Mehrebenenmodelle

Der Schwerpunkt der Betrachtungen hier bezieht sich implizit auf die Analyse von Befragungsdaten aus Surveys. Die Anwendung der Mehrebenenanalyse als konzeptionelles Raster ist aber ebenso für Vollerhebungen denkbar, wie sie beispielweise in Analysen auf der Basis von Beiträgen aus Zeitschriften realisiert werden, solange die Daten numerisch sind. Lediglich die Interpretation der Standardfehler und Signifikanzen unterscheidet sich dann.

Die unterschiedlichen Quellen zeigen sich heute noch in unterschiedlichen Notationen im Feld der Mehrebenenmodelle. Hier wird später der Notation von Hox (2010) bzw. Snijders und Bosker (2012) gefolgt.

Lintorf (2012) findet beispielsweise auf der Basis der TIMSS-Daten 2007 lehrerspezifische Effekte auf Mathematik- und Sachkundenoten in Grundschulen.

Sixt (2013) untersucht regionale Kontexte zur Erklärung von Bildungsentscheidungen und kann zeigen, dass das regionale Schulangebot und die Erreichbarkeit von Gymnasien einen eigenständigen Einfluss darauf haben, ob Kinder das Gymnasium besuchen oder nicht.

Vgl. beispielsweise zum Zusammenhang von Gesundheit und Lebenszufriedenheit Subramanian et al. (2005) oder zu Fragen der Prävention Dunn et al. (2015). Auch für die Qualitätsbeurteilung von Krankenhäusern bieten sich mehrebenenanalytische Ansätze an (vgl. für ein Beispiel aus Deutschland Loos 2003).

Vgl. beispielsweise Farla (2014).

Vgl. Görzig und Olafsson (2013) zur Analyse von tyrannischem Schülerverhalten im Ländervergleich.

Fairbrother und Martin (2013) überprüfen zentrale soziologische Argumente zur Wirkung zunehmender Ungleichheit auf Vertrauen und finden im Vergleich US-amerikanischer Staaten lediglich Zusammenhänge im Querschnitt aber nicht im Längsschnitt. Mit Blick auf die Ebene der Counties werden weder Zusammenhänge im Längsschnitt noch im Querschnitt beobachtet.

Als Beispiele sei auf die Untersuchung von Jäckle und Wenzelburger (2011) zum Zusammenhang zwischen Religiosität und Homophobie hingewiesen. Dülmer und Ohr (2008) untersuchen in ihrer Studie die Wirkung von Milieus auf extremistische Einstellungen im 3-Ebenen-Design.

Klein und Pötschke (2005) untersuchten z. B. den Effekt der TV-Duelle im Rahmen des Bundestagswahlkampfes auf die Wahlentscheidung.

Jäckle und Schärdel (2017, S. 159) schreiben: „Bei allen MEAs liegt die zu erklärende Variable auf der Individualebene.“ In der überwiegenden Zahl der Anwendungen sind tatsächlich Individuen als Elemente der Ebene anzutreffen. Deshalb wird hier wie in den meisten Einführungen zum Verfahren dieser Fall behandelt. Jäckle und Schärdel (2017, S. 148) weisen aber zu Recht darauf hin, dass die unterste Ebene eines Mehrebenenmodells ebenso durch andere Elemente wie z. B. Kommunen in Regionen oder Kreistage in Kreisen und Bundesländern (Jäckle und König 2017) gebildet werden kann. Auch Panelanalysen können mit Mehrebenenmodellen realisiert werden. Dann bestehen die Elemente der untersten Ebene aus den Messungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten für Personen (zweite Ebene) (vgl. z. B. Hosoya et al. 2014).

Der Verweis auf die notwendige theoretische Grundlegung scheint banal. In der Forschungspraxis ist aber nicht selten zu beobachten, dass sich die Ebenenstruktur aus der Verfügbarkeit der Daten ergibt und nicht aus theoretischen Überlegungen. Das wird z. B. beim Ländervergleich deutlich. Zu selten wird ausgeführt, was den spezifischen Ländereinfluss auf individuelle Einstellungen oder Verhaltensweisen ausmacht. Selbst in Vorhaben, die stärker auf die Modellanpassung der Daten orientiert sind, wird an das Ergebnismodell der Anspruch zu richten sein, dass die Mechanismen nachvollziehbar beschrieben werden können.

