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About this book

Viele Studierende der Ingenieurwissenschaften beklagen, dass sie in Grundlagenvorlesungen zur Mathematik nicht erkennen, wozu sie die Techniken in ihrem Fach benötigen. Das vorliegende Buch zeigt an vier spannenden Anwendungen aus den Bereichen Regelungstechnik, Thermodynamik und Bauphysik, wie Mathematik Antworten auf konkrete Fragen aus dem Ingenieuralltag gibt. Anhand abwechslungsreicher Arbeitsanleitungen führt das Buch Schritt für Schritt vom spannenden Praxisproblem zur Antwort. Die einzelnen Kapitel enthalten hilfreiche Hinweise und ausführliche Lösungen. Alle Projekte wurden an der Ruhr-Universität Bochum mit Studierenden erprobt.

Table of Contents

Frontmatter

Balancieren mit Differentialgleichungen: Der Segway

Frontmatter

1. Die Aufgabe

Zusammenfassung
Ein Segway (kurz für Segway Personal Transporter) ist ein Hingucker und ein Beispiel für faszinierende Alltagstechnik: Eigentlich müsste der Elektromotorroller umfallen, da seine aufrechte Position instabil ist, doch er balanciert sich aus – eine Regelung sorgt für die richtige Ansteuerung der Motoren. So trotzt das Gerät scheinbar der Schwerkraft. Durch Gewichtsverlagerung kann der Fahrer darüber hinaus die Fahrtrichtung vorgeben und den Segway steuern.
Jörg Härterich, Aeneas Rooch

2. Die Schritte zum Ziel

Zusammenfassung
Um zu verstehen, wie ein Segway die Balance hält, betrachten wir ein etwas einfacheres Problem: Wir wollen herausfinden, wie sich ein inverses Pendel nur durch horizontales Bewegen seines Aufhängepunkts so beeinflussen lässt, dass es in seiner instabilen oberen Ruhelage, das heißt auf dem Kopf, stehen bleibt.
Jörg Härterich, Aeneas Rooch

3. Die Lösungen

Zusammenfassung
Im Internet lässt sich viel Material finden, um anschaulich vorzustellen, was ein Segway ist und wie er funktioniert – von technischen Daten und Konstruktionsskizzen bis hin zu humorvollen Videos mit Kunststücken. Hier ist es der Kreativität und dem Engagement der Teilnehmer überlassen, welche Aspekte sie vorstellen und wie sie die Vorstellung gestalten. Auch über inverse Pendel lässt sich Einiges finden; da später aber ohnehin die Bewegungsgleichungen für das inverse Pendel vom Dozenten vorgestellt werden müssen, kann auch die gesamte Einführung des Modells vom Dozenten übernommen und die Aufgabe entsprechend reduziert werden. Wichtig ist in jedem Falle jedoch vor allem die Einsicht, dass ein inverses Pendel einem stehenden Segway entspricht und die Regelung eines fahrenden Segways, das sich durch Gewichtsverlagerung steuern lassen soll, entsprechend schwieriger ist.
Jörg Härterich, Aeneas Rooch

4. Das Experiment

Zusammenfassung
Ohne Frage resultiert der Charme des Segway-Projektes aus dem zugehörigen Experiment. Jedem, der schon einmal versucht hat, einen Stab aufrecht auf der Hand zu balancieren, wird schnell klar, dass die Aufgabe, den Segway oder das inverse Pendel zu stabilisieren, nicht einfach umzusetzen ist. Umso mehr überrascht es dann, wenn man die berechnete Reglermatrix K in den Rechner einspeist und das Pendel – wie durch Magie – in der aufrechten Position verbleibt. Selbst kleine Störungen – wie etwa Stöße – werden von der Regelung kompensiert. Mit einem Schlag wird deutlich, dass sich der betriebene Rechenaufwand auszahlt und abstrakte mathematische Konzepte im Ingenieurwesen nicht nur berechtigt, sondern zum Teil schlicht unumgänglich sind.
Jörg Härterich, Aeneas Rooch

5. Exemplarischer Zeitplan

Zusammenfassung
Exemplarischer Zeitplan
Jörg Härterich, Aeneas Rooch

Cool bleiben: Design eines Rippenkühlers

Frontmatter

6. Die Aufgabe

Zusammenfassung
Computer, Notebooks, Tablets oder auch Smartphones benötigen zum Funktionieren elektrische Energie. Diese Energie wird, da diese Geräte im allgemeinen keine sich bewegenden Teile besitzen, ausschließlich in Form von Wärme wieder abgegeben und kann bei rechenintensiven Anwendungen dazu führen, dass sich das Gerät innerhalb kurzer Zeit überhitzt und möglicherweise irreparablen Schaden nimmt. Die Wärme entsteht einerseits durch den OhmschenWiderstand der elektronischen Bauteile, aber auch beim Schalten der vielen winzigen Transistoren.
Jörg Härterich, Aeneas Rooch

