4. Symmetrien und Erhaltungssätze

Ein wichtiger Begriff im kanonischen Formalismus ist der des kanonischen Impulses. Wenn die Lagrange-Funktion eines betrachteten Systems von einer seiner generalisierten Koordinaten nicht abhängt, dann ist der zu dieser generalisierten Koordinate gehörige kanonische Impuls erhalten. Das Auffinden von Erhaltungsgrößen ist ein essentieller Schritt bei der Bestimmung und Charakterisierung der Lösungen von physikalischen Bewegungsgleichungen. Das sogenannte Noether-Theorem zeigt, wie Erhaltungsgrößen – über die genannte Erhaltung von kanonischen Impulsen hinaus – aus den Symmetrieeigenschaften der jeweils betrachteten Lagrange-Funktion hergeleitet werden können. Wie Sie in diesem Kapitel lernen, werden dabei konkret Änderungen der Lagrange-Funktion unter kontinuierlichen Koordinatentransformationen untersucht. Ist die Lagrange-Funktion unter einer solchen Koordinatentransformation invariant, dann lässt sich aus dieser Koordinatentransformation und den kanonischen Impulsen direkt eine Erhaltungsgröße konstruieren. Dies ist auch dann möglich, wenn keiner der kanonischen Impulse selbst erhalten ist.