Approximationen der Binomialverteilung

Für großes n ist die exakte Berechnung der Wahrscheinlichkeit (a)<m:math display='block'> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>b</m:mi> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi><m:mo>,</m:mo><m:mi>p</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo stretchy='false'>(</m:mo><m:mi>k</m:mi><m:mo stretchy='false'>)</m:mo><m:mo>=</m:mo><m:mrow><m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mtable> <m:mtr> <m:mtd> <m:mi>n</m:mi> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd> <m:mi>k</m:mi> </m:mtd> </m:mtr> </m:mtable> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo></m:mrow><m:msup> <m:mi>p</m:mi> <m:mi>k</m:mi> </m:msup> <m:msup> <m:mrow> <m:mrow><m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mn>1</m:mn><m:mo>&#x2212;</m:mo><m:mi>p</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo></m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>n</m:mi><m:mo>&#x2212;</m:mo><m:mi>k</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:math> $$ {b_{n,p}}(k) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ k \end{array}} \right){p^k}{\left( {1 - p} \right)^{n - k}}, $$ , in n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p genau k Erfolge zu haben, mühsam. Wie wahrscheinlich ist es, bei n = 80 Würfen einer Münze k = 40 mal Kopf zu erhalten? Am Ergebnis (₄₀80)2−80 lässt sich nicht einmal die Größenordnung so ohne weiteres erkennen. Noch unübersichtlicher ist die Berechnung von Summen solcher Wahrscheinlichkeiten, also etwa der Wahrscheinlichkeit zwischen 40 und 50 mal Kopf zu erhalten. Wir wollen uns daher nun mit Approximationen für solche Wahrscheinlichkeiten beschäftigen.