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2017 | OriginalPaper | Chapter

5. Erweiterte Regelungskonzepte auf Basis der exakten Linearisierung

Author : Klaus Röbenack

Published in: Nichtlineare Regelungssysteme

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Aufbauend auf den in Kap. 4 entwickelten Konzepten (relativer Grad und bestimmte Normalformen) lassen sich etliche verschiedene Regler realisieren und damit auch unterschiedliche regelungstechnische Aufgabenstellungen lösen [HS97]. In diesem Kapitel werden verschiedene Regelungskonzepte, die auf der exakten Linearisierung aufbauen, vorgestellt. Den nachfolgenden Betrachtungen wird ein eingangsaffines Modell für die Regelstrecke zugrunde gelegt. Während für theoretische Untersuchungen die Byrnes-Isidori-Normalform bevorzugt wird, erfolgen praktische Berechnung oft mit der Eingangs-Ausgangs-Normalform. Daher sind die vorgestellten Entwurfsverfahren auch leicht auf nicht eingangsaffine Systeme zu übertragen.

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Aus Anwendungssicht wäre es wünschenswert, die Spannung direkt als Referenzgröße nutzen zu können. Mit dem hier beschriebenen Zugang ist das leider nicht möglich, da die zugehörige Nulldynamik instabil ist (vgl. Abschn. 4.6.2).

Im Unterschied zu modellbasierten Verfahren gibt es auch Ansätze zur modellfreien Steuerung bzw. Regelung [FJ09]. Bei diesen Verfahren werden nur die Mess- oder Simulationsdaten genutzt.

Eine rationale Übertragungsfunktion heißt proper, wenn der Grad des Zählerpolynoms nicht größer ist als der Grad des Nennerpolynoms.

Die Verbindung zur Minimalphasigkeit in Sinne der Nulldynamik wird in Anmerkung 4.31 beschrieben.

Mit a₀∈{1, 2} kann man durch Pol-Nullstellen-Kürzung die Ordnung des IMC-Reglers reduzieren. Für a₀ = 1 erhält man beispielsweise \(K(s)=\frac{s+2}{s+3}\).

Gilt (5.77), dann kann die Bedingung (5.78) immer durch eine zustandsäbhängige Eingangstransformation \(u\mapsto\tfrac{1}{L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)}u\) erzwungen werden (vgl. Abschn. 4.2.3).

Bedingt durch die Abhängigkeit von der Referenztrajektorie ist die Rückführung κ auch von der Zeit t abhängig. Aus Gründen der Übersichtlichkeit wurde auf die explizite Angabe dieser Abhängigkeit verzichtet.

Tatsächlich besitzt die algebraische Riccati-Gleichung (5.116) auch unter der schwächeren Voraussetzung, dass (A, b) stabilisierbar und (A, C) ermittelbar ist, eine positiv definite Lösung. Im Fall einer positiv definiten Matrix Q ist (A, C) beobachtbar und damit auch ermittelbar.

Die Aussage, dass das Regelgesetz (5.121) in der Regel nicht optimal im Sinne eines Kostenfunktionals (5.105) ist, lässt dadurch veranschaulichen, dass die Rückführung (5.121) alle im System auftretenden Nichtlinearitäten kompensiert, auch jene, die die Stabilität begünstigen.

[AAGH89]

An, C. H., C. G. Atkeson, J. D. Griffiths und J. M.Hollerbach: Experimental Evaluation of Feedforwardand Computed Torque Control. IEEE Trans. on Robotics andAutomation, 5(3):368–373, Juni 1989.

[Ack77a]

Ackermann, J.: Entwurf durch Polvorgabe, Teil 2. Regelungstechnik, 25:209–215, 1977.

[Ack77b]

Ackermann, J.E.: On the synthesis of linear control systems with specified characteristics. Automatica,13(1):89–94, Januar 1977.MathSciNetCrossRef

[Agu02]

Aguilar, C.: Approximate feedback linearization and sliding mode control for the single inverted pendulum. Technischer Bericht, Queen’s University, Mathematics and Engineering, August 2002.

