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2017 | OriginalPaper | Buchkapitel

4. Reglerentwurf mittels exakter Linearisierung

verfasst von : Klaus Röbenack

Erschienen in: Nichtlineare Regelungssysteme

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Zusammenfassung

Dieses Kapitel legt die Grundlagen für den Reglerentwurf mittels exakter Linearisierung. Behandelt werden zunächst der relative Grad und die damit in Verbindung stehenden Normalformen nichtlinearer Systeme. Auf Basis dieserNormalformen lässt sich die jeweilige Systemdynamik durch eine Rückführung teilweise oder in bestimmten Fällen sogar vollständig linearisieren. Das sich daraus ergebende lineare System ist mit einer linearen Rückführung zu stabilisieren. Dieser Ansatz wird zunächst für eine spezielle Form von Eingrößensystemen behandelt und anschließend auf allgemeine nichtlineare Systeme und Mehrgrößensysteme übertragen. Zusätzlich wird die Verbindung zu flachen Systemen hergestellt.

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Fußnoten
1
Unter einer Normalform wird in diesem Buch die Darstellung eines mathematischen Objektes mit vorgegebenen Eigenschaften verstanden. Im Unterschied zu anderen Autoren wird hier keine Eindeutigkeit dieser Darstellung gefordert.
 
2
Mit der linearen Unabhängigkeit der Gradienten \({\mathrm{d}} h(p),\ldots,{\mathrm{d}} L_{f}^{r-1}h(p)\) wäre die Existenz eines lokalen Diffeomorphismus bereits nach Korollar 3.​43 gesichert. Das hier beschriebene Vorgehen ist jedoch in Hinblick auf die Berechnung der Koordinatentransformation einfacher.
 
3
Der Arkustangens \(\arctan\,(x_{2},x_{1})\) mit zwei Argumenten ermöglicht die Ermittlung des Winkels für alle vier Quadranten (mit Ausnahme des Nullpunkts). Im ersten Quadranten stimmt diese Funktion mit \(\arctan\,(x_{2}/x_{1})\) überein.
 
4
Ein Vektorfeld heißt vollständig, wenn es einen globalen Fluss besitzt (vgl. Abschn. 2.​3).
 
5
Falls eine (vollständige) Eingangs-Zustands-Linearisierung nicht möglich ist, kann man alternativ einen Ausgang mit maximalem relativen Grad suchen (siehe Abschn. 4.2.4).
 
6
Die praktische Berechnung eines Annihilators wird in den Beispielen 3.​27 bis 3.​29 vorgeführt.
 
7
Das eingeprägte Drehmoment τ2 wirkt auf \(q_{2}=x_{2}\), so dass für eine kollokierte partielle Linearisierung der Ausgang y = x2 zu verwenden ist. Für diese Eingangs-Ausgangs-Kombination hat das System den relativen Grad r = 2.
 
8
Im Unterschied zu anderen Autoren [BZ83], die die Lie-Ableitung als totale Zeitableitung verstehen und dann auch Ableitungen \(\dot{u},\ddot{u},\ldots\) des Eingangs u einbeziehen, bilden wir die Lie-Ableitung nur in Richtung des Zustands x.
 
9
Mechanische Systeme, bei denen für jeden mechanischen Freiheitsgrad ein Stelleingriff zur Verfügung steht, nennt man vollständig direkt gesteuert oder vollständig aktuiert.
 
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Metadaten
Titel
Reglerentwurf mittels exakter Linearisierung
verfasst von
Klaus Röbenack
Copyright-Jahr
2017
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Buch
Nichtlineare Regelungssysteme

Print ISBN: 978-3-662-44090-2

Electronic ISBN: 978-3-662-44091-9

Copyright-Jahr: 2017

DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-44091-9_4

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