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2020 | OriginalPaper | Chapter
2. Modulare Arithmetik
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Zusammenfassung
Durch den Begriff der Kongruenz modulo einer natürlichen Zahl n werden die ganzen Zahlen in Klassen eingeteilt, wobei zwei Zahlen in derselben Klasse liegen, wenn sie bei der Division mit Rest durch n denselben Rest lassen. Diese Restklassen modulo n bilden neue Zahlbereiche \(\mathbb {Z}_n\), deren Rechenregeln ausführlich behandelt werden. Als Anwendung wird gezeigt, wie Teilbarkeitsregeln in den ganzen Zahlen durch das Rechnen modulo n begründet werden können. Der Chinesische Restsatz wird formuliert und bewiesen und im Anschluss gezeigt, wie nützlich die Eulersche \(\varphi \)-Funktion beim effizienten Rechnen in den Zahlbereichen \(\mathbb {Z}_n\) ist. Zum Abschluss werden die Grundzüge des für moderne Anwendungen sehr wichtigen RSA-Verschlüsselungsverfahrens präsentiert, für das die modulare Arithmetik die mathematische Grundlage ist.