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Published in:
2015 | OriginalPaper | Chapter
4. Kongruenzen und Ideale
Author : Rainer Schulze-Pillot
Published in: Einführung in Algebra und Zahlentheorie
Publisher: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
In diesem Kapitel geht es zunächst um Aussagen über ganze Zahlen, die man dadurch erhält, dass man statt mit den Zahlen selbst mit den Resten rechnet, die diese bei Division durch ein festes \(m\in{{\mathbb{N}}}\) lassen. Will man Analoga dieser Ideen für allgemeine kommutative Ringe formulieren und beweisen, wird man auf den Begriff des Ideals in einem Ring sowie auf das Rechnen in Restklassenringen geführt. Zentrale Sätze sind der Homomorphiesatz für Ringe sowie der chinesische Restsatz über Lösungen von Systemen simultaner Kongruenzen. In einem ergänzenden Abschnitt wird der Ring \(m\in{{\mathbb{Z}}}\)[i] der ganzen Gauß’schen Zahlen behandelt und mit seiner Hilfe das Problem gelöst, welche ganzen Zahlen Summen von zwei Quadraten sind.