Küpfmüller Theoretische Elektrotechnik

Viele technische Aufgaben können im Prinzip durch Probieren gelöst werden, z. B. der Bau eines Elektromotors oder einer Verstärkerröhre oder einer Fernsprechverbindung. Beim Bau eines Transistors oder einer mikro- oder gar nanoelektronischen Schaltung in integrierter Technologie ist das jedoch nicht mehr so einfach und kann bei fehlerhaften Ergebnissen hohe Kosten verursachen.

In der Einleitung zu diesem Buch wurde zunächst einmal versucht, die Gegenstände etwas näher zu charakterisierten, die im folgenden betrachten werden sollen. Jedoch hat Ludwig [171] bereits im ersten Band seiner Einführung in die Theoretische Physik darauf hingewiesen, dass es zumindest schwierig wenn nicht gar unmöglich ist, eine Wissenschaft und insbesondere die Theoretische Physik – wir können das wohl letztlich auch auf die Theoretische Elektrotechnik übertragen – inhaltlich zu charakterisieren, ohne dasjenige detailliert zu schildern, was diejenigen wirklich tun, welche in der Disziplin arbeiten.

In der Physik gibt es zahlreiche Systeme, deren Verhalten im Ortsraum bzw. Konfigurationsraum als „lokalisiert“ angesehen werden kann, wobei sich der Ortsraum eines solchen Systems nur in einfachen Fällen durch einen dreidimensionalen Punktraum repräsentieren lässt; vgl. auch Anhang A.1. Das Verhalten solcher Systeme lässt sich dann für jeden Zeitpunkt in sehr guter Näherung durch einen Punkt im zugehörigen Orts- und Konfigurationsraum darstellen.

Elektrische und elektronische Schaltungen gehören zu den wichtigsten physikalischen Systemen, die auf elektromagnetischen Eigenschaften basieren und daher grundsätzlich mit der Theorie elektromagnetischer Felder behandelt werden müssten. Eine mathematische Modellierung und Beschreibung mit Hilfe elektromagnetischer Felder ist jedoch aufgrund der hohen Komplexität solcher Schaltungen – d. h. der großen Anzahl von Bauelementen – und der damit zusammenhängenden komplizierten geometrischen Struktur zumeist ausserordentlich schwierig, wenn nicht gar unmöglich.

Im Rahmen dieses Abschnittes soll auf einige grundlegende elektrische Schaltungen eingegangen werden. Zunächst behandeln wir Schaltungen aus Kondensatoren bzw. Spulen und Widerständen, wobei wir deren Verhalten nicht nur mit den Methoden der Theorie elektrischer Netzwerke aus dem letzten Abschnitt 4 analysieren wollen, sondern auch das zugrundeliegende physikalische Verhalten im Sinne der Theorie elektromagnetischer Felder betrachten.

Elektrostatische Anziehungskräfte eines mit einem Wolltuch geriebenen Bernsteins (griech. electron) waren bereits den Griechen bekannt waren (Thales von Milet; 626 - 547 v. Chr.), aber erst Benjamin Franklin schlug die Bezeichnungen „negativ“ und „positiv“ für die beiden elektrischen „Fluida“ vor, mit denen Körper bestimmter Art – beispielsweise auch Metalle – beaufschlagt werden können.

Eine wesentliche Grundlage für den Aufbau einer Theorie des statischen elektrischen Feldes war die in Abschnitt 6 näher betrachtete elektrostatische Kraftwirkung, die man schon seit langer Zeit kannte. Wir sagen demnach, dass die Umgebung einer Ladung mit einem elektrischen Feld erfüllt ist.

Im vorangegangenen Abschnitt haben wir gesehen, dass der Fluss des D-Feldes gleich der Ladung der Elektroden ist. Somit kann das Verhältnis des D-Feldes zum E-Feld experimentell untersucht werden. Hierzu kann z.B. eine Anordnung nach Abb. 8.1 dienen. Zwei ebene parallele Metallplatten stehen sich mit der Fläche A in einem kleinen Abstand d gegenüber.

