Mechanische Feldschwächung einer Multi-Rotor-Permanentmagnet- Synchronmaschine

Zur mathematischen Beschreibung der Feldschwächmethode mittels Raumzeigerrechnung kann ein vereinfachtes Ersatzmodell des Planetenmotors mit nur zwei Rotoren herangezogen werden, siehe Abb. 3. Aufgrund der Symmetrie der Maschinenstruktur kann dieses Modell für eine beliebige, gerade Anzahl von Rotoren angewendet werden.

Zur Herleitung wird die übliche Raumzeigerrechnung mit den für eine PSM gängigen statorfesten \(\alpha \beta \)- sowie rotorfesten \(dq\)-Koordinatensystemen verwendet. In erster Näherung kann angenommen werden, dass die Permeabilität des Stator- und Rotorblechs unendlich ist und damit Sättigungseffekte ausgenommen sind. Weiters wird die Maschine im stromlosen Zustand analysiert, wodurch die Raumzeiger der Verkettungsflüsse nur eine Folge der Permanentmagnete in den Rotoren sind und damit unmittelbar die Richtung der \(d\)-Achsen der Rotoren repräsentieren. Die Einschränkung auf stromlose Wicklungen ist aber keine notwendige Voraussetzung für die Anwendung dieser Feldschwächmethode. Ordnet man nun jedem Rotor ein eigenes, dreisträngiges Wicklungssystem zu (\(U_{1}\), \(V_{1}\), \(W_{1}\) bzw. \(U_{2}\), \(V_{2}\), \(W_{2}\), Abb. 3) und behandelt diese als voneinander unabhängig, können in klassischer Weise zwei Raumzeigerdiagramme gezeichnet werden, siehe Abb. 4. Dabei ist die unterschiedliche Orientierung der z-Achsen der beiden Diagramme zu beachten.

Nun kann die Maschine von außen (aus Sicht des Umrichters an den Klemmen) durch eine dreisträngige Ersatzmaschine beschrieben werden, in der es nur einen äquivalenten rotierenden Verkettungsflussraumzeiger gibt (bildlich gesprochen also nur einen Rotor). Betrachtet man die beiden Spulen eines gemeinsamen Statorteils, so sind diese näherungsweise mit dem gleichen magnetischen Fluss verkettet, und können so unter Berücksichtigung der Wicklungsorientierung zu einer Spule zusammengefasst werden (Abb. 5b). Als Bezugssystem wird dazu das \(\alpha _{1}\beta _{1}\)-Koordinatensystem gewählt. Transformiert man den Verkettungsflussraumzeiger \(\underline{\psi }_{M2}\) aus dem \(\alpha _{2}\beta _{2}\)- in das \(\alpha _{1}\beta _{1}\)-Koordinatensystem (\(\underline{\psi }_{M2}'\)), muss dieser noch aufgrund der Spulenorienterung am Statorschenkel um \(180^{\circ}\) gedreht werden. Der Verkettungsflussraumzeiger \(\underline{\psi }_{\mathit{Mres}}\) ergibt sich nun im \(\alpha _{1}\beta _{1}\)-Koordinatensystem direkt aus der Superposition der beiden Teilverkettungsflüsse \(\underline{\psi }_{M1}\) und \(\underline{\psi }_{M2}\) (Abb. 5a). Die Gleichungen (1)–(5) zeigen, dass dieser in die selbe Richtung wie \(\underline{\psi }_{M1}\) zeigt, aber im Betrag verdoppelt wurde. Gedanklich könnte man dieses Experiment auch auf weitere Rotoren fortsetzen.

Verdreht man ausgehend von diesen Rotorpositionen beispielsweise nur Rotor 2 um einen Winkel \(\gamma _{\mathit{FW}}\) (Abb. 6), verändern sich die Zeigerdiagramme entsprechend Abb. 7 und 8. Bildet man nun wieder den Betrag des resultierenden Verkettungsflussraumzeigers (9), so erkennt man, dass sich dieser proportional \(\cos (\gamma _{\mathit{FW}})\) verringert. Bei Betrachtung von Abb. 8 bzw. Gl. (8) fällt auf, dass sich nicht nur der Betrag des resultierenden Verkettungsflusses ändert, sondern auch dessen Winkel zur \(\alpha _{1}\)-Achse. Setzt man diese Variante der mechanischen Feldschwächung mit einer feldorientierten Regelung ein, muss diese Drehung der resultierenden \(d\)-Achse berücksichtigt werden. Falls der Winkel \(\gamma _{\mathit{FW}}\) bekannt ist, kann diese Verdrehung der \(d\)-Achse mit Gl. (8) ermittelt werden.