[And89]

Anderson, B. D. O: Optimal Control – Linear Quadratic Methods. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey,1989.

[Art83]

Artstein, Z.: Stabilization with relaxedcontrols. Nonlinear Analysis, 7:1163–1173, 1983.MathSciNetCrossRef

[AZ12]

Allgöwer, F. und A. Zheng (Herausgeber):Nonlinear Model Predictive Control.Birkhäuser, Basel, 2012.

[BPvdS04]

Ball, J. A., M. A. Petersen und A. van der Schaft:Inner-outer factorization for nonlinearnoninvertible systems. IEEE Trans. on Automatic Control,49(4):483–492, April 2004.

[BR86]

Baumann, W. T. und W. J. Rugh: FeedbackControl of Nonlinear Systems by Extended Linearization. IEEETrans. on Automatic Control, 31(1):40–46, Januar 1986.

[CCN06]

Campbell, S. L., J. P. Chancelier und R. Nikoukhah:Modeling and Simulation in Scilab/Scicos.Springer, New York, 2006.

[DAM96]

Doyle III, F. J., F. Allgöwer und M. Morari:A Normal Form Approach to Approximate Input-OutputLinearization for Maximum Phase Nonlinear SISO Systems. IEEETrans. on Automatic Control, 41(2):305–309, Februar 1996.

[Dev01]

Devanathan, R.: Linearization conditionthrough state feedback. IEEE Trans. on Automatic Control,46(8):1257–1260, August 2001.MathSciNetCrossRef

[Dev04]

Devanathan, R.: Necessary and sufficientconditions for quadratic linearization of a linearly controllablesystem. Int. J. Control, 77(7):613–621, 2004.MathSciNetCrossRef

[DHB00]

Datta, A., M. T. Ho und S. P. Bhattacharyya:Structure and synthesis of PID controllers.Springer-Verlag, London, 2000.

[EM86]

Economou, C. G. und M. Morari: Internal ModelContrl. 5. Extension to Nonlinear Systems. Ind. Eng. Chem. ProcessDes. Dev., 25:403–411, 1986.

[FJ09]

Fliess, M. und C. Join: Model-free ControlAnd Intelligent PID Controllers: Towards A Possible TrivializationOf Nonlinear Control? IFAC Proceedings Volumes, 42(10):1531–1550,2009.CrossRef

[FK96a]

Freeman, R. A. und P. V. Kokotovic: Inverseoptimality in robust stabilization. SIAM J. Control and Optimization, 34(4):1365–1391, Juli 1996.MathSciNetCrossRef

[FK96b]

Freeman, R. A. und P. V. Kokotović:Robust Nonlinear Control Design – State-Space andLyapunov Techniques. Birkhäuser, Boston, 1996.CrossRef

[Föl78]

Föllinger, O.: Entwurf zeitvarianterSysteme durch Polvorgabe. Regelungstechnik, 26(6):189–196, 1978.

[FP96]

Freeman, R. A. und J. A. Primbs: ControlLyapunov functions: New ideas from an old source. In:Proc. IEEE Conf. on Decision and Control (CDC),Seiten 3926–3931, Kobe, Japan, Dezember 1996.

[Fra15]

Franke, M.: Lösung regelungstechnischerAufgabenstellungen mit Hilfe des algorithmischen Differenzierens.CreateSpace, 2015.

[Fre71]

Freund, E.: ZeitvariableMehrgrößensysteme, Band 57 der ReiheLecture Notes in Operations Research and Mathematical Systems. Springer-Verlag, Berlin, 1971.

[GEK10]

Graichen, K., M. Egretzberger und A. Kugi:Ein suboptimaler Ansatz zur schnellenmodellprädiktiven Regelung nichtlinearer Systeme.Automatisierungstechnik, 58(8):447–456, August 2010.

