Produktionsfaktor Mathematik

Der vorliegende Band ist der zentrale Beitrag von acatech — Deutsche Akademie der Technikwissenschaften zum Jahr der Mathematik, das 2008 deutschlandweit auf die Bedeutung und die vielfältigen Facetten dieser Wissenschaft hinweist. Dieses Buch diskutiert das Verhältnis von Mathematik und Ingenieurwissenschaften, es beleuchtet insbesondere den Beitrag der Mathematik zur industriellen Wertschöpfung und die Schlüsselstellung der Mathematik bei der Beherrschung komplexer Systeme, mit anderen Worten: die Rolle der Mathematik als Produktionsfaktor und Innovationsverstärker. Der Band gibt nicht nur einen Zustandsbericht, er weist auf Stärken und Schwächen hin, skizziert zukünftige Forschungs- und Entwicklungsthemen und regt Maßnahmen zur Verbesserung der Interaktion zwischen Mathematik und Technikwissenschaften sowie zwischen Forschung und Industrie an.

Seit Beginn der industriellen Revolution nimmt die Steuerungs- und Regelungstechnik eine Schlüsselstellung in vielen technischen Bereichen ein. James Watts Fliehkraftregler für Dampfmaschinen ist eines der frühen Beispiele eines extrem erfolgreichen Reglerkonzepts, von dem Ende der 1860er Jahre geschätzte 75000 Exemplare allein in England im Einsatz waren [2, S. 24]. Etwa um diese Zeit begannen Ingenieure, motiviert durch die immer höhere Komplexität der zu regelnden Maschinen, sich systematisch mit theoretischen Grundlagen der Regelung zu beschäftigen. Dies führte unausweichlich zu der Einsicht, dass das dynamische Verhalten der geregelten Systeme nur mit Hilfe der Mathematikverstanden und weiterentwickelt werden konnte, oder wie Werner von Siemens, ein weiterer technischer Pionier in diesem Bereich es formulierte: „Ohne Mathematik tappt man doch immer im Dunkeln.“

Enorm gestiegene Rechnerkapazitäten ermutigen zu einer immer genaueren Erschließung komplexer Prozesse in Natur- und Ingenieurwissenschaften durch numerische Simulation. Die Mathematik als Schnittstelle zwischen realer und digitaler Welt liefert einerseits die Grundlagen zur Formulierung notwendigerweise vereinfachter Modelle der Realität. Andererseits bietet sie aber auch die methodischen Grundlagen für den Entwurf effizienter Algorithmen, die aus solchen Modellen quantitative Information gewinnen können. Eine zentrale Herausforderung liegt dabei in der Tatsache, dass reale Prozesse meist durch relevante Anteile auf einer riesigen Spannweite von Längenskalen getrieben werden. Die Entwicklung mathematischer Methoden zur Behandlung von Mehrskaligkeit ist daher von wesentlicher Bedeutung. In diesem Artikel wird dies anhand jüngster Entwicklungen in ganz unterschiedlichen Anwendungsbereichen erklärt und illustriert, auch um deutlich zu machen, wieviele „Fliegen“ man mit einer „mathematischen Klappe“ schlagen kann. Insbesondere werden grundlegende, auf Waveletzerlegung beruhende Prinzipien zunächst im Rahmen der Bildkompression und -kodierung auf weitgehend elementare Weise erklärt. Es wird dann aufgezeigt, dass diese Konzepte in ganz ähnlicher Weise bei der Datenanalyse im Zusammenhang mit verfahrenstechnischen Anwendungen, bei großskaligen Optimierungsproblemen der Prozessindustrie sowie bei komplexen Strömungsproblemen wie in aerodynamischen Anwendungen zum Tragen kommen. Stabile Zerlegungen in Anteile unterschiedlicher Längenskalen eröffnen dabei einen Zugang zu adaptiven Lösungskonzepten, die in der Lage sind, automatisch Rechnerresourcen dort zu plazieren, wo sie zu einer ökonomischen Realisierung der gewünschten Lösungsqualität, etwa in Form von Genauigkeitstoleranzen, benötigt werden.

