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2015 | OriginalPaper | Chapter

3. Proof by Reduction

Author : Oswald Baumgart

Published in: The Quadratic Reciprocity Law

Publisher: Springer International Publishing

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Abstract

1. If q denotes a prime number, then \(1,2,\ldots, \frac{q-1} {2}\) is a complete system of incongruent positive minimal¹ residues modulo q; on the other hand, if a is coprime to q, then a, 2a, …, \(\frac{q-1} {2} a\) is a system of \(\frac{q-1} {2}\) incongruent residues which do not necessarily form a half-system modulo q. If, in this last set, ρ ₁, …, ρ _λ are the positive and −σ ₁, …, −σ _μ the negative minimal residues modulo q, then we can observe that the ρ and σ are nonzero and pairwise distinct, hence congruent modulo q in some order to the numbers \(1,2,\ldots, \frac{q-1} {2}\).

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[FL] A minimal residue system modulo p consists of the numbers 0, ± 1, ± 2, …, \(\pm \frac{p-1} {2}\); among these, the residues \(1, 2,\ldots, \frac{p-1} {2}\) are called “positive”. Occasionally we will call this a “half-system modulo p” in the following.

Here the notation card._kpos.u is taken from Schering and denotes the number of positive values of v as k runs through the half-system.

[FL] Gegenbauer (see his article referred to in the appendix) observed that Stern’s article does indeed contain a complete and correct proof of the quadratic reciprocity law.

Here two integers are called similar if they both have the form 4n + 1 or 4n + 3, and not similar if one has the form 4n + 1 and the other 4n + 3.

In the following, Stern only shows that \(U - G \equiv \frac{q-p} {2} \bmod 2\). I was notified of this fact by Prof. Schering.

[FL] Baumgart writes q < p.

According to Kronecker and Weierstrass, | x | denotes the absolute value of x.

W.J. Bouniakowski, Sur un théorème relatif à la théorie des résidus et son application à la démonstration de la loi de réciprocité de deux nombres premiers, Bull. Acad. St. Pétersbourg 14 (1869), 432–447; cf. p.

E. Busche, Ueber eine Beweismethode in der Zahlentheorie und einige Anwendungen derselben, insbesondere auf das Reziprozitätsgesetz in der Theorie der quadratischen Reste, Diss. Göttingen 1883; cf. p.

17.

G. Eisenstein, Geometrischer Beweis des Fundamentaltheorems für die quadratischen Reste, J. Reine Angew. Math. 28 (1844), 246–248; Math. Werke I, 164–166; Engl. Transl. Quart. J. Math. 1 (1857), 186–191, or A. Cayley: Coll. Math. Papers III, 39–43; cf. p.

26.

C.F. Gauss, Theorematis arithmetici demonstratio nova, Comment. Soc. regiae sci. Göttingen XVI (1808), 69; Werke II, p. 1–8; cf. p.

28.

C.F. Gauss, Theorematis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et amplicationes novae, 1818; Werke II, 47–64, in particular p. 51; cf. p.

37.

A. Genocchi, Note sur la théorie des residus quadratiques, Mém. cour. et mém. des savants étrangers Acad. Roy Sci. Lettres Belgique 25 (1851/53), 54 pp; cf. p.

43.

L. Kronecker, Ueber das Reciprocitätsgesetz, Monatsber. Berlin (1876), 331–341; Werke II, 11–23; cf. p.

63.

J. Petersen, A new proof of the theorem of reciprocity, Amer. J. Math. pure and appl. 2 (1879), 285–286; FdM 11 (1879), 132; cf. p.

64.

J. Petersen, Reciprocitetssätningen, Tidssk. Mat. udgived of Zeuthen (4) III (1879), 86–90; FdM 11 (1879), 132; BSMA (2) 8 (1884), 175; cf. p.

67.

E. Schering, Neuer Beweis des Reciprocitäts-Satzes für die quadratischen Reste, Gött. Nachr. (1879), 217–224; Werke I, 331–336; cf. p.

68.

E. Schering, Nouvelle démonstration de la loi de réciprocité dans la théorie des résidus quadratique, C. R. Acad. Sci. Paris 88 (1879), 1073–1075; Werke I, 337–340; cf. p.

70.

M.A. Stern, Über einen einfachen Beweis des quadratischen Reciprocitätsgesetzes und einige damit zusammenhängende Sätze, Gött. Nachr (1870), 237–253; cf. p.

71.

A. Voigt, Abkürzung des dritten Gauss’schen Reciprocitätsbeweises, Z. Math. Phys. 26 (1881), 134; cf. p.

73.

Ch. Zeller, Beweis des Reciprocitätsgesetzes für die quadratischen Reste, Berl. Monatsber. (1872), 846–847; cf. p.

Title: Proof by Reduction
Author: Oswald Baumgart
Publisher: Springer International Publishing
Book: The Quadratic Reciprocity Law
Print ISBN: 978-3-319-16282-9

Electronic ISBN: 978-3-319-16283-6

Copyright Year: 2015
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-16283-6_3

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