[GHZ05]

Graichen, K., V. Hagenmeyer und M. Zeitz: Anew approach to inversion-based feedforward control design fornonlinear systems. Automatica, 41(12):2033–2041, Dezember 2005.MathSciNetCrossRef

[GM82]

Garcia, C. E. und M. Morari: Internal model control. 1. A unifying review and some new results. Ind. Eng.Chem. Process Des. Dev., 21(2):308–323, 1982.

[Góm94]

Gómez, J. C.: Using Symbolic Computation for the Computer Aided Design of Nonlinear (Adaptive) Control Systems. In: IMACS World Congress on Computational and Applied Mathemathics, Atlanta, Juli 1994.

[GS01]

Guardabassi, G. O. und S. M. Savaresi:Approximate linearization via feedback — anoverview. Automatica, 37(1):1 – 15, 2001.MathSciNetCrossRef

[GTZ05]

Graichen, K., M. Treuer und M. Zeitz: FastSide-Stepping of the Triple Inverted Pendulum via Constrained Nonlinear Feed forward Control Design. In: Proc.IEEE Conf. on Decision and Control, European Control Conference(CDC-ECC), Seiten 1096–1101, Dezember 2005.

[GWRG06]

Gensior, A., O. Woywode, J. Rudolph und H. Güldner:On Differential Flatness, Trajectory Planning,Observers, and Stabilization for DC-DC Converts. IEEE Trans. on Circuits and Systems I, 53(9):2000–2010, September 2006.

[GZ06]

Graichen, K. und M. Zeitz:Inversionsbasierter Vorsteuerungsentwurf mit Ein-und Ausgangsbeschränkungen. Automatisierungstechnik,54(4):187–199, April 2006.

[HD03a]

Hagenmeyer, V. und E. Delaleau: Exact feedforward linearization based on differential flatness: The SISO case. In: Zinober, A. und D. Owens [ZO03], Seiten 161–170.

[HD03b]

Hagenmeyer, V. und E. Delaleau: Robustnessanalysis of exact feed forward linearization based on differential flatness. Automatica, 39(11):1941–1946, 2003.MathSciNetCrossRef

[Hor63]

Horowitz, I. M: Synthesis of feed backsystems. Academic Press, New York, London, 1963.

[HS91a]

Henson, M. A. und D. E. Seborg: Critique of exact linearization strategies for process control. Journal of Process Control, 1(3):122–139, 1991.CrossRef

[HS91b]

Henson, M. A. und D. E. Seborg: An internal model control strategy for non linear systems. AIChE Journal,37(7):1065–1081, 1991.MathSciNetCrossRef

[HS97]

Henson, M. A. und D. E. Seborg: Non linearProcess Control, Kapitel 4, Seiten 149–232. Prentice-Hall,Englewood Cliffs, New Jersey, 1997.

[HSK92]

Hauser, J., S. Sastry und P. Kokotovic:Non linear Control Via Approximate Input-Output-Linearization: The Ball and Beam Example. IEEE Trans. on Automatic Control, 37(3):392–398, 1992.

[Ise92]

Isermann, R.: Identifikation dynamischerSysteme 2. Springer, Berlin, Heidelberg, 2. Auflage, 1992.CrossRef

[Isi95]

Isidori, A.: Nonlinear Control Systems: An Introduction. Springer-Verlag, London, 3. Auflage, 1995.CrossRef

[KC87]

Kravaris, C. und C. B. Chung: Nonlinear state feedback synthesis by global input/output linearization. AIChE Journal, 33(4):592–603, 1987.MathSciNetCrossRef

[KHK+91]

Krener, A., M. Hubbard, S. Karaham, A. Phelps und B. Maag:Poincaré’s linearization method applied to thedesign of nonlinear compensators. In: Algebraiccomputing in control, Band 165 der Reihe Lecture Notes in Control and Information Science, Seiten 76–114.Springer, 1991.

