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2021 | OriginalPaper | Chapter

6. Anwendung der Differentialrechnung

Author : Stefanie Flotho

Published in: Wirtschaftsmathematik

Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden

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Zusammenfassung

Die Analyse von Funktionen mit Hilfe von Ableitungen hat innerhalb der Wirtschaftswissenschaften vielfache Anwendungsmöglichkeiten. Dabei ist die Differentialrechnung immer Mittel zum Zweck und hilft beispielsweise dabei, maximalen Gewinn oder minimale Kosten zu bestimmen oder Elastizitäten zu berechnen. Auch können Produktionsbereiche steigender oder fallender Kosten eingegrenzt werden.

In diesem Kapitel werden wir diese Fragestellungen aufgreifen und mit Hilfe der Differentialrechnung lösen. Im ersten Abschn. 6.1 wird allgemein untersucht, wie wir Hoch- und Tiefpunkte von Funktionen bestimmen können. Dieses Konzept werden wir anschließend in Abschn. 6.3 auf Gewinnmaximierungsprobleme anwenden. Danach folgen die Vorstellung von Elastizitäten (Abschn. 6.4) und Untersuchung auf Monotonie (Abschn. 6.6) und Konvexität von Funktionen (Abschn. 6.7).

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Man kann jetzt natürlich f′(0,5) explizit berechnen. Allerdings haben wir bereits die Nullstellen der ersten Ableitung zur Bestimmung der Extremstellen hergeleitet. Der Wert 0,5 war nicht dabei.

Für die Kostenfunktion aus dem ersten Beispiel ist die erste Ableitung K′(x) = 25 und stimmt mit den exakt berechneten Mehrkosten überein.

Dies gilt, falls die Preis-Absatz-Funktion p(x) = ax + b linear ist. Die Nullstelle p(x) = 0 dieser Funktion ist bei x = −b∕a. Die Erlösfunktion ist gegeben durch E(x) = p(x)x = ax² + bx und die Grenzerlösfunktion E′(x) = 2ax + b. Die Nullstelle der Grenzerlösfunktion ist bestimmt durch E′(x) = 2ax + b = 0, woraus x = −b∕(2a). Dies ist die Hälfte der Nullstelle der Preis-Absatz-Funktion.

Dies gilt natürlich nur, so lange die Funktion nicht konstant ist.

Dies entspricht einer Steigerung von \(10~\%= \frac {2,2-2}{2}=\frac {x_2-x_1}{x_1}\).

Wie negative Ergebnisse interpretiert werden, sehen wir im nächsten Beispiel.

Wer die Normalparabel vor Augen hat, kennt die Antwort natürlich. Für alle positiven x ist die Funktion wachsend, für alle negativen x ist sie fallend. Doch wir wollen dieses Ergebnis mit der Differentialrechnung untersuchen.

Eine mathematische Formulierung dafür ist: Für alle x₁ und x₂ aus dem Definitionsbereich der Funktion und einer Zahl 0 ≤ λ ≤ 1 gilt: f(λx₁ + (1 − λ)x₂) ≤ λf(x₁) + (1 − λ)f(x₂).

Man kann sich den Graphen der Funktion auch als eine Straße vorstellen, die man mit einem Fahrrad von links nach rechts entlang fährt. Dann wird klar, woher der Begriff ,,links gekrümmt“ stammt: während der Fahrt lenkt man immer nach links, um auf der Straße zu bleiben.

Auch hier kann man sich vorstellen, dass der Graph der Funktion eine Straße ist, die man mit einem Fahrrad von links nach rechts entlang fährt. Der Begriff ,,rechts gekrümmt“ macht nun Sinn: während der Fahrt muss man immer nach rechts lenken, um auf der Straße zu bleiben.

Title: Anwendung der Differentialrechnung
Author: Stefanie Flotho
Publisher: Springer Fachmedien Wiesbaden
Book: Wirtschaftsmathematik
Print ISBN: 978-3-658-33516-8

Electronic ISBN: 978-3-658-33517-5

Copyright Year: 2021
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-658-33517-5_6