Bringt man in ein elektrisches Feld, z. B. das Feld zwischen den beiden Elektroden A und B, Abb. 9.1, einen isolierten Leiter C, so entsteht in diesem Leiter unter der Einwirkung der elektrischen Feldkräfte eine Wanderung der Elektronenwolke, bis im Inneren ist.

Zur Bestimmung eines E-Feldes müssen die Grundgleichungen der Elektrostatik gelöst werden, die in Form von Algebro-Differentialgleichungen (6.7) formuliert werden können. Alternativ lassen sich die Differentialgleichungen auch als Integralgleichungen (6.13), (6.14) angeben, so dass Algebro-Integralgleichungen zu lösen sind. Da sich diese Gleichungen nur selten direkt lösen lassen, wird zunächst die Differentialgleichung für das elektrische Potenzial φ abgeleitet und unter Hinzunahme von Randwerten eine entsprechende Lösung analytische oder numerisch ermittelt.

Die Feldberechnungsmethoden in Abschnitt 10 beruhten wesentlich auf der Anwendung der feldmäßigen Darstellung der elektrischen Ladungsdichte ϱ mit Hilfe des D-Feldes „Das Oberflächenintegral des D-Feldes über eine geschlossene Fläche ist gleich der eingeschlossenen Ladung“, der Wirbelfreiheit des E-Feldes, was in differentieller Form durch die Einführung des elektrischen Potenzials berücksichtigt wird „Das E-Feld kann als negativer Gradient des elektrischen Potenzials notiert werden“ und dem linearen Materialgesetz „Das D-Feld ist proportional zum E-Feld“.

Im Abschnitt 11 haben wir uns mit der Berechnung des elektrischen Potenzials φ befasst, wobei neben der Poisson-PDgl. und der dazu notwendigen Vorgabe einer Ladungsverteilung – ggf. gleich Null – auch Randbedingungen in Form von Potenzialwerten oder Ableitungen des Potenzials, idealer Leiter oder sonstiger Grenzflächen vorzugeben sind. Wenn wir das Potenzial bestimmt haben, lassen sich alle anderen Feldgrößen, wie das E- oder D-Feld in einfacher Weise berechnen.

Bringt man einen kleinen geladenen Körper, z.B. eine kleine Metallkugel, die mit der Ladung Q versehen ist, in ein elektrostatisches Feld, so wird auf diesen geladenen Körper eine mechanische Kraft in der Richtung der E-Feldlinien ausgeübt. Die Kraft ist bestimmt durch das E-Feld, das vor dem Einbringen des geladenen Körpers in das elektrische Feld an der betreffenden Stelle vorhanden war; sie hat den durch Gl.(7.1) gegebenen Wert.

In Abschnitt 6 wurden die Coulombschen Kräfte als Ausgangspunkt für die Einführung des elektrischen Feldes gewählt.

In den Abschnitten über die statische Näherung des elektrischen Feldes wurde angenommen, dass sich die Ladungen und Ladungsdichten ortsfest im Raum befinden und somit keine zeitabhängige Verschiebung erfahren. Im Rahmen der Näherung des stationären elektrischen Strömungsfeldes werden solche zeitlichen Veränderungen der Ladungen und Ladungsdichten in die Betrachtungen einbezogen, die zu einer zeitlich konstanten „Strömung“ der elektrischen Ladungen führen.

Nach der allgemeinen Einführung der Grundgesetze des elektrischen Strömungsfeldes im letzten Abschnitt wollen wir noch einige elementare Überlegungen anfügen, die der besseren Veranschaulichung des stationären elektrischen Strömungsfeldes dienen sollen. Dazu gehen wir von einem langgestreckten zylindrischen Leiter aus gleichförmigem Material aus. In diesem Leiter breitet sich ein konstanter elektrischer Strom um so genauer gleichmäßig über den ganzen Querschnitt aus, je größer die Leiterlänge im Vergleich zu den Abmessungen des Querschnitts ist.

