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2012 | Book

Aussagenlogik Read chapter Read first chapter

Grundkurs Wirtschaftsmathematik

Prüfungsrelevantes Wissen – Praxisnahe Aufgaben – Komplette Lösungswege

Authors: Benjamin Auer, Dipl.-Betriebsw. (FH), Dr. Franz Seitz

Publisher: Gabler Verlag

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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Table of Contents

Frontmatter

Allgemeine Grundlagen

Frontmatter
1. Aussagenlogik
Zusammenfassung
Unter Logik versteht man allgemein die Lehre vom folgerichtigen Denken, d. h. vom korrekten Schließen aufgrund gegebener Aussagen. Die Aussagenlogik verfolgt zunächst allgemein das Ziel, Aussagen mittels eines einfachen Formalismus in eine mathematische Form zu übertragen. Die so transformierten Aussagen können dann formal auf ihren Aussagegehalt überprüft, zu neuen Aussagen verknüpft oder Schlussfolgerungen aus ihnen gezogen werden. Mit diesen drei wesentlichen Themenbereichen werden wir uns im Folgenden auseinandersetzen.
Benjamin Auer, Franz Seitz
2. Mengenlehre
Zusammenfassung
In diesem Abschnitt geben wir einen kompakten Überblick über wesentliche Grundlagen der Mengenlehre, die im weiteren Verlauf noch relevant sein werden. Neben der allgemeinen Definition und Darstellung von Mengen gehen wir dabei auf spezielle Mengen, Beziehungen zwischen Mengen, Mengenoperationen und auch auf bedeutende Regeln und Gesetze ein, die bei Mengenoperationen zu beachten sind.
Benjamin Auer, Franz Seitz
3. Grundlagen der Arithmetik
Zusammenfassung
In diesem zentralen Abschnitt unseres Einführungskapitels behandeln wir die wichtigsten Regeln für das Rechnen mit reellen Zahlen. Beginnend mit allgemeinen Rechenregeln, dem Lösen einfacher linearer Gleichungen, kompakter Darstellung mathematischer Ausdrücke durch Summen- und Produktzeichen und dem Umgang mit Ungleichungen und Absolutbeträgen legen wir unseren Schwerpunkt auf die von vielen Studienanfängern gefürchteten Potenzen, Wurzeln und Logarithmen bzw. die für sie geltenden Rechenvorschriften. In diesem Zusammenhang gehen wir außerdem auf das Lösen quadratischer, Wurzel-, Exponenzial- und Logarithmusgleichungen ein.
Benjamin Auer, Franz Seitz
4. Aufgaben
Zusammenfassung
Geben Sie für folgende Aussagenkombinationen an, ob die Aussage A jeweils notwendig und/oder hinreichend für die Aussage B ist!
Benjamin Auer, Franz Seitz

Finanzmathematik

Frontmatter
5. Folgen und Reihen
Zusammenfassung
In diesem Teilabschnitt legen wir mit arithmetischen und geometrischen Folgen und Reihen das für die Finanzmathematik notwendige formale Fundament. Wir behandeln dabei in den Abschnitten II 1.1 und II 1.2 zunächst endliche Folgen und Reihen, dass heißt solche, deren Glieder abzählbar sind. Im Abschnitt II 1.3 gehen wir kurz auf einige ausgewählte unendliche Reihen ein. Wir werden dabei unter anderem sehen, dass die Euler'sche Zahl e aus einer speziellen unendlichen Reihe resuliert.
Benjamin Auer, Franz Seitz
6. Finanzmathematische Anwendung
Zusammenfassung
Nach Behandlung der Begriffe Folgen und Reihen sind wir nun in der Lage, uns dem Themenkomplex der Finanzmathematik zuzuwenden. Beginnend mit der Erklärung allgemeiner Begrifflichkeiten und verschiedener Arten von Verzinsungen legen wir unseren Schwerpunkt dabei auf Einmalanlagen, Raten- (regelmäßige Einzahlungen) und Rentenverträge (regelmäßige Auszahlungen), Kreditverträge sowie verschiedene Arten von Abschreibungen.
Benjamin Auer, Franz Seitz
7. Aufgaben
Zusammenfassung
Frau S. will 150.000 Euro für fünf Jahre anlegen. Sie erhält 2 Angebote. Bank A bietet 6,5 % Zinsen bei jährlichem Zinstermin. Bank B zahlt nach 5 Jahren 200.000 Euro aus.
Benjamin Auer, Franz Seitz