Die nachhaltige Entwicklung von Straßen- und Luftverkehrsträgern erfordert einen deutlich vermindertem Energieverbrauch und signifikant niedrigere Schadstoff- und Lärmemissionen. Um diesen Herausforderungen gerecht zu werden, sind nichtgraduelle Verbesserungen notwendig. Eine zentrale Rolle bei der Bewältigung dieser Zukunftsaufgaben spielt die aktive Beeinflussung der auftretenden Strömungsprozesse. Während in der Vergangenheit Verbesserungen im Wesentlichen durch passive Beeinflussungen erzielt wurden, lassen sich die für die Zukunft geforderten sprunghaften Leistungssteigerungen nur noch mit aktiven Maßnahmen erzielen. Charakteristisch bei dieser Entwicklung ist die intensive interdisziplinäre Zusammenarbeit von zahlreichen Wissenschaftsgebieten.

Der Handel ist weltweit durch gravierenden Wettbewerbsdruck gekennzeichnet. Deutschland gilt im Einzelhandel sogar als der wettbewerbsintensivste Markt der Welt. Um in diesem Wettbewerb zu bestehen, vertrauen die meisten Händler auf extensive Formen ungezielten Massenmarketings. Hierbei werden alle potentielle Kunden mit den gleichen riesigen Katalogen, ungezählten Werbebroschüren, aufdringlichen Lautsprecherdurchsagen und schrillen Bannerwerbungen bearbeitet. Im Ergebnis sind nicht nur die Kunden genervt, sondern auch die Rücklaufraten von Marketingkampagnen seit Jahren fallend. Um dies zu vermeiden, ist eine Individualisierung des Massenmarketings empfehlenswert, in der Kunden auf sie zugeschnittene, individuelle Angebote erhalten. Die Aufgabe besteht darin, dem richtigen Kunden zum richtigen Zeitpunkt zum richtigen Preis das richtige Angebot zu unterbreiten. Dies stellt sich primär als eine mathematische Aufgabenstellung heraus, die die Bereiche Statistik, Optimierung, Analysis und Numerik betrifft. Die hierbei auftretenden Aufgabenstellungen der Regressionsanalyse, des Clusterings und der Optimalen Steuerung sind durch hohe Dimensionen und riesige Datenmengen gekennzeichnet und erfordern neue mathematische Konzepte und Verfahren.

Millionen von Menschen werden allein in Deutschland täglich von Bussen, Bahnen und Flugzeugen transportiert. Der öffentliche Personenverkehr (ÖV) ist von großer Bedeutung für die Lebensqualität einzelner, aber auch für die Leistungsfähigkeit ganzer Regionen. Qualität und Effizienz von ÖV-Systemen hängen ab von politischen Rahmenbedingungen (staatlich geplant, wettbewerblich organisiert) und der Eignung der Infrastruktur (Schienensysteme, Flughafenstandorte), vom vorhandenen Verkehrsangebot (Fahr- und Flugplan), von der Verwendung angemessener Technologien (Informations-, Kontroll-und Buchungssysteme) und dem bestmöglichen Einsatz der Betriebsmittel (Energie, Fahrzeuge und Personal). Die hierbei auftretenden Entscheidungs-, Planungs- und Optimierungsprobleme sind z.T. gigantisch und „schreien“ aufgrund ihrer hohen Komplexität nach Unterstützung durch Mathematik.

Die Lösung logistischer Probleme ist ein wichtiger Aspekt menschlichen Handelns seit Menschen gemeinsam zielgerichtet tätig wurden. Die Grundlagen dessen, was wir heute Logistik nennen, entstammen dem militärischen Bereich. So basierte z. B. das römische Imperium in starkem Maße auf militärisch-logistischen Glanzleistungen. Ob damals bereits mathematische Überlegungen eine Rolle spielten, wissen wir heute nicht. Jedoch versuchte z. B. Napoleon, der mit den bedeutendsten Mathematikern seiner Zeit befreundet war, den Transport seiner Truppen und die Verbreitung von Informationen zu optimieren und strategisch einzusetzen.^1,2

Die weltweiten Telekommunikationsnetze (Telefon-, Mobilfunknetze, Internet) bilden heute das Nervensystem von Wirtschaft und Gesellschaft. Durch den anhaltenden technologischen Fortschritt in der Elektronik, der Computer- und Kommunikationstechnik steigt nicht nur die Zahl der Teilnehmer in den Netzen ständig, sondern es entstehen auch laufend neue Anwendungen, wie Radio und Fernsehen im Internet, elektronischer Handel und interaktive Spiele im Internet. Auf den Kupfer- und Glasfaserkabeln sowie den Funkstrecken werden gigantische Informationsmengen transportiert. Das Verkehrs-wachstum ist nach wie vor exponentiell.