Wir haben bereits im Abschnitt 11 darauf hingewiesen, dass man zur analytischen und numerischen Lösung der Potenzialgleichung des stationären Strömungsfeldes grundsätzlich alle Methoden verwenden kann, die wir im Fall des ladungsfreien elektrostatischen Feld kennengelernt haben. Im Unterschied zur Elektrostatik wird die Laplacesche Differentialgleichung „natürlicherweise“ als Neumannsches Randwertproblem gestellt, da man die Stromdichte J (bzw. den Strom I) vorgibt.

Es ist bereits von griechischen Naturgelehrten berichtet worden, dass es Anziehungs- und Abstoßungskräfte zwischen bestimmten Materialien gibt. Man fand diese „Steine“ in der Nähe der griechischen Stadt Magnesia und daher wurden sie als „Magneteisensteine“ bezeichnet; wir nennen sie im folgenden kurz Magnete. In ihrer Umgebung werden Kräfte auf andere Magnete ausgeübt.

Wie mit dem Vorhandensein elektrischer Ladungen immer ein elektrisches Feld verbunden ist, so tritt immer ein magnetisches Feld auf, wenn elektrische Ströme fließen, wenn sich also elektrische Ladungen bewegen. Ein stationäres magnetisches Feld entsteht, wenn es sich um Gleichstrom handelt, der also hinsichtlich der Stromdichte J bzw. des Stromes I zeitkonstant ist. Daher sprechen wir in diesem Fall von Stationarität.

Alle Stoffe haben Einfluss auf das magnetische Feld. Das lässt sich mit Hilfe eines Zusammenhanges der krafterzeugenden Größe B des magnetischen Feldes und der magnetischen „Erregungsgröße“ H ausdrücken. Wir haben bereits erwähnt, dass das B- und das H-Feld unter bestimmten Umständen proportional sein können.

Wir wissen aus Abschnitt 18, dass sich das H-Feld unter Berücksichtigung des Nahwirkungsprinzips und des Helmholtzschen Satzes hinsichtlich seines divergenzfreien Anteils in folgender Weise ergibt.

Es soll das B-Feld auf der im Mittelpunkt eines stromführenden Drahtringes, Abb. 22.1, senkrecht zur Ringebene stehenden Achse berechnet werden. Dazu könnte man vom Vektorpotenzial A(r) nach Gl. (21.46) ausgehen und dessen Rotation bilden. Auf der Symmetrieachse des Drahtringes kann man jedoch direkt von der Laplaceschen Formel ausgehen.

In den letzten Abschnitten haben wir uns mit der Berechnung der Feldgrößen im stationären Magnetfeldes beschäftigt, wobei i. a. eine Stromdichteverteilung sowie bestimmte Randbedingungen vorgegeben sind. Dabei ist es in vielen Fällen zweckmäßig, wenn man dazu – zumindest im Prinzip – das Vektorpotenzial A(r) mit Hilfe der zugehörigen Vektor-Poissongleichung bestimmt und daraus sämtliche Felder des stationären Magnetfeldes bestimmt. Auf diese Weise kann man die Charakteristiken einer Problemstellung im Sinne der Theorie des stationären Magnetfeldes ermitteln, die eine Näherung der Theorie des elektromagnetischen Feldes darstellt.

Die im magnetischen Feld aufgespeicherte Energie lässt sich wie die elektrische Energie durch die Feldgrößen ausdrücken. Allerdings stößt man bei der Ableitung des Ausdrucks für die magnetische Energie auf einen wichtigen Unterschied. Im elektrischen Feld konnte der Ausdruck für die elektrische Energie auf der Grundlage eines Gedankenexperimentes hergeleitet werden: Transport von Ladungen aus dem Unendlichen.

Analog zu den Verhältnissen im elektrostatischen Feld sind mit der Speicherung von Energie im stationären Magnetfeld mechanische Kraftwirkungen verknüpft, und zwar finden wir hier dreierlei mechanische Kräfte, nämlich solche zwischen den Stromleitern, Kräfte an den Grenzflächen von Stoffen verschiedener Permeabilität und Kräfte zwischen Stromleitern und magnetischen Stoffen; sie können physikalisch sämtlich auf Kräfte zwischen bewegten Ladungen zurückgeführt werden.

