesetzt? (Siehe Beispiel 35.1.)

Die moderne Festkörperphysik beschäftigt sich mit dem Aufbau von Materialien und deren gezielter Veränderung. Kristalle lassen sich dabei als regelmäßige Gitterstrukturen beschreiben. Welche Typen von Gittern es gibt, werden wir im vorliegenden Kapitel betrachten. Um schließlich bei einem vorliegenden Stoff das Gitter experimentell zu analysieren, verwendet man Beugungsexperimente ähnlich denen, die wir in der Optik kennen gelernt haben.Kohlenstoffnanoröhrchen haben sehr interessante elektrische Eigenschaften. Eine einzelne Graphitschicht ist ein Semimetall, das von seinen elektrischen Eigenschaften her zwischen einem Halbleiter und einem Metall liegt. Wird eine Graphitschicht zu einem Nanoröhrchen aufgerollt, müssen sich nicht nur die Kohlenstoffatome auf dem Umfang des Röhrchens richtig aneinanderreihen, auch die Wellenfunktionen der Elektronen müssen genau zusammenpassen. (© daniel700/Fotolia)? Wie kann man den Abstand zwischen den einzelnen Atomen in einem Kristallgitter bestimmen? (Siehe Beispiel 36.1.)

Bei klassischer Beschreibung des spezifischen Widerstands und der elektrischen Leitfähigkeit verschiedener Materialien ergibt sich eine Diskrepanz zwischen gemessenen und theoretisch berechneten Werten. Erst die quantenmechanische Beschreibung erlaubt es, korrekte Vorhersagen zu treffen und die Materialien in Leiter, Nichtleiter und Halbleiter einzuteilen.Metallisches Arsen ist ein Halbmetall, das für seine giftige Wirkung in löslichen Verbindungen oder im Oxid an der Oberfläche bekannt ist. Weniger bekannt ist die Tatsache, dass eine geringe Konzentration von Arsenatomen in Siliciumkristallen den spezifischen Widerstand verringert (im Vergleich zu reinem Silicium). Dem Halbleiter Galliumarsenid verleiht Arsen Festkörpereigenschaften, die für ein Lasermedium geeignet sind. (© The Natural History Museum/Alamy Stock Foto)? Wissen Sie, wie viele Arsenatome nötig sind, um die Ladungsträgerdichte in reinem Silicium auf das Fünfmillionenfache zu erhöhen? (Siehe Übung 37.1.)

Aus Sicht des Chemikers reicht es vielfach aus, den Atomkern als Punktladung zu modellieren, die den größten Teil der Masse des Atoms enthält. Wir betrachten den Atomkern nun aus der Perspektive des Physikers und werden sehen, dass die Protonen und Neutronen, aus denen der Kern besteht, sowohl in unserem täglichen Leben eine wichtige Rolle spielen als auch für die Geschichte und Struktur des Universums von großer Bedeutung waren.In der Forschungs-Neutronenquelle Heinz Maier-Leibnitz der Technischen Universität München werden Neutronen durch Spaltung von Uran erzeugt, die in vielen Bereichen der Forschung, der Industrie und der Medizin verwendet werden. (© Astrid Eckert und Andreas Heddergott/Technische Universität München.) Neutronenquelle ? Wie viel Energie wird bei der Spaltung von 1 g 235U frei? (Siehe Beispiel 38.5.)

Auf der Suche nach immer neuen elementaren Teilchen, die von verschiedenen Theorien vorhergesagt wurden, wurden in den 1950er Jahren enorme Summen für den Bau von Teilchenbeschleunigern mit immer höheren Energien aufgewendet. Gegenwärtig kennen wir mehrere Hundert Teilchen, von denen viele einmal als elementar angesehen wurden; Forschungsgruppen an den großen Beschleunigerzentren rund um die Welt suchen und finden ständig weitere, wie das 2012 entdeckte Higgs-Boson.Im Large Hadron Collider (LHC) des Europäischen Forschungszentrums für Teilchenphysik CERN können Proton-Proton-Zusammenstöße mit sehr großen Energien durchgeführt werden. Um die Protonen auf Kreisbahnen zu halten, werden die abgebildeten Dipolmagnete eingesetzt. (© 2014–2018 CERN)? Welche Schlussfolgerungen lassen sich aus der Energiebilanz bei Teilchenwechselwirkungen ziehen? (Siehe Übung 39.1.)

Tabellen

In diesem Kapitel fassen wir zum Auffrischen des mathematischen Schulstoffs die wichtigsten Ergebnisse der Algebra, Geometrie, Trigonometrie und Analysis zusammen, ohne die man im Physikstudium nicht zurechtkommt. In vielen Fällen bringen wir nur die Aussagen selbst, ohne sie zu beweisen.