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2020 | OriginalPaper | Chapter

8. Appendix

Author : Riccardo Gatto

Published in: Stochastische Modelle der aktuariellen Risikotheorie

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Dieser Appendix fasst zunächst die wichtigsten grundlegenden Resultate der Wahrscheinlichkeitstheorie, die für dieses Buch notwendig sind, zusammen. Wir können auf viele Bücher verweisen, wie z. B. Feller (1971), Shiryayev (1984) oder Karr (1993).

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Eine Seminorm erfüllt \( ||x|| \ge 0\), \( ||cx|| = |c| ||x||\) und \(|| x + y || \le ||x|| + ||y||\). Hier sind x und y Elemente eines Vektorraums und c ist in \(\mathbb {R}\) oder \(\mathbb {C}\). Um eine Norm zu haben, braucht man noch \(|| x || = 0 \Rightarrow x = 0\). (Die Umkehr gilt immer: \(||0 || = || 0 \cdot 0 || = 0 || 0 || = 0\).) Damit wird \(d(x, y) = ||x-y||\) eine Pseudometrik, d. h. eine Metrik für welche \(d(x, y) = 0\) für einige \(x \ne y\) möglich ist. Diese Pseudometrik definiert die Äquivalenzrelation \(x \sim y \Leftrightarrow d(x, y) = 0\).

Ein Vektorraum mit einer Pseudometrik heißt vollständig, falls alle Cauchy-Folgen konvergieren. Ein normierter und vollständiger Vektorraum heißt Banachraum. Falls dazu ein Skalarprodukt \(\langle x , y \rangle \) definiert ist, dann heißt dieser Raum Hilbertraum.

Title: Appendix
Author: Riccardo Gatto
Publisher: Springer Berlin Heidelberg
Book: Stochastische Modelle der aktuariellen Risikotheorie
Print ISBN: 978-3-662-60923-1

Electronic ISBN: 978-3-662-60924-8

Copyright Year: 2020
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-60924-8_8