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2017 | OriginalPaper | Chapter

6. Beobachter mit großer Verstärkung und starke Beobachter

Author : Klaus Röbenack

Published in: Nichtlineare Regelungssysteme

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Die in den Kap. 4 und 5 entworfenen Rückführungen setzen in der Regel die Kenntnis des vollständigen Systemzustands voraus. In der regelungstechnischen Praxis wird dagegen meist nur ein Teil der Zustände messtechnisch erfasst. Dieses Kapitel behandelt einige Ansätze für Zustandsbeobachter, mit denen aus aktuellen Messdaten von Eingang und Ausgang der jeweilige Systemzustand asymptotisch rekonstruiert wird. Der Hauptteil des Kapitels befasst sich mit Beobachtern, bei denen die im System auftretenden Nichtlinearitäten durch eine lineare Aufschaltung dominiert werden. Zusätzlich wird auf starke Beobachter eingegangen, welche den Zustand ohne Kenntnis des Systemeingangs schätzen.

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previous chapter Erweiterte Regelungskonzepte auf Basis der exakten Linearisierung

next chapter Beobachterentwurf mittels exakter bzw. näherungsweiser Linearisierung der Fehlerdynamik

Ein lineares System ist ermittelbar, wenn es bezüglich der instabilen Eigenmodi beobachtbar ist. Hinsichtlich einer Kalman-Zerlegung nach Beobachtbarkeit bedeutet das, dass das nicht beobachtbare Teilsystem asymptotisch stabil ist [Lud95, Lun97].

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge \(\mathcal{M}\) ist eine Teilmenge \(\mathcal{R}\subseteq\mathcal{M}\times\mathcal{M}\) mit \((p,p)\in\mathcal{R}\) (Reflexivität), \((p,\bar{p})\in\mathcal{R}\Rightarrow(\bar{p},p)\in\mathcal{R}\) (Symmetrie) und \((p,\bar{p})\in\mathcal{R}\wedge(\bar{p},v)\in\mathcal{R}\Rightarrow(p,v)\in\mathcal{R}\) (Transitivität) für alle \(p,\bar{p},v\in\mathcal{M}\). Zwei Elemente \(p,\bar{p}\in\mathcal{M}\) nennt man äquivalent, wenn \((p,\bar{p})\in\mathcal{R}\). Notation: \(p\sim\bar{p}\).

Gilt eine Eigenschaft für alle Elemente einer offenen und dichten Teilmenge \(\mathcal{A}\subseteq\mathbb{M}\) eines metrischen Raumes \(\mathbb{M}\), so sagt man, die Eigenschaft gilt für fast alle Elemente von \(\mathbb{M}\). Die Teilmenge \(\mathcal{A}\) ist dann von zweiter Kategorie im Sinne von Baire [GRT09].

Globale Beobachtbarkeit ist wesentlich schwerer zu prüfen [Tib04, Bar95].

Der Beobachterentwurf für das inverse Pendel wird in Abschn. 6.2.3 erneut aufgegriffen und dort in Beispiel 6.20 für den Fall mit Eingang betrachtet.

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Title: Beobachter mit großer Verstärkung und starke Beobachter
Author: Klaus Röbenack
Publisher: Springer Berlin Heidelberg
Book: Nichtlineare Regelungssysteme
Print ISBN: 978-3-662-44090-2

Electronic ISBN: 978-3-662-44091-9

Copyright Year: 2017
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-44091-9_6