Funktionen einer Variablen

Frontmatter
8. Funktionsbegriff und Funktionseigenschaften
Zusammenfassung
In diesem Abschnitt definieren wir allgemein den Funktionsbegriff, veranschaulichen die Möglichkeiten der Darstellung von Funktionen (Funktionsgleichung, Wertetabelle, Graf) und legen besonderes Augenmerk auf zentrale Eigenschaften von Funktionen (Nullstellen, Extrema, Steigung, Beschränktheit, Krümmung, Symmetrie, Grenzwerte und Stetigkeit).
Benjamin Auer, Franz Seitz
9. Elementare Funktionen
Zusammenfassung
Inhalt dieses Abschnitts ist die detaillierte Betrachtung elementarer mathematischer Funktionen. Konkret behandeln wir algebraische (ganz rationale, gebrochen rationale, Potenz- und Wurzelfunktionen), transzendente (Exponenzial- und Logarithmusfunktionen) und einige Sonderfunktionen (Absolut-, Maximum-, Minimum-, Vorzeichenfunktion). Im Anschluss daran gehen wir auf wichtige ökonomische Funktionen ein. Insbesondere beschreiben wir Angebots- und Nachfrage-, Kosten-, Umsatz- und Gewinnfunktionen.
Benjamin Auer, Franz Seitz
10. Differenzialrechnung
Zusammenfassung
Die Differenzialrechnung wird überwiegend zur Analyse von Funktionseigenschaften (Extrema, Wendepunkte usw.) eingesetzt. Aufgrund ihrer enormen Bedeutung definieren wir daher im Folgenden nach einem kurzen allgemeinen Abschnitt zunächst den Begriff des Differenzialquotienten einer Funktion y = f(x), der auch als erste Ableitung von f(x) nach x bezeichnet wird. Da generell die Bestimmung des Differenzialquotienten ein aufwändiger Vorgang ist, stellen wir außerdem vereinfachte Techniken zur Differenzierung vor. Den Nutzen der Differenzialrechnung veranschaulichen wir schließlich im Rahmen allgemeiner Kurvendiskussionen, ökonomischer Funktionen, Elastizitäten, Wachstumsraten, dem Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung und der Regel von l'Hospital.
Benjamin Auer, Franz Seitz
11. Aufgaben
Zusammenfassung
Handelt es sich bei den folgenden Kurven um Funktionen? Begründen Sie Ihre Aussagen!
Benjamin Auer, Franz Seitz

Funktionen mehrerer Variablen

Frontmatter
12. Begriff, Darstellung, Eigenschaften
Zusammenfassung
Nach einer begrifflichen Einführung in Funktionen mehrerer Variablen legen wir in diesem Abschnitt unser Hauptaugenmerk auf Darstellungsmöglichkeiten derartiger Funktionen und ihre Eigenschaften. Neben der klassischen Funktionsgleichung und Wertetabellen werden wir für Funktionen mit zwei unabhängigen Veränderlichen Grafen im dreidimensionalen Raum näher betrachten. Bei den Funktionseigenschaften behandeln wir speziell Nullstellen, Extrema, Steigung, Krümmung, Grenzwerte und Stetigkeit.
Benjamin Auer, Franz Seitz
13. Differenzialrechnung
Zusammenfassung
Im Abschnitt IV 1.3 hatten wir gesehen, dass sich in jedem Punkt einer Fläche unterschiedliche Steigungen (und Krümmungen) ergeben können, je nachdem, für welche Schnittkurve durch den entsprechenden Punkt wir sie messen. Diese Problematik führt zur Berechnung einer richtungsabhängigen Steigung (bzw. Krümmung) und läuft formal auf die Bestimmung partieller Ableitungen einer Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen hinaus (vgl. IV 2.2 und IV 2.3). Diese werden u. a. auch in diversen ökonomischen Anwendungen (vgl. IV 2.4), bei partiellen und totalen Differenzialen (vgl. IV 2.5) und zur Extremwertbestimmung mit oder ohne Nebenbedingungen benötigt (vgl. IV 2.6).
Benjamin Auer, Franz Seitz
14. Aufgaben
Zusammenfassung
Bilden Sie die ersten partiellen Ableitungen der nachfolgenden Funktionen!
Benjamin Auer, Franz Seitz

Integralrechnung

Frontmatter
15. Begriff und Integrationstechnik
Zusammenfassung
Nach Klärung des Begriffs des unbestimmten Integrals werden wir uns in diesem Abschnitt spezieller (nicht-numerischer) Integrationstechniken widmen, die uns schließlich im Rahmen von Flächenberechnungen über bestimmte und uneigentliche Integrale nützliche Dienste erweisen werden. Wir werden dabei feststellen, dass diese nicht so schematisch angewendet werden können, wie z. B. die Differenziationsregeln. Numerische Integrationsverfahren werden erst in Abschnitt V 2 im Zusammenhang mit ökonomischen Anwendungen der Integralrechnung behandelt.
Benjamin Auer, Franz Seitz
16. Ökonomische Anwendungen
Zusammenfassung
Die Integration wird in den Wirtschaftswissenschaften meist angewendet, um vom Grenzverhalten ökonomischer Funktionen auf die Funktion selbst zu schließen. Neben dieser unmittelbar aus der Definiton der Integration als Umkehroperation der Differenziation ableitbaren Anwendung, die z. B. im Kontext von Kosten-, Umsatz- und Gewinnfunktionen relevant ist, wollen wir uns in diesem Abschnitt mit den Themen Produzenten- und Konsumentenrente, Kapitalstock und Investitionen sowie ausgewählten Themen der Wahrscheinlichkeitsrechnung widmen. Im Zusammenhang mit Letzteren werden wir die Rechtecks- und Trapezintegration als Verfahren der numerischen Integration näher beleuchten.
Benjamin Auer, Franz Seitz
17. Aufgaben
Zusammenfassung
Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale!
Benjamin Auer, Franz Seitz