Die Mobilkommunikation besitzt heute große wirtschaftliche Bedeutung. Sie hat seit der Einführung des derzeit noch dominierenden Mobilfunkstandards GSM Anfang der neunziger Jahre einen enormen Einfluss auf das gesellschaftliche Leben genommen. Mit neuen Anwendungsfeldern, z. B. im Maschinen- und Anlagenbau, in der Automobilindustrie und im Wohnbereich, wird die Bedeutung der Mobilkommunikation weiter steigen. Um der Vielfalt der Anwendungen gerecht zu werden und die Wünsche nach neuen Diensten erfüllen zu können, werden fortwährend neue Mobilfunksysteme eingeführt.

Chips sind die wohl komplexesten Strukturen, die vom Menschen entworfen und gefertigt wurden. Auf einem kleinen Silizium-Chip von der Größe eines Fingernagels werden heute Milliarden von Transistoren untergebracht, die mit vielen Millionen Verbindungen untereinander verknüpft sind, wobei die Gesamtlänge dieser Netze mehrere Kilometer betragen kann. Abb. 1 zeigt einen kleinen Ausschnitt (∼ 1 Milliardstel) eines Chips mit zweilagiger Verdrahtung im Raster-Tunnel-Mikroskop.

Die Gesellschaft des 21. Jahrhunderts wird ihre Anforderungen an Lebensqualität und Umweltstandards stetig erhöhen. Dies betrifft auch die Anforderungen an Qualität und Vorhersagegenauigkeit bei der Berechnung komplexer Probleme und umfasst insbesondere das Gesamtdesign von Produkten unserer unmittelbaren Umgebung wie Architektur- und Ingenieurbauwerken, aber auch von Industrieprodukten, die wir in unseremtäglichen Leben einsetzen.

Der Artikel beschreibt Stand und Perspektive des Einsatzes mathematischer Methoden bei der Simulation und Auslegung von Werkzeugmaschinen und der Fabrikautomatisierung. Erfolgreiche Beispiele für den Einsatz der Mathematik finden sich vor allem bei der Modellierung von Werkzeugmaschinen von Mehrkörpersystemen und der Simulation einzelner Produktionsprozesse.

Der Einsatz neuer Materialien in Anwendungen der Hochtechnologie steigt seit längerer Zeit rasant an. Stähle mit neuartigen Eigenschaften werden entwickelt. Die enorm steigende Nachfrage nach Sonnenkollektoren bedingt neue Verfahren zur Herstellung derhierzu benötigten Halbleiter. Zur Erzielung höherer Taktraten im Computer, aber auch zur Steigerung der Leistung von Sonnenkollektoren wird die reine Siliziumtechnologie verlassen; es werden neuartige Halbleiter konzipiert. Im Zuge der Miniaturisierung von Chips kommt dem Halbisolator große Bedeutung zu.

Die optimale Auslegung von Infrastrukturen z. B. bei der Verkehrsplanung und bei der Planung von Versorgungssystemen, die optimale Strukturierung bzw. Formgebung von Materialien und Werkstücken z. B. im Leichtbau sind aktuelle Themen angewandter Forschung. In beiden Bereichen wurde bis in die jüngste Zeit vornehmlich eine simulationsbasierte Optimierung auf der Grundlage einer Parameterjustierung vorgenommen, die oft wenig systematisch und zeit- und kostenintensiv ist. Stattdessen erweisen sich modellbasierte mathematische Optimierungsalgorithmen zusammen mit moderner numerischer Simulations-und Visualisierungstechnologie zunehmend als Katalysator neuer Technologien. Eine so verstandene Mathematische Optimierung kann bereits auf beeindruckende Erfolgsgeschichten verweisen und so den Anspruch als eine Zukunftsdisziplin behaupten. Diesem Anspruch trägt die Einrichtung des DFG-Schwerpunktprogramms 1253, Optimierung mit partiellen Differentialgleichungen’ im Jahre 2006 Rechnung, in dem über 25 Projekte im Bundesgebiet sowohl auf die theoretische Fundierung, als auch und insbesondere auf die Verzahnung zwischen Methodenentwicklung und numerischer Realisierung fokussieren. Forschung im Bereich der mathematischen Optimierung und Steuerung von Prozessen bzw. Eigenschaften, die mit Hilfe partieller Differentialgleichungen, so genannten, verteilten Systemen’, beschrieben werden, erfolgt im Kontext konkreter und exemplarischer Anwendungssituationen, die neue mathematische Herausforderungen markieren: Sicherheitsvorgaben etwa bei der Belastung von Gas- und Frischwasserleitungen oder solche für die Belastbarkeit von Verkehrsflugzeugen führen auf Druckbeschränkungen bzw.