Bei den bisherigen Überlegungen wurden auf der Basis der Experimente von Coulomb sowie von Ørsted, Biot, Savart, Ampere und Laplace das elektrische und magnetische Feld als separate physikalische Systeme eingeführt. Lediglich die Tatsache, dass bewegte elektrische Ladungen – elektrische Ströme – in ihrer Umgebung eine magnetische Erregung erzeugen, die durch das H-Feld charakterisiert wird, gab Hinweise auf einen Zusammenhang des elektrischen und magnetischen Feldes. Im folgenden wollen wir zeigen, dass es weitere Hinweise auf einen solchen Zusammenhang gibt.

Bewegt man einen Leiter durch ein magnetisches Feld, so werden auch die Leitungselektronen im Inneren des Leiters mitgeführt. Die Elektronen erfahren daher Kräfte senkrecht zur Bewegungsrichtung des Leiters und zur Feldlinienrichtung des Magnetfeldes. Wird z.B. ein Kupferstab, Abb. 27.1, mit der Geschwindigkeit v durch ein magnetisches Feld senkrecht zum B-Feld B bewegt, so wirken die magnetischen Feldkräfte auf die Elektronen entgegengesetzt zu der durch den Pfeil gekennzeichneten Richtung.

Um Probleme der quasistationären elektromagnetischen Felder lösen zu können, werdenMethoden zur Lösung von partiellen Vektor-Differentialgleichungen vom Diffusionstyp (vgl. Gl. (26.51))

Befinden sich in einem magnetischen Wechselfeld elektrisch leitende Stoffe, so entstehen in diesen Stoffen nach dem Induktionsgesetz Wechselströme auf Bahnen, die mit den magnetischen Induktionslinien verkettet sind; man bezeichnet diese Ströme als Wirbelströme. In stromführenden Leitern überlagern sich die Wirbelströme dem Leiterstrom. Auch durch das magnetische Feld des Leiterstromes selbst werden Wirbelströme im Leiter hervorgerufen.

Elektrostatische Felder mit den im Abschnitt 6 besprochenen Eigenschaften setzen eine verschwindende Leitfähigkeit voraus. Wegen der endlichen Leitfähigkeit der Isolierstoffe stellt sich bei zeitlich konstanten Potenzialen in Wirklichkeit eine elektrische Strömung ein. Die Potenzialverteilungen gehorchen bei konstanten Spannungen immer den Gesetzen des Strömungsfeldes. Werden z.B. mehrere reale Kondensatoren hintereinander geschaltet an eine Gleichspannung gelegt, so verteilt sich die Spannung auf die einzelnen Kondensatoren im allgemeinen durchaus nicht umgekehrt wie die Kapazitätswerte, wie es unter der Voraussetzung elektrostatischer Felder sein müsste, sondern im Endzustand immer entsprechend den Isolationswiderständen, die ganz andere Verhältnisse haben können.

Bei der technischen Anwendung der Induktionswirkung kommen oft Anordnungen vor, deren Teile sich gegeneinander bewegen, z. B. in elektrischen Maschinen.

In Abschnitt 26.4 wurde den Gleichungen des elektromagnetischen Feldes, die nur das Induktionsgesetz berücksichtigen, noch der Term ∂D _rotf /∂t hinzugefügt, um die Konsistenz mit der Kontinuitätsgleichung der Ladungen herzustellen. Es konnte gezeigt werden, dass die Zustandsgleichungen des elektromagnetischen Feldes trotzdem vom Typ einer Diffusionsgleichung sind, d.h. physikalisch gesehen, dass der neue Anteil keine magnetischen Wirkungen erzeugt. Maxwell hat nun den obengenannten Gleichungen des elektromagnetischen Feldes eine solche Erweiterung – die Maxwellsche Ergänzung – hinzugefügt, so dass sich Zustandsgleichungen für das elektromagnetische Feld vom Typ einer Wellengleichung ergeben.