Lineare Algebra

Frontmatter
18. Vektoren
Zusammenfassung
Vektoren stellen Zusammenfassungen mehrerer Größen zu einer neuen Einheit dar, in der die einzelnen Größen jedoch enthalten bleiben. Sie lassen sich vergleichen und unter bestimmten Voraussetzungen grafisch darstellen. Auch diverse Rechenoperationen sind mit ihnen möglich. All dies ist Thema dieses ersten Abschnitts. Darüber hinaus klären wir in diesem Abschnitt die Begriffe der linearen Unabhängigkeit sowie des Skalarprodukts von Vektoren, da diese für die weiteren Abschnitte zentrale Bedeutung haben.
Benjamin Auer, Franz Seitz
19. Matrizen
Zusammenfassung
Fassen wir mehrere gleichdimensionale und sachlogisch verwandte Vektoren zusammen, entstehen mehrdimensionale, rechteckige Zahlenfelder, die als Matrizen bezeichnet werden. Sie sind Thema dieses Abschnitts. Wie bei den Vektoren werden wir auch hier Ordnungsrelationen und verschiedene Rechenoperationen behandeln. Darüber hinaus beschäftigen wir uns mit hinsichtlich ihrer Struktur oder Anordnung der Elemente speziellen Matrizen und mit der Bedeutung der linearen Abhängigkeit für Matrizen, die zum Begriff des Rangs einer Matrix führt.
Benjamin Auer, Franz Seitz
20. Lineare Gleichungssysteme
Zusammenfassung
In der Praxis können wir viele Problemstellungen als lineare Gleichungssysteme modellieren. Für den Wirtschaftswissenschaftler ist es daher nützlich, fundierte Kenntnisse über Eigenschaften, Lösung und Anwendung linearer Gleichungssysteme zu besitzen. Nach einer Einführung in die Thematik werden wir uns daher in diesem Abschnitt primär mit der Lösung linearer Gleichungssysteme beschäftigen. Eng damit verbunden ist das Thema der linearen Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Vektoren. Zur Lösung eines linearen Gleichungssystems wird der sog. Gauß'sche Lösungsalgorithmus herangezogen. Mit ihm lässt sich auch die Frage nach der linearen Unabhängigkeit beantworten.
Benjamin Auer, Franz Seitz
21. Determinanten
Zusammenfassung
Jeder quadratischen Matrix kann eine reelle Zahl, die sich aus den Elementen der Matrix bestimmen lässt, eindeutig zugeordnet werden. Diese Zahl wird als ihre Determinante bezeichnet. Beginnend mit Methoden zur Berechnung von Determinanten legen wir unser Hauptaugenmerk in diesem Abschnitt auf Anwendungen von Determinanten. So können wir mit ihrer Hilfe z. B. Aussagen über den Rang von Matrizen machen, Inversen bestimmen und lineare Gleichungssysteme lösen.
Benjamin Auer, Franz Seitz
22. Lineare Optimierung
Zusammenfassung
Anders als der Begriff vielleicht vermuten lässt, ist die lineare Optimierung ein wichtiges Teilgebiet der linearen Algebra und keine Optimierung unter Nebenbedingungen, die man der Analysis zuordnen würde. Zur Lösung linearer Optimierungsprobleme versagen nämlich die Methoden der Analysis, da die zu optimierende (maximierende, minimierende) Funktion linear ist. Zur Lösungsfindung sind lineare Transformationen erforderlich, sodass eine Einordnung bei der linearen Algebra gerechtfertigt ist. Bekanntestes Lösungsverfahren ist das Simplexverfahren, das neben allgemeinen Grundlagen Thema dieses Abschnitts ist.
Benjamin Auer, Franz Seitz
23. Aufgaben
Zusammenfassung
Sind die folgenden Vektoren a, b und c linear unabhängig?
Benjamin Auer, Franz Seitz

Lösungen

Frontmatter
24. Allgemeine Grundlagen
Benjamin Auer, Franz Seitz
25. Finanzmathematik
Benjamin Auer, Franz Seitz
26. Funktionen einer Variablen
Benjamin Auer, Franz Seitz
27. Funktionen mehrerer Variablen
Benjamin Auer, Franz Seitz
28. Integralrechnung
Benjamin Auer, Franz Seitz
29. Lineare Algebra
Benjamin Auer, Franz Seitz
Backmatter
Metadata
Title
Grundkurs Wirtschaftsmathematik
Authors
Benjamin Auer, Dipl.-Betriebsw. (FH)
Dr. Franz Seitz
Copyright Year
2012
Publisher
Gabler Verlag
Electronic ISBN
978-3-8349-6925-5
Print ISBN
978-3-8349-2932-7
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-8349-6925-5