Grundlagen digitaler Filter

Im Mittelpunkt der folgenden Betrachtungen steht die zumeist theoretische Behandlung spezieller technischer Systeme, die man digitale Filter nennt.

Der vorliegende Abschnitt beschäftigt sich zunächst mit den bereits einleitend erwähnten zeitdiskreten Signalen (Folgen); in diesem Rahmen wird u.a. das Abtasttheorem wiedergegeben und die Faltungsoperation erläutert.

Die im vorigen Abschnitt eingeführten Faltungssummen und Differenzengleichungen sind Systembeschreibungen im Zeitbereich , da sie Folgen, also zeitdiskrete Signale miteinander verknüpfen. Mit Hilfe der z-Transformation, einer Funktionaltransformation von Folgen, lassen sich alternative Darstellungsformen für zeitdiskrete Signale und Systeme in einer komplexen Ebene, dem sog. z-Bereich gewinnen. Während sich Zeitbereichsbeschreibungen, etwa in Form der Differenzengleichung (2.40), unmittelbar zur Rechnerimplementierung und somit zur Simulation oder gar zur Realisierung zeitdiskreter Systeme eignen, können systemtheoretische Zusammenhänge oft einfacher im z-Bereich wiedergegeben und untersucht werden. Wesentlich ist beispielsweise, daß die Faltung im Zeitbereich der Multiplikation im z-Bereich entspricht. In dieser Beziehung gleicht die z-Transformation der Laplace-Transformation, die aus der Theorie zeitkontinuierlicher Signale und Systeme bekannt ist; später wird deutlich, daß es weitere Parallelen gibt.

Es seien H(z), X(z) und Y(z) z-Transformierte von Impulsantwort {h(k)},Eingangsfolge {x(k)} bzw. Ausgangsfolge {y(k)} eines zeitdiskreten Systems, das den in Abschnitt 2.2.4. zusammengefaßten Voraussetzungen genügt: Da {h(k)} eine kausale Folge ist, besteht das Konvergenzgebiet von H(z) aus der gesamten z-Ebene mit Ausnahme einer Kreisscheibe |z| ≤ R . Sofern sich dieses Konvergenzgebiet zumindest teilweise mit demjenigen von X(z) deckt, kann der Faltungssatz (3.15b) auf {h(k)} und {x(k)} angewandt werden, so daß sich aus dem Faltungsausdruck die alternative Systembeschreibung ergibt. Mit Gl. (4.4) wird die Bezeichnung Übertragungsfunktion für die z-Transformierte einer Impulsantwort verständlich.

Zur technischen Realisierung eines zeitdiskreten Systems, dessen Ein/Ausgangs-verhalten durch eine Übertragungsfunktion der Form charakterisiert wird, bietet sich die rekursive Auswertung der zugehörigen Differenzengleichung an:

Zur Lösung verschiedener netzwerktheoretischer Probleme sind die in der Signalflußgleichung eines Netzwerkes miterfaßten inneren Größen V_i. nicht von unmittelbarer Bedeutung.^*) In diesem Zusammenhang ist es zweckmäßig, diese Größen aus einer gegebenen Netzwerkbeschreibung zu eliminieren. Das resultierende Gleichungssystem, das lediglich Eingangs-, Ausgangs- und Zustandsgrößen miteinander verknüpft, heißt Zustandsdarstellung. Wie bereits in Abschnitt 6. angedeutet, erklärt sich diese Bezeichnung mit der Eigenschaft der Zustandsfolgen {u(k)} = Z^-1 [U], in jedem Zeitpunkt \({{\rm{t}}_{{{\rm{k}}_{\rm{0}}}}}\) die Vergangenheit eines Netzwerkes, die durch den Anfangszustand u(-∞) und die bis dahin wirkenden Eingangsfolgen geprägt wird, insoweit widerzuspiegeln, als dies für die Zukunft bedeutsam ist. In Übereinstimmung mit den Überlegungen des Abschnitts 2.2. wird hier stets vorausgesetzt, daß sich die behandelten Netzwerke anfänglich, d. h. bei t_k =t_-∞, im Ruhezustand u(-∞) = 0 befinden und solange in diesem Zustand verharren, bis die Eingangsfolgen erstmals von Null verschiedene Werte aufweisen. Wenn im folgenden vereinzelt nichtverschwindende Anfangszustände u(k₀ ) mit k ₀ > -∞ betrachtet werden, so wird dabei entweder eine vorausgegangene Erregung oder eine Störung des Ruhezustandes angenommen.

Im vorliegenden Abschnitt werden Verfahren zum Entwurf von IIR-Systemen mit einem Eingang und einem Ausgang beschrieben, die durch Vorschriften bezüglich ihrer Impulsantwort oder ihres Frequenzganges spezifiziert sind.

Mit den im vorigen Abschnitt erörterten Methoden lassen sich IIR-Systeme entwerfen, die in vielen praktisch interessanten Fällen vorgeschriebene Amplitudengänge hinreichend genau approximieren. Besonders leistungsfähig ist das auf elliptischen Funktionen basierende Approximationsverfahren, das zu Cauer-Filtern führt; es ist in bezug auf die erreichbaren Flankensteilheiten eines Amplitudenganges den restlichen Standardalgorithmen weit überlegen, wenn man von gleichem Systemgrad ausgeht. Diesen hervorragenden Selektionseigenschaften eines Cauer-Filters steht jedoch in der Regel ein wenig vorteilhaftes Gruppenlaufzeitverhalten gegenüber. Derartige Filter sind deshalb nicht für Anwendungen erstrebenswert, bei denen Gruppenlaufzeitverzerrungen nach Möglichkeit vermieden werden müssen. Diese Bedingungen sind z.B. bei der Verarbeitung und Übertragung von Bild- und Datensignalen zu berücksichtigen. In manchen Fällen ist ein ausreichender Gruppenlaufzeitausgleich mit Hilfe von Allpässen, die dem laufzeitverzerrenden Filter nachgeschaltet werden, möglich. Auf diese Weise kann jedoch bei vertretbarer Aufwandserhöhung nur ein näherungsweise konstanter Gruppenlaufzeitgang erzielt werden.

In den vorangegangenen Abschnitten wurde stets angenommen, daß sowohl die inneren und äußeren Signale als auch die Multipliziererkoeffizienten zeitdiskreter Netzwerke in ihrem Wertebereich ausschließlich aus Stabilitätsgründen beschränkt sind und innerhalb derart bedingter Grenzen beliebige reelle Zahlenwerte annehmen können. Aufgrund dieser Idealisierungen, die ihre Rechtfertigung in der relativ einfachen mathematischen Behandlung der betrachteten Systeme finden, charakterisieren die untersuchten Modelle das Verhalten digitaler Filter in der Regel nur näherungsweise.