[KKS17]

Kunze, A., C. Knoll und O. Schnabel:PyTrajectory — Python library for trajectorygeneration for nonlinear control systems, Februar 2017. https://doi.org/10.5281/zenodo.276212

[Kre84]

Krener, A. J.: Approximate linearization bystate feedback and coordinate change. Systems & Control Letters, 5:181–185, 1984.MathSciNetCrossRef

[Kre90]

Krener, A. J.: Nonlinear controll design viaapproximate normal forms. In: Grünbaum, F. A., J. W. Heltonund P. Khargonekar (Herausgeber): Signal Processing, Part 2: Control theory and its applications, Seiten 139–154. Springer-Verlag, New York, 1990.

[Kre99]

Kreisselmeier, G.: Struktur mit zweiFreiheitsgraden. Automatisierungstechnik, 47(6):266–269, 1999.

[KS98]

Koo, T. J. und S. Sastry: Output trackingcontrol design of a helicopter model based on approximatelinearization. In: Proc. IEEE Conf. on Decisionand Control (CDC), Band 4, Seiten 3635–3640, Dezember 1998.

[LL01]

Leith, D. J. und W. E. Leithead: Input-outputlinearisation of nonlinear systems with ill-defined relative degree:the ball and beam revisited. In: Proc. American Control Conference (ACC), Band 4, Seiten 2811–2816, 2001.

[LS91]

Lin, Y. und E. D. Sontag: A universal formulafor stabilization with bounded controls. Systems & Control Letters, 16(6):393 – 397, 1991.MathSciNetCrossRef

[Lud95]

Ludyk, G.: Theoretische Regelungstechnik 2: Zustandsrekonstruktion, optimale und nichtlineare Regelungssysteme. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1995.

[Lun97]

Lunze, J.: Regelungstechnik 2, Mehrgrößensysteme, Digitale Regelung. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 4. Auflage, 1997.CrossRef

[Lun07]

Lunze, J.: Regelungstechnik 1, Systemtheoretische Grundlagen, Analyse und Entwurf einschleifiger Regelungen. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 6. Auflage, 2007.

[Mar00]

Marlin, Th. E.: Process Control, DesigningProcesses and Control Systems for Dynamics Performance.McGraw-Hill, 2. Auflage, 2000.

[ML03]

Mahout, V. und Y. Labit: On the robustness ofa nonlinear flat control. In: Proc. Int. Conf.Control and Automation (ICCA), Seiten 620–624, Montreal, Kanada,Juni 2003.

[MS00]

Malisoff, M. und E. D. Sontag: Universal formulas for feedback stabilization with respect to Minkowskiballs. Systems & Control Letters, 40:247–260, 2000.MathSciNetCrossRef

[O’D09]

O’Dwyer, A.: Handbook of PI and PIDcontroller tuning rules. Imperial College Press, London, 2009.

[Pas11]

Paschke, F.: Untersuchung zum Reglerentwurfmittels exakter und approximativer Linearisierung durchRückführung. Diplomarbeit, TU Dresden, FakultätElektrotechnik und Informationstechnik, Institut für Regelungs-und Steuerungstheorie, 2011.

[PSS08]

Palis, S., M. Stamann und T. Schallschmidt:Nonlinear control design for magnetic bearings viaautomatic differentiation. In: Proc. Power Electronics and Motion Control Conference (PEMC), Seiten1660–1664, Poznan, Polen, September 2008.

[PV01a]

Piazzi, A. und A. Visioli: Optimalinversion-based control for the set-point regulation of nonminimum-phase uncertain scalar systems. IEEE Trans. on Automatic Control, 46(10):1654–1659, Oktober 2001.MathSciNetCrossRef

[PV01b]

Piazzi, A. und A. Visioli: Optimal noncausalset-point regulation of scalar systems. Automatica,37(1):121–127, 2001.MathSciNetCrossRef

[RC84]

Reboulet, C. und C. Champetier: A new Method for linearizing Nonlinear Systems: the Pseudolinearization. Int.J. Control, 40:631–638, 1984.

