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2020 | Book

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Mathematik für das erste Semester

Analysis und Lineare Algebra für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Authors: Dr. Mike Scherfner, Torsten Volland

Publisher: Springer Berlin Heidelberg

Part of: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

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About this book

Zum Anfang des Studiums sind Studierende der Ingenieurwissenschaften hauptsächlich mit Grundlagen beschäftigt, zu denen wesentlich die Mathematik gehört. Hier sind insbesondere die Analysis (in einer Variablen) und Lineare Algebra zu nennen, die zu oft eine große Hürde darstellen.

Mit unserem Buch wollen wir den Weg ebnen, indem wir Sie ausführlich – und ohne Umwege – mit dem genannten Stoff vertraut machen.

In einem verbindlichen, aber dennoch entspannten Stil bringen wir Ihnen die wichtigen Methoden und Begriffe bei.

Besonderheiten:

Zahlreiche Bilder und Beispiele. Viele begleitende Aufgaben mit vollständigen Lösungen. Klausuraufgaben mit kompletten Lösungen. Motivation und Verständnisfragen für jedes Kapitel. "Erste-Hilfe-Kurs" für Prüfungen.

Für die 2. Auflage wurden viele Stellen didaktisch verbessert und korrigiert. Durch zusätzliche Erklärungen, Grafiken und das Eingehen auf Leserkommentare ist das Buch nun noch verständlicher und hervorragend als freundlicher Begleiter für Ihr erstes mathematisches Semester geeignet.

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Table of Contents

Frontmatter

Analysis

Frontmatter

Kapitel 1. Worum geht es in der Analysis?

Zusammenfassung

Das Wort Analysis kommt aus dem Griechischen und bedeutet soviel wie Auflösung. Tatsächlich hilft uns dies nicht wirklich beim Verständnis der aktuellen Bedeutung dieses wichtigen Teilgebietes der Mathematik. Historisch gesehen stammen die wesentlichen Grundlagen von Isaac Newton (1643 – 1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716).

Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 2. Ein wenig Vorbereitung

Zusammenfassung

Die Mathematik mit ihrer Symbolik, die am Anfang recht abstrakt erscheinen mag, kann als Sprache aufgefasst werden, mit deren Hilfe Aussagen, Definitionen und andere wichtige und schöne Dinge formuliert werden können. Allerdings müssen wir zuerst die grundlegenden Sprachkenntnisse (Grammatik, Vokabeln etc.) erwerben, bevor wir uns unterhalten können. Am Anfang ist es auch schon gut, einer Unterhaltung folgen zu können, wie sie dieses Lehrbuch bietet.

Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 3. Reelle und komplexe Zahlen

Zusammenfassung

Der Bedarf nach reellen — und später komplexen — Zahlen wird in der Analysis oft damit begründet, bestimmte Arten von Gleichungen lösen zu können, die zuvor nicht lösbar waren.

Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 4. Abbildungen und Funktionen

Zusammenfassung

Häufig wird mit Zuordnungsvorschriften zwischen Mengen gearbeitet. Solche Zuordnungen sind oft von zentraler Bedeutung bei der Beschreibung physikalischer Vorgänge. So soll beispielsweise von einem fallenden Stein die Zuordnungsvorschrift h zu jedem Zeitpunkt t die Höhe h(t) des Steins liefern.

Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 5. Wichtige Funktionen im Überblick

Zusammenfassung

Wir werden nun einen Blick auf diverse Funktionen werfen, die in den Ingenieur- und Naturwissenschaften immer wieder vorkommen. Wichtige ihrer Eigenschaften werden wir kennen lernen bzw. aus der Schule rekapitulieren, die später teils noch genauer beleuchtet werden. Dieses Kapitel hat einen Übersichtscharakter (angereichert mit einigen Beispielen).

Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 6. Folgen

Zusammenfassung

Welche Zahl kommt nach 1, 2, 4, 8, 16, 32? Wer kennt nicht die Zahlenspiele, bei denen eine Zahlenfolge (hier vorerst naiv betrachtet), von der nur die ersten paar Glieder gegeben sind, nach einem bestimmten Rechenschema weitergeführt werden soll?

Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 7. Reihen

Zusammenfassung

Stellen wir uns den Finallauf über 400m bei den olympischen Spielen vor und blicken gedanklich auf den Favoriten: Beim Startschuss wird dieser aus den Blöcken springen und nach etwa 44 Sekunden über die Ziellinie laufen; ähnliches ist regelmäßig bei Sportübertragungen zu sehen und niemand wundert sich darüber, dass ein Läufer das Ziel erreicht. Aber wie könnte das ein mathematisch interessierter Sportler sehen?

Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 8. Stetigkeit

Zusammenfassung

Wenn etwas „stetig“ verläuft, so verheißt dies im umgangssprachlichen Gebrauch, dass es keine Brüche, Sprünge oder Risse gibt. Diese Vorstellung finden wir wieder, wenn wir an den Verlauf einer Funktion denken: Der Funktionsgraph soll für ein bestimmtes Intervall, in welchem die Funktion die mathematischen Bedingungen, die an den Begriff der Stetigkeit geknüpft werden, in einem Zug gezeichnet werden können.

Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 9. Differenziation

Zusammenfassung

Die Variable in den Natur- und Ingenieurwissenschaften ist die Zeit. Beschreibt die Funktion f(t) einen Prozess in Abhängigkeit von der Zeit t, so bleibt der Ablauf des Prozesses nur dann konstant (f(t) ≡ const), wenn keine Veränderungen auftreten. Treten allerdings Änderungen auf (steigt oder fällt die Funktion also), so weiß man durch deren Bestimmung auch, was für zukünftige Zeiten passiert: Die Änderungen sind es ja gerade, die das Geschehen widerspiegeln.

Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 10. Potenzreihen

Zusammenfassung

Durch Potenzreihen stellen wir hier eine natürliche Verallgemeinerung der zuvor bereits betrachteten Reihen vor. Es handelt sich dabei allerdings nicht um die Befriedigung eines puren Abstraktionswunsches, sondern um etwas wirklich Nützliches. Der Mathematiker empfindet alleine bei der Betrachtung solcher Objekte Freude, als Anwender ist aber noch mehr interessant.

Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 11. Taylorpolynome, Taylorreihen und Extremwerte

Zusammenfassung

Der Begriff der Taylorreihe begegnete uns bereits kurz in der Motivation zum letzten Kapitel. Die tiefe Bedeutung der nach Brook Taylor (1685 – 1731) benannten Reihen zeigte sich erst Jahre nach seinem Tod. Ihr Wert liegt wesentlich darin begründet, dass bereits das Taylorpolynom (über dem Summenzeichen steht dann nicht ∞, sondern eine endliche natürliche Zahl n) unter gewissen Voraussetzungen eine zuvor sehr viel kompliziertere Funktion approximiert.

Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 12. Integration

Zusammenfassung

Das Integral ist eine lineare Abbildung, die einer Funktion auf einem gegebenen Integrationsintervall eine Zahl (die Fläche zwischen x-Achse und Funktionsgraph; bestimmtes Integral) oder eine Funktion (Stammfunktion; unbestimmtes Integral) zuordnet.

Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 13. Ausblick: Fourierreihen

Zusammenfassung

Durch die Taylorreihe können wir zahlreiche Funktionen darstellen bzw. durch das Taylorpolynom approximieren. Sind die Funktionen periodisch (wir denken hier an Schwingungsprozesse), so geht dies durch ein so genanntes trigonometrisches Polynom noch besser, denn ein solches wird aus den periodischen Funktionen Sinus und Kosinus zusammengesetzt, die wir bereits gut kennen.

Mike Scherfner, Torsten Volland

Lineare Algebra

Frontmatter

Kapitel 14. Worum geht es in der Linearen Algebra?

Zusammenfassung

Die beiden Worte in „Lineare Algebra“ können wir isoliert betrachten und feststellen, dass „linear“ vom lateinischen „linea“ stammt, was so viel wie „gerade Linie“ heißt. „Algebra“ kommt vom arabischen „al-jabr“ und bedeutet in etwa „Zusammenfügen gebrochener Teile“. Aus moderner Sichtweise ließe sich also aus den beiden Worten folgern, dass wir es mit geraden Linien und dem Rechnen mit Variablen zu tun haben, um daraus neue Ergebnisse zu erhalten. Das ist aber zu kurz gesprungen. Wir sollten vielmehr die Begriffichkeit „Lineare Algebra“ als ein mathematisches Teilgebiet auffassen, in dem es — um nur das Wesentliche zu nennen — um das Folgende geht.

Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 15. Vektorräume und lineare Unabhängigkeit

Zusammenfassung

Vieles im täglichen Leben lässt sich durch eine Zahl beschreiben: So hat der Januar 31 Tage und ein Byte sind acht Bit. Hierbei handelt es sich um so genannte skalare Größen. Darüber hinaus gibt es jedoch Dinge, die sich nicht alleine durch eine Zahl beschreiben lassen, sondern bei denen auch eine Richtung von Bedeutung ist; Beispiele kommen häufig aus der Physik.

Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 16. Lineare Abbildungen und Matrizen

Zusammenfassung

Ein Schlüsselbegriff in der Linearen Algebra ist derjenige der linearen Abbildung. Die Definition findet sich weiter unten und erst mit dieser können wir dann wirklich verstehen, worum es geht. Feststellen lässt sich aber, dass Sie bereits lineare Abbildungen kennen; so stellt z. B. das Differenzieren eine lineare Abbildung dar.

Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 17. Lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Lineare Gleichungssysteme („Lineares Gleichungssystem“ werden wir durch LGS abkürzen) kommen sehr häufig vor. So ist es eine elementare Aufgabe für Möbelmanufakturen, die Anzahl von Tischen und Stühlen zu errechnen, die sich mit einem gewissen Lagerbestand von Holz, Schrauben und Metallbeschlägen herstellen lassen. Bevor mit dem Zusammenbau begonnen wird, sollten wir genau berechnen, was im Einzelfall fehlen mag.

Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 18. Determinanten

Zusammenfassung

Wir haben Matrizen bisher als Schema zur Darstellung linearer Abbildungen oder linearer Gleichungssysteme kennen gelernt. Eine weitere, oft verwendete Betrachtungsweise ist die Zusammenfassung mehrerer Vektoren — meist einer Basis — zu einer Matrix, indem einfach jeder Vektor in eine Spalte der Matrix geschrieben wird.

Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 19. Norm und Skalarprodukt

Zusammenfassung

Egal ob Ingenieur, Physiker oder Mathematiker: Längen- und Winkelmessungen sind von elementarer Bedeutung. Denken Sie nur an GPS-Navigation im Auto, das Navigieren von Schiffen und Flugzeugen, die Reichweite eines Radiosenders oder gar Lichtbrechung, bei der Einfallswinkel eine besondere Rolle spielen: Überall treten diese Begriffe auf. Klar, im Alltag können wir dafür teils Maßband und Geodreieck verwenden.

Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 20. Basiswechsel und darstellende Matrizen

Zusammenfassung

Wir haben gelernt, dass ein Vektor stets aus den Elementen einer Basis linear kombiniert, also bezüglich einer Basis dargestellt werden kann. Häufig wird dafür im Rⁿ die Standardbasis verwendet. Ihre Elemente sind zueinander orthogonal und haben alle die Länge 1 bezüglich der Standardnorm, sie bilden also eine ONB.

Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 21. Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit

Zusammenfassung

Neben der Determinante sind Eigenwerte und Eigenvektoren die wichtigsten Charakteristika linearer Abbildungen. Auf Eigenvektoren wirken lineare Abbildungen besonders einfach, nämlich lediglich als Streckung oder Stauchung. Dies macht es uns möglich, eine lineare Abbildung durch die Bestimmung ihrer Eigenwerte und Eigenvektoren sehr einfach zu veranschaulichen.

Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 22. Differenzialgleichungen

Zusammenfassung

Differenzialgleichungen sind von großer Bedeutung, um die verschiedensten Vorgänge in Natur und Technik zu beschreiben. Dazu gehören.

Mike Scherfner, Torsten Volland

Klausuraufgaben

Frontmatter

Kapitel 23. Analysis

Zusammenfassung

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Mike Scherfner, Torsten Volland

Kapitel 24. Lineare Algebra

Zusammenfassung

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Mike Scherfner, Torsten Volland

Backmatter

Title: Mathematik für das erste Semester
Authors: Dr. Mike Scherfner
Torsten Volland
Copyright Year: 2020
Publisher: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-61992-6
Print ISBN: 978-3-662-61991-9
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-61992-6

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