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2014 | OriginalPaper | Chapter
Ganze Ringerweiterungen und Dedekindringe
Authors : Prof. Dr. Jens Carsten Jantzen, Prof. Dr. Joachim Schwermer
Published in: Algebra
Publisher: Springer Berlin Heidelberg
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Dem Begriff der algebraischen Körpererweiterung entspricht in der Ringtheorie der Begriff der ganzen Ringerweiterung, der bei Anwendungen in der algebraischen Geometrie und in der algebraischen Zahlentheorie eine große Rolle spielt. Im zweiten Fall betrachtet man als zentrale Objekte für jede endliche Körpererweiterung
K
$$/\mathbb{Q}$$
den größten Unterring von
K
, der ganz über
$$\mathbb{Z}$$
ist — den Ring der ganzen Zahlen in
K
. Diese Ringe sind im Gegensatz zu
$$\mathbb{Z}$$
im allgemeinen keine Hauptidealringe mehr. Sie haben aber statt einer Zerlegung der Elemente in Primfaktoren eine (eindeutige) Zerlegung der Ideale als Produkte von Primidealen. Diese von Dedekind entdeckte Tatsache führt zum allgemeinen Begriff eines Dedekindringes, der nicht nur solche Zahlringe, sondern auch Ringe von algebraischen Funktionen umfaßt.