7. Die Schritte zum Ziel

Zusammenfassung
Damit wir uns später Gedanken über den Aufbau eines möglichst effektiven Kühler für den Prozessor (CPU) eines PCs machen können, müssen wir zunächst verstehen, welche Mechanismen dafür sorgen, dass Wärme von einem Ort zu einem anderen übertragen wird.
Jörg Härterich, Aeneas Rooch

8. Die Lösungen

Zusammenfassung
Wärmeübertragung erfolgt immer von ”warm“ zu ”kalt“ und kann auf drei unterschiedliche Arten erfolgen.
Jörg Härterich, Aeneas Rooch

9. Exemplarischer Zeitplan

Zusammenfassung
Exemplarischer Zeitplan
Jörg Härterich, Aeneas Rooch

Mit Trigonometrie schaukelfrei ans Ziel: Kransteuerung

Frontmatter

10. Die Aufgabe

Zusammenfassung
Wenn Container mit einem Brückenkran bewegt werden, können sie durch das Beschleunigen und Abbremsen der Krankatze sowie durch äußere Kräfte in Schwingung versetzt werden und über das Transportziel hinausschwingen. Diese Lastpendelungen sind nicht nur gefährlich, weil sie Kollisionen verursachen können, sondern führen auch zu Verzögerungen, da die Last vor dem Absetzen auspendeln muss.
Jörg Härterich, Aeneas Rooch

11. Die Schritte zum Ziel

Zusammenfassung
Der Einfachheit halber nehmen wir an, der Container am Kranseil sei ein mathematisches Fadenpendel (das heißt, die Masse sei punktförmig und das Seil masselos), dessen Drehpunkt beschleunigt werden kann, siehe Abb. 11.1.
Jörg Härterich, Aeneas Rooch

12. Die Lösungen

Zusammenfassung
Die Lösungen
Jörg Härterich, Aeneas Rooch

13. Exemplarischer Zeitplan

Zusammenfassung
Exemplarischer Zeitplan
Jörg Härterich, Aeneas Rooch

Immer mit der Ruhe: Schwingungstilgung

Frontmatter

14. Die Aufgabe

Zusammenfassung
Schon eine kleine Windböe kann für Hochhäuser, Brücken und Schornsteine zur großen Gefahr werden: Sie kann die Bauwerke so stark zum Schwingen anregen, dass sie einstürzen. So versetzte 1940 ungünstiger Wind (kein Sturm!) die drittgrößte Hängebrücke der Welt, die über 800 Meter lange Tacoma Narrows Bridge im US-Bundesstaat Washington, in Schwingung, sodass sie sich immer weiter aufschaukelte, bis Stahlseile und Betonfahrbahn schließlich zerrissen und die Brücke einstürzte. Doch nicht nur Wind kann diese verheerenden Auswirkungen haben: Auch Erdbeben können Bauwerke zu Bewegungen anregen, und sogar Fußgänger, die nicht einmal im Gleichschritt marschieren, können eine Brücke gefährlich in Schwingungen versetzen, wie sich im Jahr 2000 bei der Millennium Bridge in London zeigte.
Jörg Härterich, Aeneas Rooch

15. Die Schritte zum Ziel

Zusammenfassung
Um herauszufinden, wie Sie die Bewegung der Masse stabilisieren und tilgen können, müssen Sie zuerst verstehen, wie sich die Masse bewegt und welchen Einfluss die äußere Anregung auf die Bewegung hat.
Jörg Härterich, Aeneas Rooch

16. Die Lösungen

Zusammenfassung
Wir stellen aus der Kräftebilanz die homogene DGL auf, die das System beschreibt, und lösen sie.
Jörg Härterich, Aeneas Rooch

17. Das Experiment

Zusammenfassung
Das Beispiel eines getilgten Schwingersystems haben wir aus mehreren Gründen gewählt: Zum einen sind Schwingungen und ihre Tilgung sowohl im Maschinenbau als auch im Bauingenieurwesen von großer Bedeutung, zum anderen bereitet es häufig Schwierigkeiten, in Vorlesungen und Übungsgruppen bei Studentinnen und Studenten Verständnis für die mathematischen Begrifflichkeiten Eigenwert und Eigenvektor zu wecken, die zur Lösung von Tilgungsproblemen nötig sind – in manchen Fällen schrecken die abstrakten Konzepte sogar so stark ab, dass sie zu Resignation führen. Daher bietet es sich an, die mathematischen Objekte Eigenwert und Eigenvektor durch einen experimentellen Aufbau in ihr jeweiliges mechanisches Synonym Eigenfrequenz und Eigenform zu überführen. In einem physikalisch-experimentellen Kontext sind die Begriffe naturgemäß oft einfacher zu erfassen als in einem mathematisch-theoretischen Zusammenhang. Aus diesem Grund haben wir einen experimentellen Aufbau entworfen, dessen Herstellung und Anwendung wir im Folgenden erläutern.
Jörg Härterich, Aeneas Rooch

18. Exemplarischer Zeitplan

Zusammenfassung
Exemplarischer Zeitplan
Jörg Härterich, Aeneas Rooch
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