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2012 | OriginalPaper | Chapter
Integration messbarer Funktionen
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Nachdem wir nunmehr Maße zu Verfügung haben, insbesondere das Lebesguesche Maß, können wir Integrale definieren. Damit eine auf einem Maßraum (Ω,??,
µ
) definierte numerische Funktion
f
integrierbar ist, ist zunächst einmal Voraussetzung, dass
f
messbar ist, d.h. dass für jede reelle Zahl
c
die Menge {
x
∈ Ω :
f
(
x
) ≥
c
} zur σ-Algebra ?? gehört. Insbesondere ist die charakteristische Funktion
Χ
A
einer Teilmenge
A
⊂ Ω genau dann messbar, wenn A ∈ ??. In diesem Fall ist das Integral ∫
Χ
A
dµ
definitionsgemäß gleich µ(
A
). Verlangt man noch die Linearität sowie die Vertauschbarkeit des Integrals mit monotonen Limiten, so ergibt sich die allgemeine Definition des Integrals fast automatisch.