Alternativ könnte man die Verdrehung um \(\gamma _{\mathit{FW}}\) nicht nur auf einem Rotor einprägen, sondern bei beiden Rotoren den Winkel \(\gamma _{\mathit{FW}}/2\), da nur die relative Ausrichtung der Rotoren zueinander ausschlaggebend ist. Dabei ist zu beachten, dass der zweite Rotor wie bisher in seiner positiven Drehrichtung (grauer Pfeil), der erste Rotor aber entgegen seiner positiven Drehrichtung um den zusätzlichen Winkel \(\gamma _{\mathit{FW}}/2\) gedreht wird: Wie die Abb. 9 und 10 sowie Gl. (12) zeigen, ergibt sich in dieser Variante derselbe Betrag des Verkettungsflusses \(\underline{\psi }_{\mathit{Mres}}\), aber mit unveränderter Orientierung der resultierenden \(d\)-Achse im Vergleich zum Normalbetrieb.

Um in der Simulation verschiedene Feldschwächgrade vergleichen zu können, wurde die induzierte Außenleiterspannung im Leerlauf bei einer konstanten Drehzahl ermittelt. Die Herleitung in Abschn. 3 berücksichtigt nur die Grundschwingung, also ist zu erwarten, dass mit zunehmenden Feldschwächgrad der Anteil der Oberschwingungen in der Spannung zunimmt, analog zur klassischen elektrischen Feldschwächung. Abbildung 11 zeigt repräsentativ einige Spannungsverläufe für unterschiedliche Feldschwächgrade. Auffallend ist die ideal ausgelöschte Spannung bei \(\gamma _{\mathit{FW}}=90^{\circ}\). Hier schließt sich im Simulationsmodell der gesamte magnetische Fluss zufolge der Permanentmagnete als Streufluss in der Maschine, ohne dass es eine resultierende Verkettung mit den Statorwicklungen gibt. Die hochfrequenten Anteile der induzierten Spannung sind auf dünne, zwischen den Statorzähnen liegende Blechstege zurückzuführen, welche zum Zeitpunkt der Planung des Prototyps als mechanisch notwendig angesehen wurden. Diese sind zwar größtenteils magnetisch gesättigt und damit kaum merkbar, aber sie führen an bestimmten Rotorpositionen durch kurzzeitige Entsättigung zu diesen hochfrequenten Spannungsspitzen.

Bei näherer Betrachtung im Frequenzbereich (Abb. 12) ist ersichtlich, dass die Grundschwingung sehr gut dem analytischen Modell nach (12) folgt, weil deren Amplitude bei \(\gamma _{\mathit{FW}}=60^{\circ}\) in guter Näherung die Hälfte der Amplitude bei \(\gamma _{\mathit{FW}}=0^{\circ}\) ist. Weiters fällt auf, dass es über alle Feldschwächgrade hinweg einen kleinen, aber wahrnehmbaren Anteil der 3. Harmonischen in der Außenleiterspannung gibt. Diese tritt ursprünglich in den Strangspannungen zufolge kleiner Sättigungsbereiche im Blech auf, welche sich allerdings bei der Bildung der Außenleiterspannung aufheben sollte. Dies ist hier aufgrund einer Abweichung von der idealen Strangsymmetrie nicht gegeben, sodass ein kleiner Anteil der 3. Harmonischen (und deren Vielfache) in den Außenleitergrößen übrig bleibt. Die Stränge U und W wechseln jeweils zwischen innen- und außenliegendem Statorschenkel (siehe Abb. 1), sodass sie über die gesamte Maschine wieder symmetrisch sind, aber es dennoch eine Unsymmetrie gegenüber dem Strang V gibt. Eine weitere theoretische Ursache für diesen Effekt ist eine von \(2\pi /3\) abweichende Phasendifferenz zwischen den Strangspannungen, welche aber aufgrund der ideal festgelegten Initialposition der Rotoren und deren eingeprägter Drehzahl in der Simulation ausgeschlossen werden kann. Betrachtet man einen einzelnen Rotor und dessen umliegende Statorzähne, kann man die Statorwicklung über die Lochzahl als Bruchlochwicklung beschreiben. Die zu erwartenden Ordnungszahlen 5, 7, 11, 13, etc. der Oberschwingungen der Spannung ([12]) treten auch in der berechneten Außenleiterspannung auf. Das bestätigt die Theorie, dass sich die Maschine von den Klemmen betrachtet wie eine gewöhnliche PSM mit einem Rotor verhält. Wie erwartet erkennt man mit zunehmendem Feldschwächgrad einen höheren Anteil der Oberschwingungen in der Spannung, da die Feldschwächung nur auf die 1. Harmonische wirkt. Dies ist auch über den steigenden Klirrfaktor der Außenleiterspannung mit \(U_{\nu }\) als Effektivwert der Oberschwingung mit der Ordnungszahl \(\nu \) und \(U\) als Effektivwert der Wechselgröße ersichtlich, siehe Tab. 1.