Vgl. Abschn. 6 zu Verletzungen dieser Anforderung in Cross Classified Strukturen.

Die Erklärung von Merkmalen der Makroebene durch Merkmale der Individualebene ist in vielen Softwares nicht zu modellieren und stellt nach wie vor auch ein theoretisch zu reflektierendes Problem dar. Vgl. für den Versuch, aggregierte Variablen durch Individualvariablen zu erklären Croon und van Veldhofen (2007).

Jäckle und Schärdel (2017, S. 152; Abb. 3f) nehmen in ihre Darstellung zusätzlich einen möglichen Effekt der Individualvariable X auf den Effekt auf, der von Z auf Y wirkt.

Ältere Wege des Umgangs mit hierarchischen Daten werden in Raudenbusch und Bryk (2002, S. 23 ff.); Heck und Thomas (2009, S. 76) und ausführlicher in Pötschke (2014a, S. 1102–1103) vorgestellt.

Vgl. für eine kritische Reflexion von Daumenregeln für Fallzahlen in der Mehrebenenanalyse Tonidandel et al. (2014).

Die meisten Autoren beziehen sich heutzutage auf die Empfehlungen von Maas und Hox (2005) (vgl. beispielsweise Braun et al. 2010; Jäckle und Schärdel 2017; Pötschke 2014b). Ältere Empfehlungen für kleinere Fallzahlen (vgl. Pötschke 2006) würden heute als problematisch angesehen werden.

Simuliert wurde hier für den Fall, das in den Gruppen jeweils verschieden viele Elemente enthalten sind.

Restricted Maximum Likelihood.

Zu beachten ist, dass in den Bezeichnungen hier spezifische Modellbausteine als zufällig (random) oder für alle gleich (fixe) beschrieben werden. Es handelt sich dabei nicht um Modellklassen wie im Beitrag von Ziller in diesem Band beschrieben. Auch wenn es eine enge Verbindung zwischen der Mehrebenenanalyse und anderen Verfahren für abhängige Beobachtungen gibt, ist die dort häufig verwendete Unterscheidung in „Fixed-Effects-Modelle“ und „Random-Effects-Modelle“ nicht vollständig auf die Modelldifferenzierung in der Mehrebenenanalyse zu übertragen. Allerdings entspricht das Ergebnis eines „Random-Effects-Modells“ einem „random intercept model“ der Mehrebenenanalyse, wenn für beide ML-Schätzungen unterstellt werden.

Die unterschiedlichen Bezeichnungen der Modelle gehen auf die verschiedenen Quellen der Entwicklung statistischer Anwendungen hin zum Mehrebenenmodell zurück. Reine „random slope“ Modelle sind zudem sehr selten. Oft wird der Begriff auch, nicht ganz stringent, für „random coefficient“ Modelle verwendet.

Devianzwerte werden für den Vergleich verschiedener Mehrebenenmodelle herangezogen und für die Beurteilung sukzessive aufzunehmender Variablen im Rahmen der Modellentwicklung.

Auch Long (1997) konstatierte bereits das besondere Potential des Ansatzes von McKelvey und Zavoina (1975).

Vgl. ausführlicher zur Hypothesenprüfung über die Effekte Raudenbush und Bryk (2002, S. 56 ff.).

Wenn sich der fixe Part zwischen den Modellen unterscheidet, soll die FML-Schätzung Verwendung finden. Hier werden alle Modellteile in die Maximierung der Likelihoodfunktion einbezogen.

Hamaker und Klugkrist (2011, S. 233, 234) stellen zwei Transformationen vor, die eine anschauliche Interpretation der Werte erlauben.

Paccagnella (2006) verweist auf unterschiedliche Bezugspunkte für die Zentrierung wie den Median oder das arithmetische Mittel.

Ebenso argumentieren Kreft und de Leeuw (1998, S. 108, 109), wobei sie den Begriff der Äquivalenz präziser ausführen. Sind zwei Modelle äquivalent heißt das, dass ihre Parameter ineinander überführt werden können, nicht aber, dass sie die gleichen Parameter aufweisen.

