13. Energiebasierte Näherungsverfahren

Die bislang zu Arbeits- und Energiemethoden dargestellten Rechenverfahren bieten die Möglichkeit, statische Problemstellungen auf exakte Art und Weise zu lösen. In vielerlei praktischen Anwendungen wird man jedoch damit konfrontiert sein, dass ein gegebenes Problem nicht mehr einer exakten geschlossen-analytischen Lösung zugänglich oder nur mit unverhältnismäßig großem Aufwand behandelbar ist. An dieser Stelle hat sich eine Reihe von energiebasierten Näherungsverfahren etabliert, von denen wir in diesem Kapitel eine Auswahl besprechen wollen. Neben eher klassischen Verfahren wie dem Ritz-Verfahren sowie dem Galerkin-Verfahren wollen wir eine modernere und inzwischen fest etablierte Methode, nämlich die sog. Finite-Elemente-Methode (kurz: FEM) detailliert diskutieren, wobei der FEM das nachfolgende separate Kap. 14 gewidmet ist. All diese Verfahren haben als Gemeinsamkeit, dass sie auf geeigneten Näherungsansätzen für die gesuchten Zustandsgrößen des betrachteten Systems basieren, hier meist in Form von Ansätzen für die Verschiebungen, aus denen sich dann Aussagen über Verzerrungs- und Spannungszustände beschaffen lassen. Basierend auf diesen Ansätzen werden dann aus Energieprinzipien Näherungslösungen für eine gegebene Aufgabe ermittelt. Es wird dabei üblicherweise nach kontinuierlichen Verfahren und nach diskretisierenden Methoden unterschieden. Bei den kontinuierlichen Verfahren (hier das Ritz- und das Galerkin-Verfahren) werden Näherungsansätze auf der gesamten zu betrachtenden Struktur verwendet, wohingegen die betrachtete Struktur im Rahmen der diskretisierenden Methoden in Teilbereiche unterteilt wird, in denen dann entsprechende Näherungsansätze verwendet werden. Diese Teilbereiche, nämlich die sog. Elemente, werden dann zu einem späteren Zeitpunkt mittels Kontinuitätsbedingungen zur gesamten betrachteten Struktur assembliert, wobei die FEM der wohl wichtigste Vertreter der diskretisierenden Methoden ist. Das vorliegende Kapitel geht auf die kontinuierlichen Verfahren ein, die Finite-Elemente-Methode ist der Gegenstand des nachfolgenden Kap. 14.