[Röb05]

Röbenack, K.: Regler- und Beobachterentwurf für nichtlineare Systeme mit Hilfe desAutomatischen Differenzierens. Shaker Verlag, Aachen, 2005.

[RP12]

Röbenack, K. und F. Paschke:Approximately linear tracking control of nonlinearsystems. Proc. in Applied Mathematics and Mechanics,12(1):713–714, 2012.

[RPK13]

Röbenack, K., F. Paschke und C. Knoll:Nonlinear Control with Approximately Linear TrackingError. In: Proc. European Control Conference(ECC), Seiten 149–154, Zürich, Juli 2013.

[RV00]

Röbenack, K. und O. Vogel: Numerische Systeminversion. Automatisierungstechnik, 48(10):487–495, Oktober2000.

[RV04]

Röbenack, K. und O. Vogel: Computation of state and input trajectories for flat systems using automatic differentiation. Automatica, 40(3):459–464, März 2004.MathSciNetCrossRef

[Sac05]

Sackmann, M.: Modifizierte Optimale Regelung– Stabilitätsorientierter nichtlinearer Reglerentwurf.Automatisierungstechnik, 53(8):367–377, August 2005.

[Sas99]

Sastry, S.: Nonlinear systems: Analysis, Stability, and Control. Springer-Verlag, New York, 1999.

[Sch07]

Schwarzmann, D.: Nonlinear Internal ModelControl with Automotive Applications. Dissertation, Ruhr-Universität Bochum, Fakultät für Elektrotechnik undInformationstechnik, 2007.

[Sci]

Home - Scilab. http://www.scilab.org/ .

[Sir02]

Sira-Ramírez, H.: On the generalized PIcontrol of some nonlinear mechanical systems. In: Proc. American Control Conference (ACC), Seiten839–844, Anchorage, Alaska, 2002.

[SJK97]

Sepulchre, R., M. Jankovic und P. Kokotović: Constructive Nonlinear Control. Springer, London,1997.CrossRef

[SLN06]

Schwarzmann, D., J. Lunze und R. Nitsche: AFlattness-Based Approach to Internal Model Control. In:Proc. American Control Conference (ACC), Seiten 5666–5671, Minneaplois, Minnesota, USA, Juni 2006.

[Son89]

Sontag, E. D.: A ‘universal’ construction of Artstein’s theorem on nonlinear stabilization. Systems &Control Letters, 13:117–123, 1989.MathSciNetCrossRef

[Son98]

Sontag, E. D.: Mathematical ControlTheory, Band 6 der Reihe Texts in Applied Mathematics. Springer-Verlag, 2. Auflage, 1998.

[YJPH01]

Yu, J., A. Jadbabaie, J. Primbs und Y. Huang: Comparison of nonlinear control design techniques ona model of the Caltech ducted fan. Automatica, 37(12):1971–1978, Dezember 2001.CrossRef

[ZFR06]

Zhang, F. und B. Fernandez-Rodriguez: Feedback linearization control of systems withsingularities: a ball-beam revisit. In: Proc. Int.Conf. on Complex Systems, 2006.

[Zim95]

Zimmer, G.: Ein nichtlinearer Regler für ein Hubschrauber-Rack auf der Basis differentialgeometrischer Methoden. Automatisierungstechnik, 43(7):347–356, 1995.

[ZO03]

Zinober, A. und D. Owens (Herausgeber):Nonlinear and Adaptive Control, Band 281 der Reihe Lecture Notes in Control and Information Science.Springer, 2003.

Title: Erweiterte Regelungskonzepte auf Basis der exakten Linearisierung
Author: Klaus Röbenack
Publisher: Springer Berlin Heidelberg
Book: Nichtlineare Regelungssysteme
Print ISBN: 978-3-662-44090-2

Electronic ISBN: 978-3-662-44091-9

Copyright Year: 2017
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-44091-9_5