Ein weiterer Aspekt, der in der Simulation untersucht wurde, war die Auswirkung des Feldschwächgrads auf das Rastmoment der Maschine. Die Rotoren sind im nicht-feldgeschwächten Zustand entsprechend ihrem Energieminimum im verkoppelten magnetischen Kreis ausgerichtet. Dreht man diese gedanklich nun aus dieser Ruhelage heraus, ist es leicht vorstellbar, dass ein zur Ausgangslage rückstellendes Drehmoment auftreten wird. Eine harmonische Analyse des Rastmomentverlaufs bei unterschiedlichen Feldschwächgraden im Leerlauf aus Abb. 13 zeigt eine dominante 6. und 12. harmonische Schwingung. Dieses Ergebnis war aus den dominanten 5. und 7. sowie 11. und 13. Harmonischen der Spannung zu erwarten. Ein interessanter Punkt ist die Tatsache, dass es in der Umgebung von \(\gamma _{\mathit{FW}}=60^{\circ}\) zu einem starken Einbruch des Drehmomentrippels kommt. In der Nähe dieses Punktes heben sich die Einzelrotorrastmomente durch ihre Phasendifferenz teilweise auf, sodass ein insgesamt geringerer Drehmomentrippel in der Summe aller Rotoren entsteht, siehe Abb. 14. Bei maximaler Feldschwächung (bzw. -auslöschung) stehen sich zwei Nord- bzw. Südpole benachbarter Rotoren direkt gegenüber, dabei tritt das größte Rastmoment auf. Besonders wenn die Feldschwächung unter Last verwendet wird, sollte dieser erhöhte Drehmomentrippel für die Auslegung des Getriebes berücksichtigt werden, da es auch einen Einfluss auf die Vibrations- und Geräuschentwicklung der Maschine hat. Wird diese Methode als Schutzsystem im Fehlerfall eingesetzt, spielt Letzteres aber eine untergeordnete Rolle.

Abbildung 18 zeigt die induzierte Leerlaufspannung im nicht-feldgeschwächten Zustand. Die Amplitude der Grundwelle der gemessenen Spannung ist zwar nur 2 % geringer als bei der simulierten, allerdings weicht die Form (und damit der Oberschwingungsgehalt) doch deutlich erkennbar davon ab. Dieser Unterschied ist hauptsächlich darin begründet, dass die Nullpositionen der eingebauten Rotoren von der Idealausrichtung in der Simulation verschieden sind. Die in Abschn. 4.1 erwähnten Blechstege zwischen den Statorzähnen haben einen großen Einfluss auf die Lage und Gestalt der hochfrequenten Spannungsspitzen. Dieses sensitive Verhalten in Bezug auf die Nullposition der Rotoren konnte auch in weiteren Iterationen des Simulationsmodells nachgewiesen werden.

In Abb. 19 bestätigt sich das bekannte Verhalten der mechanischen Feldschwächung aus der Simulation. Mit zunehmendem Winkel \(\gamma _{\mathit{FW}}\) wird der Betrag der induzierten Spannung geringer, und der Oberschwingungsanteil steigt. Die Amplituden der Außenleiterspannung aus Messung und Simulation zeigen in Abb. 20 eine gute Übereinstimmung mit dem cos-förmigen Verlauf aus dem analytischen Modell.

Das elektromagnetische Drehmoment lässt sich über die bekannte normierte Gleichung einer achsigen PSM im \(dq\)-Koordinatensystem über beschreiben, wobei \(l_{d}\) und \(l_{q}\) die normierten Statorinduktivitäten in Richtung \(d-\) und \(q-\)Achse sind, und analog dazu \(i_{d}\) und \(i_{q}\) die Komponenten des normierten Statorstromraumzeigers. Für den feldgeschwächten Fall ist \(\psi _{M}\) durch den geschwächten Betrag aus (12) zu ersetzen: wobei \(\psi _{M}'\) der maximale Betrag des Ersatzverkettungsflussraumzeigers im nicht-feldgeschwächten Zustand ist. Im stationären Betriebszustand bei \(n = 0{,}1\) und \({\underline{i}_{S,dq} = 0{,}5\,e^{j 90^{\circ}}}\) wurde im nicht-feldgeschwächten Zustand \({\gamma _{\mathit{FW}} = 0^{\circ}}\) ein mittleres Drehmoment von 243 Nm gemessen. Bei einer Halbierung von \(\psi _{M}'\) mittels \({\gamma _{\mathit{FW}} = 60^{\circ}}\), müsste sich nach (16) auch das Drehmoment halbieren. Tatsächlich gemessen wurden 124 Nm, womit die Näherung \({m \propto \cos {\gamma _{\mathit{FW}}}}\) hier zulässig ist. Diese Näherung verliert allerdings ihre Gültigkeit, sobald \(i_{d} \neq 0\) ist. Wie für einen Rotor mit vergrabenen Permanentmagneten üblich gilt auch hier im Normalzustand \(l_{d}/l_{q} < 1\) [13]. Durch die Verdrehung der Rotoren im Feldschwächbetrieb ändern sich die Induktivitätsverhältnisse der Maschine, bis schließlich der Bereich \(l_{d}/l_{q} > 1\) erreicht wird. Das verändert in weiterer Folge auch die maximum-torque-per-current (MTPC) Arbeitspunkte der Maschine und führt dazu, dass die oben genannte Näherung nicht mehr gilt.