In einem veränderlichen elektromagnetischen Feld in quasistationärer Näherung ist der (quasistationäre) Verschiebungsstrom nach Abschnitt 30 definiert als die Zunahme des Flusses des D-Feldes geteilt durch die Zeit.

Nach den vorherigen Abschnitten entsteht eine elektromagnetische Welle, sobald sich die Ströme oder Spannungen zeitlich ändern. Zeitlich konstante Spannungen und Ströme liegen vor, wenn sich Elektrizitätsmengen in Ruhe oder in gleichförmiger Bewegung befinden; Strom- und Spannungsänderungen werden durch ungleichmäßig bewegte Elektrizitätsmengen verursacht. Die einfachste elektromagnetische Welle wird sich daher ergeben, wenn eine punktförmige Elektrizitätsmenge in einem sonst von Ladungen und materiellen Körpern freien Raum ungleichförmig bewegt wird.

Von fundamentaler Bedeutung für die Elektrotechnik ist die Tatsache, dass elektromagnetische Felder entlang metallischer Leiter geführt werden können. Beginnend mit der Frequenz null bis zu Frequenzen in den GHz-Bereich sind dafür Zwei- und Mehrdrahtleitungen geeignet. Hohlleiter können bis zu Frequenzen im Bereich mehrerer hundert GHz eingesetzt werden.

Bei hohen Frequenzen kann elektromagnetische Energie im Innenraum von hohlzylindrischen Leitern übertragen werden. Die Leitungsverluste durch Stromwärme im Leitungsmaterial können dann sogar geringer sein als bei Drahtleitungen, wo die hohe Feldkonzentration an den Leitungsdrähten nach Gl.(29.117) hohe Verluste bedingt. Praktisch werden besonders Hohlleiter von kreisförmigen und von rechteckigen Querschnitten verwendet.

Anmerkung: Der Unterabschnitt 37.1 kann aus dem Internet als PDF-File geladen werden; Einzelheiten dazu findet man im Vorwort zu diesem Buch. Die Hinweise auf Abschnitte, Gleichungen und Abbildungen beziehen sich auf den vorliegenden Text. Die Seitennummern entsprechen der Vollversion des Buchmanuskripts, die sämtliche im Internet vorhandenen Unterabschnitten einbezieht und können somit leider nicht mit den Seitennummern der vorliegenden gedruckten Version des Buchmanuskripts in Zusammenhang gebracht werden.

Anmerkung: Dieser Abschnitt kann aus dem Internet als PDF-File geladen werden; Einzelheiten dazu findet man im Vorwort zu diesem Buch. Die Hinweise auf Abschnitte, Gleichungen und Abbildungen beziehen sich auf den vorliegenden Text. Die Seitennummern entsprechen der Vollversion des Buchmanuskripts, die sämtliche im Internet vorhandenen Unterabschnitten einbezieht und können somit leider nicht mit den Seitennummern der vorliegenden gedruckten Version des Buchmanuskriptes in Zusammenhang gebracht werden.

Die Funktionsweise des pn-Übergangs ist fundamental für das Verständnis aller Halbleiterbauelemente. Man betrachtet ihn zunächst im stromlosen Zustand (Abb. 39.1). Der Kristall sei an seinen Enden nicht angeschlossen, der Gesamtstrom ist gleich Null.

Eine detaillierte Kenntnis der inneren Vorgänge in Halbleiterbauelementen wie dem Bipolartransistor oder dem Feldeffekttransistor, wie wir sie in Abschnitt 39 behandelt haben, ist für seinen Einsatz in Schaltungen oft ebenso wenig notwendig wie die detaillierte Kenntnis der Stromtransportvorgänge im Ohmschen Widerstand. Wichtig sind die Abhängigkeiten von Spannungen und Strömen an seinen Klemmen, die durch einfache Ersatzschaltungen oder Kennlinienfelder ganz brauchbar repräsentiert werden können.