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2018 | OriginalPaper | Chapter

1. Umkehrabbildungen und implizite Funktionen

Authors : Prof. Dr. Adrian Hirn, Prof. Dr. Christian Weiß

Published in: Analysis – Grundlagen und Exkurse

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

In diesem Kapitel machen wir uns zunächst auf die Suche nach einer mehrdimensionalen Version dieses Satzes, das heißt, wir wollen die Umkehrabbildung mehrdimensionaler Funktionen verstehen. Danach widmen wir uns den sogenannten impliziten Funktionen. Dabei geht es um die Frage, ob beziehungsweise unter welchen Bedingungen eine gegebene Gleichung lokal nach einer vorgegebenen Variable auflösbar ist.

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next chapter Das mehrdimensionale Riemannsche Integral
Footnotes
1
Für eine lineare Abbildung \(L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^N\) mit Darstellungsmatrix (Lij) setzen wir \(\left\lVert L\right\rVert :=\left\lVert (L_{ij})\right\rVert :=\big(\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^n |L_{ij}|^2\big)^{1/2}\), siehe Bd. 1, Kap. 8. Für die euklidische Norm \(|\cdot|\) gilt dann \(|L(x)|\leq\left\lVert L\right\rVert |x|\) für alle \(x\in\mathbb{R}^n\) nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung (Bd. 1, Proposition 2.42).
 
2
Für \(x,y\in\mathbb{R}^n\) bezeichnet \(\langle x, y\rangle\) das Standard-Skalarprodukt in \(\mathbb{R}^n\): \(\langle x, y\rangle:=\sum_{i=1}^nx_iy_i\).
 
3
Für eine Funktion \(\varphi\in C^1_0(\skew4\mathring{I},\mathbb{R}^n)\) gibt es also Zahlen α, β mit a < α < β < b, sodass φ(x) = 0 für alle \(x\in I\setminus(\alpha,\beta)\) ist.
 
Literature
B. Dacorogna, Direct Methods in the Calculus of Variations, Springer, 2008.
S. Hildebrandt, Analysis 2, Springer, 2003.
Metadata
Title
Umkehrabbildungen und implizite Funktionen
Authors
Prof. Dr. Adrian Hirn
Prof. Dr. Christian Weiß
Copyright Year
2018
Publisher
Springer Berlin Heidelberg
Book
Analysis – Grundlagen und Exkurse

Print ISBN: 978-3-662-55535-4

Electronic ISBN: 978-3-662-55536-1

Copyright Year: 2018

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-55536-1_1

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