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2011 | Book

Einführung Read chapter Read first chapter

Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie

Eine Einführung

Author: Norbert Kusolitsch

Publisher: Springer Vienna

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Das Buch ist eine kompakte, leicht lesbare Einführung in die Maß- und Integrationstheorie samt Wahrscheinlichkeitstheorie, in der auch auf den für das Verständnis wichtigen Bezug zur klassischen Analysis, etwa in Abschnitten über Funktionen von beschränkter Variation oder dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eingegangen wird. Trotz seines verhältnismäßig geringen Umfangs behandelt es alle wesentlichen Themen dieser Fachgebiete, wie Mengensysteme, Mengenfunktionen Maßfortsetzung, Unabhängigkeit, Lebesgue-Stieltjes-Maße, Verteilungsfunktionen, messbare Funktionen, Zufallsvariable, Integral, Erwartungswert, Konvergenzsätze, Transformationssätze, Produkträume, Satz von Fubini, Zerlegungssätze, Funktionen von beschränkter Variation, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Lp-Räume, Bedingte Erwartungen, Gesetze der großen Zahlen, Ergodensätze, Martingale, Verteilungskonvergenz, charakteristische Funktionen und die Grenzverteilungssätze von Lindeberg und Feller.

Table of Contents

Frontmatter
1. Einführung
Zusammenfassung
Wirft man einen Würfel bis zur ersten Sechs, so kann man die Wahrscheinlichkeit, dass dies gerade beim n- ten Wurf passiert, berechnen, indem man die Menge Ωn ≔ {1,…, 6}n aller n-Tupel betrachtet, die man mit den Augenzahlen 1,…, 6 bilden kann. Ωn besteht aus {Ωn} = 6n Elementen und bei einem fairen Würfel sollte jedes n-Tupel gleich wahrscheinlich sein. Die erste Sechs erscheint gerade dann beim n-ten Wurf, wenn das n-Tupel der Wurfergebnisse A n ≔ (x1,…, x n− 1,6): xi ∈ {1, …, 5} Vi = 1, …, n − 1 liegt. Wegen {A n} = 5 n−1 folgt dann aus der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition
$$ P\left( {A_n } \right) = \left( {\frac{{g\ddot unstige\,F\ddot alle}} {{m\ddot ogliche\,F\ddot alle}}} \right) = \frac{{5^{n - 1} }} {{6^n }}. $$
Norbert Kusolitsch
2. Mengen und Mengensysteme
Zusammenfassung
Mit P(Ω):={A:A⊆Ω} bezeichnen wir die Potenzmenge von Ω ≠ ∅. Die mengentheoretischen Operationen werden als bekannt vorausgesetzt.
Norbert Kusolitsch
3. Mengenfunktionen
Zusammenfassung
Die wesentliche Eigenschaft von Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist die σ-Additivität. Wir wollen uns daher in diesem Abschnitt mit additiven und σ-additiven Mengenfunktionen beschäftigen.
Norbert Kusolitsch
4. Fortsetzung von Maßen auf σ-Algebren
Zusammenfassung
Das Ausschöpfungsprinzip des Eudoxos weist den Weg, wie man den Definitionsbereich eines Maßes auf σ-Algebren ausdehnen kann.
Norbert Kusolitsch
5. Unabhängigkeit
Zusammenfassung
Da die Begriffe und Ergebnisse dieses Abschnitts üblicherweise in Kursen über elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung behandelt werden, stellen wir sie hier nur in aller Kürze vor.
Norbert Kusolitsch
6. Lebesgue-Stieltjes-Maße
Zusammenfassung
In diesem Abschnitt betrachten wir Maßfunktionen, die auf der σ-Algebra P k der k-dimensionalen Borelmengen des ℝ k definiert sind.
Norbert Kusolitsch
7. Messbare Funktionen — Zufallsvariable
Zusammenfassung
Bei der Durchführung eines Versuches interessieren uns oft nicht alle Einzelheiten des Ausgangs, stattdessen will man häufig nur ein bestimmtes Merkmal betrachten. So wird beispielsweise bei „6 aus 45“ den Spieler weniger sein konkreter Tipp, als vielmehr die Anzahl X der richtigen Zahlen auf seinem Tipp interessieren. Bei einer Gesundenuntersuchung könnten wieder Größe und Gewicht der untersuchten Personen von Bedeutung sein.
Norbert Kusolitsch
8. Die Verteilung einer Zufallsvariablen
Zusammenfassung
Wir haben schon in Abschnitt 7.1 festgestellt, dass eine Zufallsvariable das wesentliche Merkmal eines Versuches beschreibt und so zu einer Datenreduktion führt. Wenn wir nur an Aussagen über dieses Merkmal interessiert sind, wird es sinnvoll sein, den messbaren Teilmengen des Bildraums (des „Merkmalraums“) jene Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen, mit denen die Zufallsvariable Werte aus der entsprechenden Menge annimmt. Dadurch wird der Bildraum selbst mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ausgestattet und man kann sich in weiterer Folge mit diesem „einfacheren“ Raum beschäftigen, ohne immer wieder auf den ursprünglichen Grundraum (Ω, S, P) zurückgreifen zu müssen. Das folgende Beispiel soll dies veranschaulichen.
Norbert Kusolitsch
9. Das Integral — Der Erwartungswert
Zusammenfassung
Wir werden das Integral in 4 Schritten einführen:
1.
für nichtnegative, messbare Treppenfunktionen,
 
2.
für nichtnegative, messbare Funktionen,
 
3.
für beliebige messbare Funktionen,
 
4.
für μ-fü messbare Funktionen.
 