Der ökologisch nachhaltige, wirtschaftlich effiziente und politisch faire Umgang mit den Ressourcen der Erde ist eine der größten Herausforderungen an die Menschheit im 21. Jahrhundert und impliziert Paradigmenwechsel in allen Bereichen des gesellschaftlichen Lebens. Energie- und Verfahrenstechnik sind traditionell Bereiche, in denen der optimale Umgang mit kostbaren und beschränkt verfügbaren Ressourcen von erstrangiger Bedeutung ist. Zur Lösung der damit verbundenen komplexen Entscheidungsprobleme sind mathematische Methoden schon seit längerem im Einsatz. Hierbei können aber noch längst nicht alle bislang aufgetretenen Probleme fundiert angegangen werden. Der wachsende wirtschaftliche und ökologische Druck auf die Effizienz der Produktions-und Versorgungssysteme sowie stärkere Schwankungen von Angebot und Nachfrage führen zu neuen Herausforderungen, für die neue mathematische Methoden und Algorithmen entwickelt werden müssen.

Ingenieure sind — aufbauend auf gründlicher Planung, intelligentem Entwurf, solider Konstruktion und sorgfältiger Herstellung — seit jeher bestrebt, „optimale“ technische Systeme zu entwickeln. Auch die Prozesse, die von Ingenieuren eingeleitet und verantwortet werden, sind in der Regel so ausgelegt, dass sie planmäßig, zuverlässig, hochgradig effizient und somit ebenfalls möglichst optimal ablaufen. Bei der Umsetzung ihrer Ideen mithilfe von leistungsfähigen Computermodellen sowie gebrauchstauglicher Software sorgt die zielgerichtete Vernetzung mit der Forschung in Mathematik und Angewandter Informatik dafür, dass sowohl dringende aktuelle Problemstellungen gelöst als auch neue Zukunftsfelder in absehbarer Zeit erfolgreich bearbeitet werden können.

In allen Ingenieursdisziplinen hat die mathematische Modellierung technischer Systeme und Prozesse ihren festen Platz gefunden — nicht zuletzt getrieben durch die Ausführbarkeit auf leistungsfähigen Digitalrechnern, die zur Simulation, zur Analyse und zum Entwurf eingesetzt werden. Beflügelt wird dies durch neuere Entwicklungen im Bereich der Modellierungssprachen und Rechnerwerkzeuge, die mit modernen objektorientierten Konzepten und algebraisch/symbolischen Rechenfähigkeiten aufwarten. Anhand zweier aktueller Forschungsprojekte zur Energiewandlung — stellvertretend für die Bereiche Kraftwerkstechnik und Verbrennungsmotoren — werden der Zugang zur objektorientierten Modellierung und deren Potential gegenüber konventionellen Ansätzen aus der Ingenieurssicht, speziell aus dem Blickwinkel der Regelungstechnik, aufgezeigt.

In der Bundesrepublik Deutschland entfallen rund 30% des Endenergiebedarfs alleine auf die Wärmeversorgung von Gebäuden [1]. Der Hauptanteil dieser Endenergie wird für die Beheizung von Wohngebäuden verwendet, wobei insbesondere Gas und Heizöl als Primärenergieträger eingesetzt werden.

Die Entwicklung neuer Medikamente ist langwierig und teuer. Der erste Schritt ist hierbei die Suche nach neuen Wirkstoffkandidaten, die für die Behandlung bislang schwer therapierbarer Krankheiten geeignet sind. Hierfür stehen der Pharma- und Biotechnologieindustrie riesige Substanzbibliotheken zur Verfügung. In diesen Bibliotheken werden die unterschiedlichsten Substanzen gesammelt, die entweder synthetisch hergestellt oder aus Pilzen, Bakterienkulturen und anderen Lebewesen gewonnen werden können.