Algebra und Zahlentheorie

In der Algebra und der Zahlentheorie spielen “ideale Elemente” seit jeher eine bedeutende Rolle. Das beste Beispiel dafür ist der Begriff “Ideal” selbst. Er wurde von Kummer bei der Betrachtung des Ringes R der Zahlen von der Form a+b·$$\sqrt { - 5} $$ mit a, b ganze Zahlen eingeführt. Dieser Ring besitzt keine eindeutige Primfaktorzerlegung (etwa ist 6 = 2 · 3= (1+$$\sqrt { - 5} $$ · (1-$$\sqrt { - 5} $$). Zur Behebung des Mißstandes wurde der Ring R in einen größeren eingebettet, in dem die Zerlegung wieder eindeutig war. Die neu hinzugenommenen Elemente wurden “ideale Zahlen” genannt; in unserer heutigen Sprechweise sagen wir: R wird in den Bereich der Ideale über R abgebildet, wobei jedem Element das von ihm erzeugte Hauptideal zugeordnet wird. Derlei Konstruktionen kommen nun sehr häufig vor (etwas überspitzt könnte man formulieren: Aus ihnen besteht die Algebra); wir interessieren uns hier für solche Fälle, in denen das Unendliche eine Rolle spielt.