Norbert Kusolitsch
10. Produkträume
Zusammenfassung
In der Wahrscheinlichkeitstheorie hat man oft Produkträume und Verteilungen auf diesen Räumen zu betrachten, etwa wenn der Zusammenhang zwischen mehreren Zufallsvariablen, wie etwa dem Körpergewicht und der Körpergröße, untersucht werden soll. Um aber Verteilungen auf einem Produktraum definieren zu können, benötigt man eine geeignete σ-Algebra darauf.
Norbert Kusolitsch
11. Zerlegung und Integraldarstellung signierter Maße
Zusammenfassung
Ist ν das unbestimmte Integral einer Funktion f bezüglich μ, so gilt klarerweise ν(B) ≥ 0 ∀ B ⊆ [f; ≥ 0] ∧ ν(B) ≤ 0 ∀ B ⊆ [f; < 0]. Wir zeigen in diesem Abschnitt, dass es zu jedem signierten Maß ν eine Menge P∈S gibt mit ν(B) ≥ 0 ∀ B ⊆, P,B∈S ∧ ν(B)≤ 0 ∀ B⊆N:=P c,B∈S.
Norbert Kusolitsch
12. Integral und Ableitung
Zusammenfassung
Wie aus der Differential- und Integralrechnung bekannt, ist das unbestimmte Riemann-Integral \( F\left( x \right): = c + \int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} \) einer stetigen Funktion f;: [a, b] → ℝ stetig differenzierbar mit \( F'\left( x \right): = \frac{\partial } {{\partial x}}\int\limits_a^x {f\left( t \right)dt} = f\left( x \right) \), d.h. F ist eine Stammfunktion von f;.
Norbert Kusolitsch
13. Lp- Räume
Zusammenfassung
Eine der wichtigsten Integralungleichungen ist die Jensen’sche Ungleichung über den Erwartungswert konvexer Transformationen (siehe Anhang A.6) von Zufallsvariablen.
Norbert Kusolitsch
14. Bedingte Erwartungen
Zusammenfassung
Definition 14.1. Ist X eine diskrete Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,S,P) mit P(X ∈ D) = 1, |D| ≤ ℵ0, P(X = x) > 0 ∀ x ∈ D, so wird für jedes x ∈ D durch \( hA\left( x \right): = P\left( {A|X = x} \right): = \tfrac{{P\left( {A \cap \left[ {X = x} \right]} \right)}} {{P\left( {X = x} \right)}},\quad A \in \) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P(. |X = x) definiert, die durch [X = x] bedingte Verteilung P(. |X = x).
Norbert Kusolitsch
15. Gesetze der großen Zahlen
Zusammenfassung
Oft lassen sich Aussagen über bestimmte Ereignisse machen ohne die Verteilung einer Zufallsvariablen X zu kennen, wenn man gewisse Kenngrößen dieser Zufallsvariablen bestimmen oder schätzen kann. So liefert etwa Ungleichung (13.14) bzw. (13.15) eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit der Abweichungen vom Mittelwert, wenn man den Erwartungswert \( {\Bbb E} \) X und \( \sigma _X^2 : = {\Bbb E}\left( {X - {\Bbb E}X} \right)^2 \) kennt. Ungleichung (13.15) besagt bspw. konkret, dass höchstens \( \tfrac{1} {{\gamma ^2 }}*100\% \) der Ausgänge eines Experiments einen größeren Abstand als γ σ vom Erwartungswert haben.
Norbert Kusolitsch
16. Martingale
Zusammenfassung
Ist X 1, X 2, … eine Folge unabhängiger Zufallsvariabler mit \( {\Bbb E}X_n = 0\,\forall \,n \in {\Bbb N} \), so sind die akkumulierten Summen \( S_n : = \sum\limits_{i = 1}^n {X_i } \) nicht mehr unabhängig. Die X n können etwa die Gewinne eines Spielers in einer Serie von fairen Spielen, die einander nicht beeinflussen, darstellen, und man wird intuitiv annehmen, dass der Spieler bei derartigen Spielen seinen Spielstand aus den vergangenen Spielen nach jedem neuen Spiel im Schnitt halten sollte, ohne, dass ihm die Information, die er aus dem bisherigen Spielverlauf erhalten hat, weiterhilft. Diese Information wird beschrieben durch die σ-Algebren S(X 1 n :=S(X 1,...,X n),n∈ℕ die übereinstimmen mit den σ-Algebren S(S 1 n :=S(S 1,...,S n), da die Summen S1,…, S n durch die X 1 …, X n festgelegt sind und umgekehrt.
Norbert Kusolitsch
17. Verteilungskonvergenz und Grenzwertsätze
Zusammenfassung
Häufig muss man in der Wahrscheinlichkeitstheorie Verteilungen approximieren. Dem dient das folgende Konvergenzkonzept, das wir hier nur für den Raum (ℝ,P) vorstellen, obwohl es in einfacher Weise auf metrische Räume verallgemeinert werden kann.
Norbert Kusolitsch
Backmatter
Metadata
Title
Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie
Author
Norbert Kusolitsch
Copyright Year
2011
Publisher
Springer Vienna
Electronic ISBN
978-3-7091-0685-3
Print ISBN
978-3-7091-0684-6
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-7091-0685-3