2011 | OriginalPaper | Chapter
Une Definition Globale des Operateurs Pseudo-Differentiels sur une Variete Differentiable
Author : J. Bokobza-Haggiag
Published in: Pseudo-differential Operators
Publisher: Springer Berlin Heidelberg
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Nous introduisons dans ce qui suit une définition globale des opérateurs pseudo-différentiels sur une variété différentiate et un calcul symbolique qui permet d'établir une correspondance linéaire bijective entre les opérateurs pseudo-différentiels modulo les opérateurs régularisants d'une part et une classe de symboles modulo les symboles qui sont à décroissance rapide sur les fibres de l'espace cotangent d'autre part.
L'idée de ce calcul est basée sur le fait que la formule
$$\left( {A\phi } \right)\left( x \right) = \int {f\left( {x,\xi } \right)d\,\xi \,\int {e^{ - 2i\pi \left( {y - x} \right).\xi } } \phi \left( y \right)dy}$$
qui définit un opérateur pseudo-differentiel sur ℝ
n
, si f a certaines propriétés de régularité et de croissance à l'infini, prend un sens sur une variété si l'on y remplace y-x par un vecteur tangent en x à la variété, soit v(x,y), “infinitésimalement égal” à y-x, et si l'on prend quelques précautions suppiémentaires destinées à faire converger l'intégrale et à lui assurer un sens intrinsfèque.