Wenn zu viele Varianzparameter geschätzt werden sollen, die Werte nahe Null aufweisen, oder wenn die Modelle falsch spezifiziert sind oder wenn die Stichprobengröße klein ausfällt, können Konvergenzprobleme auftreten (Hox 2010, S. 42). In diesen Fällen kann auf die Generalized Least Square Methode zurückgegriffen werden. Als Verallgemeinerung des OLS-Ansatzes der linearen Regression führt ihre Anwendung bei großen Fallzahlen zu analogen Ergebnissen wie die ML-Schätzung. Allerdings sind die GLS-Schätzer weniger effizient und die resultierenden Standardfehler sind ungenau (Kreft 1996).

Die Algorithmen, die zur Maximierung des Likelihood herangezogen werden können, sind vielfältig. Skrondal und Rabe-Hesketh (2004, S. 159 ff.) diskutieren in einer umfassenden Übersicht neben dem EM-Verfahren weitere Maximierungsalgorithmen, die je nach der konkreten Zielrichtung der Analyse und der Qualität der verwendeten Daten anzuwenden sind.

Wenn die Gruppengrößen stark variieren, kann auch die RML-Schätzung verzerrt sein (Skrondal und Rabe-Hesketh 2004, S. 185).

Hox (2010, S. 264) verweist auf spezifische Studien, die zeigen, dass für eine erfolgreiche Schätzung auf der Basis von Bootstrappiterationen eine Fallzahl von mindestens 150 vorliegen muss. Die Zahl der Iterationen liegt üblicherweise zwischen 1000 (Hox 2010, S. 44) und 2000. In speziellen Verteilungen können aber auch 5000 Iterationen notwendig werden (Hox 2010, S. 264). Die Bootstrappsamples müssen die gleiche hierarchische Struktur aufweisen wie das originale Sample. Das ist bisher für das fallweise Bootstrapping nicht zu realisieren. Deshalb findet in Mehrebenenmodellen nur parametrisches oder nicht parametrisches Bootstrapping der Residuen Anwendung (Hox 2010, S. 268). Im ersten Fall werden die Parameterschätzungen auf der Basis des gesamten Modells generiert, im zweiten Fall auf der Basis der Residualmatrizen (vgl. Carpenter et al. 1999).

Für einen grundlegenden Überblick vgl. van der Leeden et al. (2008, S. 401–433).

Dafür schlagen Rabe-Hesketh und Skrondal (2012, S. 540, 541) vor, xtmelogit zu verwenden. Zur Optimierung empfehlen sie gllamm, wenn mehr als 5 Integrationspunkte Verwendung finden. Hox (2010, S. 123, 139) schlägt die Verwendung von Bayesianischen Schätzungen oder Bootstrapverfahren vor, wenn keine numerische Integration möglich ist.

Zwei sehr anschauliche grundlegende Zugänge zum bayesianischen Ansatz finden sich, allerdings fachfremd, u. a. bei Gigerenzer (2002) und Schweizer (2015).

Der Anspruch bezog sich auf die Variablen aller Ebenen.

Little und Rubin (1987) unterscheiden drei Muster fehlender Werte: MCAR (Missing Completely at Random), MAR (Missing at Random) und NMAR (Not Missing at Random).

Die Beschränkungen resultieren in diesem Fall nicht aus statistischen oder konzeptionellen Problemen, sondern aus der zumeist fehlenden Datenverfügbarkeit.

Beretvas (2011, S. 332 ff.) gibt verschiedene Erweiterungsmöglichkeiten an und führt in die formalen Formulierungen der Modelle ein. Rasbash und Browne (2008) stellen unterschiedliche Schätzalgorithmen ausführlich dar. Die Beschränkung für ein solches Modell ergibt sich derzeit eher aus der unzureichenden Datenerhebung und nicht mehr daraus, dass entsprechende Modelle nicht geschätzt werden könnten. Allerdings bleibt festzuhalten, dass die Interpretation entsprechender Kontextzugehörigkeiten nicht einfach ausfällt.

Für den spezifischeren Fall latenter Klassenanalysen vgl. Vermunt (2003, 2011).

Hox (2010, S. 307, 308) schlägt deshalb vor, separate Fit-Indices per Hand zu berechnen.

Für alternative Behandlungen autokorrelierter Daten vgl. hierzu auch den Beitrag von Ziller in diesem Band.